Trigonometrické konstanty vyjádřené ve skutečných radikálech - Trigonometric constants expressed in real radicals

Úhly primárního řešení ve tvaru (cos, sin) na jednotkový kruh jsou v násobcích 30 a 45 stupňů.

Přesný algebraické výrazy pro trigonometrický hodnoty jsou někdy užitečné, hlavně pro zjednodušení řešení do radikální formuláře, které umožňují další zjednodušení.

Všechno trigonometrická čísla - sinusy nebo kosiny racionálních násobků 360 ° - jsou algebraická čísla (řešení polynomiální rovnice s celočíselnými koeficienty); navíc mohou být vyjádřeny jako radikály komplexní čísla; ale ne všechny jsou vyjádřitelné z hlediska nemovitý radikály. Pokud jsou, jsou konkrétněji vyjádřitelné v odmocninách.

Všechny hodnoty sinusů, kosinů a tangens úhlů v krocích po 3 ° jsou vyjádřitelné v odmocninách pomocí identit - poloviční úhel identity, identita dvojitého úhlu a identita sčítání / odčítání úhlu - a pomocí hodnot pro 0 °, 30 °, 36 ° a 45 °. Pro úhel celočíselného počtu stupňů, který není násobkem 3 ° ( $π$ /60 radiány ), hodnoty sinus, kosinus a tangens nelze vyjádřit pomocí reálných radikálů.

Podle Nivenova věta, jediné racionální hodnoty sinusové funkce, pro které je argument a racionální číslo stupňů je 0,1/2, 1, −1/2, a -1.

Podle Bakerova věta, je-li hodnota sinu, kosinu nebo tangenty algebraická, pak úhel je buď racionální počet stupňů nebo transcendentní číslo stupňů. To znamená, že pokud je úhel algebraický, ale neracionální, počet stupňů, trigonometrické funkce mají všechny transcendentální hodnoty.

Rozsah tohoto článku

Seznam v tomto článku je v několika směrech neúplný. Za prvé, trigonometrické funkce všech úhlů, které jsou celočíselnými násobky daných, mohou být také vyjádřeny radikály, ale některé jsou zde vynechány.

Za druhé, vždy je možné použít vzorec polovičního úhlu k nalezení výrazu v radikálech pro trigonometrickou funkci jedné poloviny libovolného úhlu v seznamu, potom poloviny tohoto úhlu atd.

Za třetí, výrazy ve skutečných radikálech existují pro trigonometrickou funkci racionálního násobku $π$ právě tehdy, je-li jmenovatelem plně redukovaného racionálního násobku síla 2 sama o sobě nebo součin síly 2 s produktem zřetelného Fermat připraví, z nichž jsou známé 3, 5, 17, 257 a 65537.

Za čtvrté, tento článek se zabývá pouze hodnotami trigonometrických funkcí, když je výraz v radikálech nemovitý radikály - kořeny reálných čísel. Mnoho dalších hodnot trigonometrických funkcí je vyjádřitelných například v kořenech krychle komplexní čísla které nelze přepsat z hlediska kořenů reálných čísel. Například hodnoty trigonometrické funkce jakéhokoli úhlu, který je jednou třetinou úhlu θ uvažované v tomto článku lze vyjádřit v odmocninách a odmocninách pomocí vzorec kubické rovnice vyřešit

{ displaystyle 4 cos ^ {3} { frac { theta} {3}} - 3 cos { frac { theta} {3}} = cos theta,}

ale obecně řešení kosinu jedné třetiny úhlu zahrnuje kořen krychle komplexního čísla (dávat casus irreducibilis ).

V praxi jsou všechny hodnoty sinusů, kosinusů a tečen, které nebyly nalezeny v tomto článku, aproximovány pomocí technik popsaných v Trigonometrické tabulky.

Další úhly

Přesná trigonometrická tabulka pro násobky 3 stupňů.

Hodnoty mimo rozsah úhlu [0 °, 45 °] jsou z těchto hodnot triviálně odvozeny pomocí osy kruhu odraz symetrie. (Vidět Seznam trigonometrických identit.)

V níže uvedených položkách platí, že pokud určitý počet stupňů souvisí s pravidelným mnohoúhelníkem, vztah je takový, že počet stupňů v každém úhlu mnohoúhelníku je (n - 2) násobek uvedeného počtu stupňů (kde n je počet stran). Je to proto, že součet úhlů všech n-gon je 180 ° × (n - 2) a tedy míra každého úhlu každého regulárního n-gon je 180 ° × (n – 2) ÷ n. Například položka „45 °: square“ znamená, že s n = 4, 180° ÷ n = 45 ° a počet stupňů v každém úhlu čtverce je (n – 2) × 45° = 90°.

0 °: zásadní

{ displaystyle sin 0 = 0 ,}

{ displaystyle cos 0 = 1 ,}

{ displaystyle tan 0 = 0 ,}

{ displaystyle cot 0 { text {je nedefinováno}} ,}

1,5 °: pravidelný hecatonicosagon (120stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {120}} right) = sin left (1,5 ^ { circ} right) = { frac { left ({ sqrt {2 + { sqrt {2}}}} vpravo) vlevo ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}}} vpravo ) - left ({ sqrt {2 - { sqrt {2}}}} right) left ({ sqrt {30-6 { sqrt {5}}}} + { sqrt {5}} +1 vpravo)} {16}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {120}} right) = cos left (1,5 ^ { circ} right) = { frac { left ({ sqrt {2 + { sqrt {2}}}} right) left ({ sqrt {30-6 { sqrt {5}}}} + { sqrt {5}} + 1 right) + left ({ sqrt {2 - { sqrt {2}}}} vpravo) vlevo ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}} }} vpravo)} {16}}}

1,875 °: pravidelný enneacontahexagon (96stranný polygon)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {96}} right) = sin left (1,875 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {96}} right) = cos left (1,875 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}}}

2,25 °: pravidelný oktacontagon (80stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {80}} right) = sin left (2,25 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {80}} right) = cos left (2,25 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}}

2,8125 °: běžný hexacontatetragon (64stranný polygon)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {64}} right) = sin left (2,8125 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {64}} right) = cos left (2,8125 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}}}

3 °: pravidelný šestiúhelník (60stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {60}} right) = sin left (3 ^ { circ} right) = { frac {2 left (1 - { sqrt {3}} right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + left ({ sqrt {10}} - { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {3}} + 1 vpravo)} {16}} ,}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {60}} right) = cos left (3 ^ { circ} right) = { frac {2 left (1 + { sqrt {3}} right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + left ({ sqrt {10}} - { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {3}} - 1 vpravo)} {16}} ,}

{ displaystyle tan left ({ frac { pi} {60}} right) = tan left (3 ^ { circ} right) = { frac { left [ left (2- { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}} } vpravo]} {4}} ,}

{ displaystyle cot left ({ frac { pi} {60}} right) = cot left (3 ^ { circ} right) = { frac { left [ left (2+ { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 + { sqrt {10-2 { sqrt {5}}} } vpravo]} {4}} ,}

3,75 °: pravidelný tetrakontaktagon (48stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {48}} right) = sin left (3,75 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {48}} right) = cos left (3,75 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}

4,5 °: pravidelný tetrakontagon (čtyřstranný polygon)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {40}} right) = sin left (4.5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {40}} right) = cos left (4,5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}

5,625 °: pravidelný triakontadigon (32stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {32}} right) = sin left (5,625 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {32}} right) = cos left (5,625 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}

6 °: pravidelný triakontagon (30stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin { frac { pi} {30}} = sin 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {30 - { sqrt {180}}}} - { sqrt { 5}} - 1} {8}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {30}} = cos 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {10 - { sqrt {20}}}} + { sqrt { 3}} + { sqrt {15}}} {8}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {30}} = tan 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {10 - { sqrt {20}}}} + { sqrt { 3}} - { sqrt {15}}} {2}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {30}} = cot 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {27}} + { sqrt {15}} + { sqrt { 50+ { sqrt {2420}}}}} {2}} ,}

7,5 °: běžný icositetragon (24stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {24}} right) = sin left (7,5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} = { frac {1} {4}} { sqrt {8-2 { sqrt {6}} - 2 { sqrt {2}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {24}} right) = cos left (7,5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} = { frac {1} {4}} { sqrt {8 + 2 { sqrt {6}} + 2 { sqrt {2}}}}}

{ displaystyle tan left ({ frac { pi} {24}} right) = tan left (7,5 ^ { circ} right) = { sqrt {6}} - { sqrt { 3}} + { sqrt {2}} - 2 = left ({ sqrt {2}} - 1 right) left ({ sqrt {3}} - { sqrt {2}} right )}

{ displaystyle cot left ({ frac { pi} {24}} right) = cot left (7,5 ^ { circ} right) = { sqrt {6}} + { sqrt { 3}} + { sqrt {2}} + 2 = left ({ sqrt {2}} + 1 right) left ({ sqrt {3}} + { sqrt {2}} right )}

9 °: pravidelný ikosagon (20stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin { frac { pi} {20}} = sin 9 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {20}} = cos 9 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {20}} = tan 9 ^ { circ} = { sqrt {5}} + 1 - { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}} }} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {20}} = cot 9 ^ { circ} = { sqrt {5}} + 1 + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}} }} ,}

11,25 °: pravidelný hexadekagon (16stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin { frac { pi} {16}} = sin 11,25 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {16}} = cos 11,25 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {16}} = tan 11,25 ^ { circ} = { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} - { sqrt {2}} -1}

{ displaystyle cot { frac { pi} {16}} = cot 11,25 ^ { circ} = { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} + { sqrt {2}} +1}

12 °: pravidelný pentadekagon (15stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin { frac { pi} {15}} = sin 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} vlevo [{ sqrt {2 vlevo (5+ { sqrt {5}} right)}} + { sqrt {3}} - { sqrt {15}} right] ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15}} = cos 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} vlevo [{ sqrt {6 vlevo (5+ { sqrt {5}} right)}} + { sqrt {5}} - 1 right] ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {15}} = tan 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} vlevo [3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} - { sqrt {2 left (25-11 { sqrt {5}} right)}} , right] ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {15}} = cot 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} left [{ sqrt {15}} + { sqrt {3}} + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right)}} , right] ,}

15 °: pravidelný dodekagon (12stranný mnohoúhelník)

{ displaystyle sin { frac { pi} {12}} = sin 15 ^ { circ} = { frac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {3}}}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {12}} = cos 15 ^ { circ} = { frac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {12}} = tan 15 ^ { circ} = 2 - { sqrt {3}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {12}} = cot 15 ^ { circ} = 2 + { sqrt {3}} ,}

18 °: pravidelný desetiúhelník (10stranný mnohoúhelník)^[1]

{ displaystyle sin { frac { pi} {10}} = sin 18 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {5}} - 1 vpravo ) = { frac {1} {1 + { sqrt {5}}}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {10}} = cos 18 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} { sqrt {2 vlevo (5 + { sqrt { 5}} vpravo)}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {10}} = tan 18 ^ { circ} = { tfrac {1} {5}} { sqrt {5 vlevo (5-2 { sqrt {5}} vpravo)}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {10}} = cot 18 ^ { circ} = { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} ,}

21 °: součet 9 ° + 12 °

{ displaystyle sin { frac {7 pi} {60}} = sin 21 ^ { circ} = { frac {1} {16}} vlevo (2 vlevo ({ sqrt {3} } +1 right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} - left ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) left (1 + { sqrt {5}} vpravo) vpravo) ,}

{ displaystyle cos { frac {7 pi} {60}} = cos 21 ^ { circ} = { frac {1} {16}} vlevo (2 vlevo ({ sqrt {3} } -1 right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} + left ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) left (1 + { sqrt {5}} vpravo) vpravo) ,}

{ displaystyle tan { frac {7 pi} {60}} = tan 21 ^ { circ} = { frac {1} {4}} vlevo (2- vlevo (2 + { sqrt {3}} right) left (3 - { sqrt {5}} right) right) left (2 - { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }}že jo),}

{ displaystyle cot { frac {7 pi} {60}} = cot 21 ^ { circ} = { frac {1} {4}} vlevo (2- vlevo (2 - { sqrt {3}} right) left (3 - { sqrt {5}} right) right) left (2 + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }}že jo),}

22,5 °: pravidelný osmiúhelník

{ displaystyle sin { frac { pi} {8}} = sin 22,5 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2}}} },}

{ displaystyle cos { frac { pi} {8}} = cos 22,5 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2}}} } ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {8}} = tan 22,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} - 1 ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {8}} = cot 22,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} + 1 = delta _ {S} ,}

, poměr stříbra

24 °: součet 12 ° + 12 °

{ displaystyle sin { frac {2 pi} {15}} = sin 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} vlevo [{ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right)}} right] ,}

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {15}} = cos 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} vlevo ({ sqrt {6 vlevo (5- { sqrt {5}} right)}} + { sqrt {5}} + 1 right) ,}

{ displaystyle tan { frac {2 pi} {15}} = tan 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} vlevo [{ sqrt {50 + 22 { sqrt {5}}}} - 3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} vpravo] ,}

{ displaystyle cot { frac {2 pi} {15}} = cot 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} left [{ sqrt {15}} - { sqrt {3}} + { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right)}} right] ,}

27 °: součet 12 ° + 15 °

{ displaystyle sin { frac {3 pi} {20}} = sin 27 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} vlevo [2 { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} - { sqrt {2}} ; left ({ sqrt {5}} - 1 right) right] ,}

{ displaystyle cos { frac {3 pi} {20}} = cos 27 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} vlevo [2 { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} ; left ({ sqrt {5}} - 1 right) right] ,}

{ displaystyle tan { frac {3 pi} {20}} = tan 27 ^ { circ} = { sqrt {5}} - 1 - { sqrt {5-2 { sqrt {5} }}} ,}

{ displaystyle cot { frac {3 pi} {20}} = cot 27 ^ { circ} = { sqrt {5}} - 1 + { sqrt {5-2 { sqrt {5} }}} ,}

30 °: pravidelný šestiúhelník

{ displaystyle sin { frac { pi} {6}} = sin 30 ^ { circ} = { frac {1} {2}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {6}} = cos 30 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {2}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {6}} = tan 30 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {3}} = { frac {1} { sqrt {3}}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {6}} = cot 30 ^ { circ} = { sqrt {3}} ,}

33 °: součet 15 ° + 18 °

{ displaystyle sin { frac {11 pi} {60}} = sin 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} left [2 left ({ sqrt {3} } -1 right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left (1 + { sqrt {3}} right) left ({ sqrt {5}} - 1 vpravo) vpravo] ,}

{ displaystyle cos { frac {11 pi} {60}} = cos 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} vlevo [2 vlevo ({ sqrt {3} } +1 right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left (1 - { sqrt {3}} right) left ({ sqrt {5}} - 1 vpravo) vpravo] ,}

{ displaystyle tan { frac {11 pi} {60}} = tan 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} vlevo [2- vlevo (2 - { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) right] left [2 + { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right) }},že jo],}

{ displaystyle cot { frac {11 pi} {60}} = cot 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left [2- left (2 + { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) right] left [2 - { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right) }},že jo],}

36 °: pravidelný pětiúhelník

^[1]

{ displaystyle sin { frac { pi} {5}} = sin 36 ^ { circ} = { frac {1} {4}} { sqrt {10-2 { sqrt {5}} }}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5}} = cos 36 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}} = { frac { varphi} {2}},}

kde

φ

je Zlatý řez;

{ displaystyle tan { frac { pi} {5}} = tan 36 ^ { circ} = { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {5}} = cot 36 ^ { circ} = { frac {1} {5}} { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}} }}}

39 °: součet 18 ° + 21 °

{ displaystyle sin { frac {13 pi} {60}} = sin 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} left [2 left (1 - { sqrt { 3}} right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left ({ sqrt {3}} + 1 right) left ({ sqrt {5}} + 1 vpravo) vpravo] ,}

{ displaystyle cos { frac {13 pi} {60}} = cos 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} vlevo [2 vlevo (1 + { sqrt { 3}} right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left ({ sqrt {3}} - 1 right) left ({ sqrt {5}} + 1 vpravo) vpravo] ,}

{ displaystyle tan { frac {13 pi} {60}} = tan 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} vlevo [ vlevo (2 - { sqrt {3 }} right) left (3 - { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 - { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }},že jo],}

{ displaystyle cot { frac {13 pi} {60}} = cot 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left [ left (2 + { sqrt {3 }} right) left (3 - { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }},že jo],}

42 °: součet 21 ° + 21 °

{ displaystyle sin { frac {7 pi} {30}} = sin 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {30 + 6 { sqrt {5}}}} - { sqrt {5}} + 1} {8}} ,}

{ displaystyle cos { frac {7 pi} {30}} = cos 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {15}} - { sqrt {3}} + { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}}} {8}} ,}

{ displaystyle tan { frac {7 pi} {30}} = tan 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}}} {2}} ,}

{ displaystyle cot { frac {7 pi} {30}} = cot 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {50-22 { sqrt {5}}}} + 3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}}} {2}} ,}

45 °: čtverec

{ displaystyle sin { frac { pi} {4}} = sin 45 ^ { circ} = { frac { sqrt {2}} {2}} = { frac {1} { sqrt {2}}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {4}} = cos 45 ^ { circ} = { frac { sqrt {2}} {2}} = { frac {1} { sqrt {2}}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {4}} = tan 45 ^ { circ} = 1 ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {4}} = cot 45 ^ { circ} = 1 ,}

54 °: součet 27 ° + 27 °

{ displaystyle sin { frac {3 pi} {10}} = sin 54 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}} , !}

{ displaystyle cos { frac {3 pi} {10}} = cos 54 ^ { circ} = { frac { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} {4}} }

{ displaystyle tan { frac {3 pi} {10}} = tan 54 ^ { circ} = { frac { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} {5}} ,}

{ displaystyle cot { frac {3 pi} {10}} = cot 54 ^ { circ} = { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}} ,}

60 °: rovnostranný trojúhelník

{ displaystyle sin { frac { pi} {3}} = sin 60 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {2}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3}} = cos 60 ^ { circ} = { frac {1} {2}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {3}} = tan 60 ^ { circ} = { sqrt {3}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {3}} = cot 60 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {3}} = { frac {1} { sqrt {3}}} ,}

67,5 °: součet 7,5 ° + 60 °

{ displaystyle sin { frac {3 pi} {8}} = sin 67,5 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2}} }} ,}

{ displaystyle cos { frac {3 pi} {8}} = cos 67,5 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2}} }} ,}

{ displaystyle tan { frac {3 pi} {8}} = tan 67,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} + 1 ,}

{ displaystyle cot { frac {3 pi} {8}} = postýlka 67,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} - 1 ,}

72 °: součet 36 ° + 36 °

{ displaystyle sin { frac {2 pi} {5}} = sin 72 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} { sqrt {2 vlevo (5 + { sqrt {5}} vpravo)}} ,}

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {5}} = cos 72 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {5}} - 1 že jo),}

{ displaystyle tan { frac {2 pi} {5}} = tan 72 ^ { circ} = { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} ,}

{ displaystyle cot { frac {2 pi} {5}} = cot 72 ^ { circ} = { tfrac {1} {5}} { sqrt {5 vlevo (5-2 { sqrt {5}} vpravo)}} ,}

75 °: součet 30 ° + 45 °

{ displaystyle sin { frac {5 pi} {12}} = sin 75 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} vpravo) ,}

{ displaystyle cos { frac {5 pi} {12}} = cos 75 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} vpravo) ,}

{ displaystyle tan { frac {5 pi} {12}} = tan 75 ^ { circ} = 2 + { sqrt {3}} ,}

{ displaystyle cot { frac {5 pi} {12}} = cot 75 ^ { circ} = 2 - { sqrt {3}} ,}

90 °: zásadní

{ displaystyle sin { frac { pi} {2}} = sin 90 ^ { circ} = 1 ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2}} = cos 90 ^ { circ} = 0 ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {2}} = tan 90 ^ { circ} { text {je nedefinováno}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {2}} = cot 90 ^ { circ} = 0 ,}

Seznam trigonometrických konstant 2π / n

Pro kořeny kostky nereálných čísel, která se objevují v této tabulce, je třeba vzít hlavní hodnota, to je kořen kostky s největší skutečnou částí; tato největší skutečná část je vždy pozitivní. Součty kořenů krychle, které se objevují v tabulce, jsou tedy kladná reálná čísla.

${ displaystyle { begin {pole} {r | l | l | l} n & sin left ({ frac {2 pi} {n}} right) & cos left ({ frac {2 pi} {n}} right) & tan left ({ frac {2 pi} {n}} right) hline 1 & 0 & 1 & 0 hline 2 & 0 & -1 & 0 hline 3 & { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & - { frac {1} {2}} & - { sqrt {3}} hline 4 & 1 & 0 & pm infty hline 5 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt { 5}} - 1 right) & { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} hline 6 & { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & { frac {1} {2}} & { sqrt {3}} hline 7 && { frac {1} {6}} left (-1 + { sqrt [{3}] { frac {7 +21 { sqrt {-3}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {7-21 { sqrt {-3}}} {2}}} vpravo) & hline 8 & { frac {1} {2}} { sqrt {2}} & { frac {1} {2}} { sqrt {2}} & 1 hline 9 & { frac { i} {2}} left ({ sqrt [{3}] { frac {-1 - { sqrt {-3}}} {2}}} - { sqrt [{3}] { frac {-1 + { sqrt {-3}}} {2}}} vpravo) a { frac {1} {2}} vlevo ({ sqrt [{3}] { frac {-1+ { sqrt {-3}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {-1 - { sqrt {-3}}} {2}}} vpravo) & hline 10 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {5}} + 1 vpravo) & { sqrt {5 -2 { sqrt {5}}}} hline 11 &&& hline 12 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & { frac {1} {3}} { sqrt {3}} hline 13 && { frac {1} {12}} vlevo ({ sqrt [{3}] {104-20 { sqrt {13}} + 12 { sqrt {-39}}}} + { sqrt [{3}] {104-20 { sqrt {13}} - 12 { sqrt {-39}}}} + { sqrt {13}} - 1 right) & hline 14 & { frac {1} {24}} { sqrt {3 left (112 - { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} - { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192}}}} right)}} & { frac {1} {24}} { sqrt { 3 vlevo (80 + { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} + { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192}}}} vpravo)}} & { sqrt { frac {112 - { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} - { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192}}}}} {80 + { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} + { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192 }}}}}}} hline 15 & { frac {1} {8}} left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} vpravo) & { frac {1} {8}} vlevo (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {30-6 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {2}} left (-3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} + { sqrt {50 + 22 { sqrt {5}}} } right) hline 16 & { frac {1} {2}} left ({ sqrt {2 - { sqrt {2}}}} right) & { frac {1} {2}} left ({ sqrt {2 + { sqrt {2}}}} right) & { sqrt {2}} -1 hline 17 & { frac {1} {4}} { sqrt {8 - { sqrt {2 left (15 + { sqrt {17}} + { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}} - 2 { sqrt {17 + 3 { sqrt {17}} - { sqrt {170 + 38 { sqrt {17}}}}}} vpravo)}}}} & { frac {1} {16}} vlevo (-1 + { sqrt {17}} + { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}} + 2 { sqrt {17 + 3 { sqrt {17}} - { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}} - 2 { sqrt {34 + 2 { sqrt {17}}}}}} vpravo) & hline 18 & { frac {i} {4}} left ({ sqrt [{3}] {4-4 { sqrt {-3}}}} - { sqrt [{3}] {4 + 4 { sqrt {-3}}}} vpravo) & { frac {1} {4}} vlevo ({ sqrt [{3}] {4 + 4 { sqrt {-3}}}} + { sqrt [{3}] {4-4 { sqrt {-3}}}} vpravo) & hline 20 & { frac {1} {4}} vlevo ({ sqrt {5} } -1 right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {5}} left ({ sqrt {25-10 { sqrt {5}}}} right) hline 24 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) & 2 - { sqrt {3}} konec {pole}}}$

Poznámky

Používá pro konstanty

Jako příklad použití těchto konstant zvažte objem a pravidelný dvanáctistěn, kde A je délka hrany:

{ displaystyle V = { frac {5a ^ {3} cos 36 ^ { circ}} { tan ^ {2} {36 ^ { circ}}}}.}

Použitím

{ displaystyle cos 36 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}}, ,}

{ displaystyle tan 36 ^ { circ} = { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}}, ,}

to lze zjednodušit na:

{ displaystyle V = { frac {a ^ {3} vlevo (15 + 7 { sqrt {5}} vpravo)} {4}}. ,}

Derivační trojúhelníky

Pravidelný mnohoúhelník (n-stranný) a jeho základní pravý trojúhelník. Úhly: A = 180°/n a b =90(1 − 2/n)°

Odvození sinusových, kosinových a tečných konstant do radiálních forem je založeno na konstruovatelnost pravých trojúhelníků.

Zde se pro výpočet základních trigonometrických poměrů používají pravé trojúhelníky vytvořené ze sekcí symetrie pravidelných polygonů. Každý pravý trojúhelník představuje tři body v pravidelném mnohoúhelníku: vrchol, střed hrany obsahující tento vrchol a střed mnohoúhelníku. An n-gon lze rozdělit na 2n pravé trojúhelníky s úhly 180/n, 90 − 180/n, 90 stupňů, pro n ve 3, 4, 5,…

Konstruktivita 3, 4, 5 a 15stranných mnohoúhelníků jsou základem a úhlové přímky umožňují odvodit také násobky dvou.

Konstruktivní
- 3 × 2ⁿ-stranné pravidelné polygony, pro n = 0, 1, 2, 3, ...
  - 30 ° -60 ° -90 ° trojúhelník: trojúhelník (3stranný)
  - 60 ° -30 ° -90 ° trojúhelník: šestiúhelník (6stranný)
  - 75 ° -15 ° -90 ° trojúhelník: dodekagon (12stranný)
  - 82,5 ° -7,5 ° -90 ° trojúhelník: icositetragon (24stranný)
  - 86,25 ° -3,75 ° -90 ° trojúhelník: tetracontaoctagon (48stranný)
  - 88,125 ° - 1,875 ° -90 ° trojúhelník: enneacontahexagon (96stranný)
  - 89.0625 ° -0.9375 ° -90 ° trojúhelník: 192-gon
  - 89,53125 ° -0,46875 ° -90 ° trojúhelník: 384-gon
  - ...
- 4 × 2ⁿ-stranný
  - 45 ° -45 ° -90 ° trojúhelník: náměstí (Čtyřstranný)
  - 67,5 ° -22,5 ° -90 ° trojúhelník: osmiúhelník (8stranný)
  - 78,75 ° -11,25 ° -90 ° trojúhelník: hexadekagon (16stranný)
  - 84,375 ° -5,625 ° -90 ° trojúhelník: triacontadigon (32stranný)
  - 87,1875 ° -2,8125 ° -90 ° trojúhelník: hexacontatetragon (64stranný)
  - 88,09375 ° -1,40625 ° -90 ° trojúhelník: 128 gon
  - 89,046875 ° -0,703125 ° -90 ° trojúhelník: 256-gon
  - ...
- 5 × 2ⁿ-stranný
  - 54 ° -36 ° -90 ° trojúhelník: Pentagon (5stranný)
  - 72 ° -18 ° -90 ° trojúhelník: desetiúhelník (10stranný)
  - 81 ° -9 ° -90 ° trojúhelník: icosagon (20stranný)
  - Trojúhelník 85,5 ° -4,5 ° -90 °: tetracontagon (40stranný)
  - 87,75 ° -2,25 ° -90 ° trojúhelník: oktakontagon (80stranný)
  - 88,875 ° -1,125 ° -90 ° trojúhelník: 160-gon
  - 89,4375 ° -0,5625 ° -90 ° trojúhelník: 320-gon
  - ...
- 15 × 2ⁿ-stranný
  - 78 ° -12 ° -90 ° trojúhelník: pentadekagon (15stranný)
  - 84 ° -6 ° -90 ° trojúhelník: triakontagon (30stranný)
  - 87 ° -3 ° -90 ° trojúhelník: hexakontagon (60stranný)
  - 88,5 ° -1,5 ° -90 ° trojúhelník: hecatonicosagon (120stranný)
  - 89,25 ° -0,75 ° -90 ° trojúhelník: 240-gon
- ...

Existují také vyšší konstruovatelné pravidelné polygony: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537, 69481, 73697, ..., 4294967295.)

Nekonstruovatelný (s úhly celých nebo polovičních stupňů) - Žádné konečné radikální výrazy zahrnující reálná čísla pro tyto poměry hran trojúhelníku nejsou možné, proto jeho násobky dvou také nejsou možné.
- 9 × 2ⁿ-stranný
  - 70 ° -20 ° -90 ° trojúhelník: enneagon (9stranný)
  - 80 ° -10 ° -90 ° trojúhelník: oktadekagon (18stranný)
  - 85 ° -5 ° -90 ° trojúhelník: triacontahexagon (36stranný)
  - 87,5 ° -2,5 ° -90 ° trojúhelník: heptacontadigon (72stranný)
  - ...
- 45 × 2ⁿ-stranný
  - 86 ° -4 ° -90 ° trojúhelník: tetracontapentagon (45stranný)
  - 88 ° -2 ° -90 ° trojúhelník: enneacontagon (90stranný)
  - 89 ° -1 ° -90 ° trojúhelník: 180-gon
  - 89,5 ° -0,5 ° -90 ° trojúhelník: 360 gon
  - ...

Vypočtené trigonometrické hodnoty pro sinus a kosinus

Triviální hodnoty

Ve formátu stupňů lze sinus a cos 0, 30, 45, 60 a 90 vypočítat z jejich pravoúhlých trojúhelníků pomocí Pythagorovy věty.

V radiánovém formátu sin a cos $π$ / 2ⁿ lze vyjádřit v radikálním formátu rekurzivním použitím následujícího:

{ displaystyle 2 cos theta = { sqrt {2 + 2 cos 2 theta}} = { sqrt {2 + { sqrt {2 + 2 cos 4 theta}}}} = { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + 2 cos 8 theta}}}}}}

a tak dále.

{ displaystyle 2 sin theta = { sqrt {2-2 cos 2 theta}} = { sqrt {2 - { sqrt {2 + 2 cos 4 theta}}}} = { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + 2 cos 8 theta}}}}}}

a tak dále.

Například:

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {1}}} = { frac {0} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + 0}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2-0}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2} }}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2} }}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}} }}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}} }}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {6}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {6}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}} {2}}}

a tak dále.

Radikální forma, hřích a cos $π$ /(3 × 2ⁿ)

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {3}} = { frac {-1} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 krát 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2-1}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 krát 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2 + 1}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 krát 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2 + 1}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 krát 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2-1}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 krát 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {3}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 krát 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {3}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 krát 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 krát 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 krát 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3 }}}}}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 krát 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3 }}}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 krát 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 krát 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}} {2}}}

a tak dále.

Radikální forma, hřích a cos $π$ /(5 × 2ⁿ)

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {5}} = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 krát 2 ^ {0}}} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}}}

(Proto

{ displaystyle 2 + 2 cos { frac { pi} {5}} = 2 + { sqrt {1,25}} + 0,5}

)

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 krát 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2,5 + { sqrt {1,25}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 krát 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {1,5 - { sqrt {1,25}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 krát 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2,5 + { sqrt {1,25}}}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 krát 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2,5 + { sqrt {1,25}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 krát 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2,5 + { sqrt {1,25 }}}}}}}} {2}}}

a

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 krát 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2,5 + { sqrt {1,25 }}}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 krát 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2,5 + { sqrt {1.25}}}}}}}}}} {2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{5 imes 2^{4}}}={frac {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2.5+{sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{5 imes 2^{5}}}={frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2.5+{sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{5 imes 2^{5}}}={frac {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2.5+{sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}}

a tak dále.

Radical form, sin and cos of $π$ /(5 × 3 × 2ⁿ)

{displaystyle cos {frac {pi }{15 imes 2^{0}}}={frac {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}-0.25}{2}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{15 imes 2^{1}}}={frac {sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{15 imes 2^{1}}}={frac {sqrt {2.25-{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}-{sqrt {0.3125}}}}{2}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{15 imes 2^{2}}}={frac {sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{15 imes 2^{2}}}={frac {sqrt {2-{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{15 imes 2^{3}}}={frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{15 imes 2^{3}}}={frac {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{15 imes 2^{4}}}={frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{15 imes 2^{4}}}={frac {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{15 imes 2^{5}}}={frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{15 imes 2^{5}}}={frac {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {{sqrt {{sqrt {0.703125}}+1.875}}+{sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}}

a tak dále.

Radical form, sin and cos of $π$ /(17 × 2ⁿ)

Li ${displaystyle M=2(17+{sqrt {17}})}$ a ${displaystyle N=2(17-{sqrt {17}})}$ pak

{displaystyle cos {frac {pi }{17}}={frac {sqrt {M-4+2({sqrt {N}}+{sqrt {2(2M-N+{sqrt {17N}}-{sqrt {N}}-8{sqrt {M}})}})}}{8}}.}

Therefore, applying induction:

{displaystyle cos {frac {pi }{17 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {30+2{sqrt {17}}+{sqrt {136-8{sqrt {17}}}}+{sqrt {272+48{sqrt {17}}+8{sqrt {34-2{sqrt {17}}}} imes ({sqrt {17}}-1)-64{sqrt {34+2{sqrt {17}}}}}}}}{8}};}

{displaystyle cos {frac {pi }{17 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{17 imes 2^{n}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{17 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{17 imes 2^{n}}}}}{2}}.}

Radical form, sin and cos of $π$ /(257 × 2ⁿ) a $π$ /(65537 × 2ⁿ)

The induction above can be applied in the same way to all the remaining Fermat připraví (F₃=2^2³+1=2⁸+1=257 a F₄=2^2⁴+1=2¹⁶+1=65537), the factors of $π$ whose cos and sin radical expressions are known to exist but are very long to express here.

{displaystyle cos {frac {pi }{257 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{257 imes 2^{n}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{257 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{257 imes 2^{n}}}}}{2}};}

{displaystyle cos {frac {pi }{65537 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{65537 imes 2^{n}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{65537 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{65537 imes 2^{n}}}}}{2}}.}

Radical form, sin and cos of $π$ /(255 × 2ⁿ), $π$ /(65535 × 2ⁿ) a $π$ /(4294967295 × 2ⁿ)

D = 2³² - 1 = 4,294,967,295 is the largest zvláštní integer denominator for which radical forms for sin( $π$ /D) and cos ( $π$ /D) are known to exist.

Using the radical form values from the sections above, and applying cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB, followed by induction, we get -

{displaystyle cos {frac {pi }{255 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {2+2cos({frac {pi }{15}}-{frac {pi }{17}})}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{255 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {2-2cos({frac {pi }{15}}-{frac {pi }{17}})}}{2}};}

{displaystyle cos {frac {pi }{255 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{255 imes 2^{n}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{255 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{255 imes 2^{n}}}}}{2}};}

Therefore, using the radical form values from the sections above, and applying cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB, followed by induction, we get -

{displaystyle cos {frac {pi }{65535 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {2+2cos({frac {pi }{255}}-{frac {pi }{257}})}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{65535 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {2-2cos({frac {pi }{255}}-{frac {pi }{257}})}}{2}};}

{displaystyle cos {frac {pi }{65535 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{65535 imes 2^{n}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{65535 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{65535 imes 2^{n}}}}}{2}}.}

Finally, using the radical form values from the sections above, and applying cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB, followed by induction, we get -

{displaystyle cos {frac {pi }{4294967295 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {2+2cos({frac {pi }{65535}}-{frac {pi }{65537}})}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{4294967295 imes 2^{0}}}={frac {sqrt {2-2cos({frac {pi }{65535}}-{frac {pi }{65537}})}}{2}};}

{displaystyle cos {frac {pi }{4294967295 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{4294967295 imes 2^{n}}}}}{2}}}

a

{displaystyle sin {frac {pi }{4294967295 imes 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{4294967295 imes 2^{n}}}}}{2}}.}

The radical form expansion of the above is very large, hence expressed in the simpler form above.

n × $π$ /(5 × 2^m)

Chord(36°) = A/b = 1/φ, i.e., the reciprocal of the Zlatý řez, z Ptolemaiova věta

Geometrical method

Přihlašování Ptolemaiova věta do cyklický čtyřúhelník ABCD defined by four successive vertices of the pentagon, we can find that:

{displaystyle operatorname {crd} 36^{circ }=operatorname {crd} (angle mathrm {ADB} )={frac {a}{b}}={frac {2}{1+{sqrt {5}}}}={frac {{sqrt {5}}-1}{2}}}

which is the reciprocal 1/φ z Zlatý řez. crd je akord funkce,

{displaystyle operatorname {crd} { heta }=2sin {frac { heta }{2}}.,}

(Viz také Ptolemaiova tabulka akordů.)

Tím pádem

{displaystyle sin 18^{circ }={frac {1}{1+{sqrt {5}}}}={frac {{sqrt {5}}-1}{4}}.}

(Alternatively, without using Ptolemy's theorem, label as X the intersection of AC and BD, and note by considering angles that triangle AXB is rovnoramenný, so AX = AB = A. Triangles AXD and CXB are podobný, because AD is parallel to BC. So XC = A·(A/b). But AX + XC = AC, so A + A²/b = b. Solving this gives A/b = 1/φ, as above).

Podobně

{displaystyle operatorname {crd} 108^{circ }=operatorname {crd} (angle mathrm {ABC} )={frac {b}{a}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}},}

tak

{displaystyle sin 54^{circ }=cos 36^{circ }={frac {1+{sqrt {5}}}{4}}.}

Algebraic method

If θ is 18° or -54°, then 2θ and 3θ add up to 5θ = 90° or -270°, therefore sin 2θ is equal to cos 3θ.

{displaystyle (2sin heta )cos heta =sin 2 heta =cos 3 heta =4cos ^{3} heta -3cos heta =(4cos ^{2} heta -3)cos heta =(1-4sin ^{2} heta )cos heta }

Tak,

{displaystyle 4sin ^{2} heta +2sin heta -1=0}

, což znamená

{displaystyle sin heta =sin(18^{circ },-54^{circ })={frac {-1pm {sqrt {5}}}{4}}.}

Proto,

{displaystyle sin(18^{circ })=cos(72^{circ })={frac {{sqrt {5}}-1}{4}}}

a

{displaystyle sin(54^{circ })=cos(36^{circ })={frac {{sqrt {5}}+1}{4}}}

a

{displaystyle sin(36^{circ })=cos(54^{circ })={frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}}

a

{displaystyle sin(72^{circ })=cos(18^{circ })={frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}.}

Alternately, the multiple-angle formulas for functions of 5X, kde X ∈ {18, 36, 54, 72, 90} and 5X ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, can be solved for the functions of X, since we know the function values of 5X. The multiple-angle formulas are:

{displaystyle sin 5x=16sin ^{5}x-20sin ^{3}x+5sin x,,}

{displaystyle cos 5x=16cos ^{5}x-20cos ^{3}x+5cos x.,}

When sin 5X = 0 or cos 5X = 0, we let y = hříchX nebo y = cos x and solve for y:

{displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y=0.,}

One solution is zero, and the resulting kvartická rovnice can be solved as a quadratic in y².

When sin 5X = 1 or cos 5X = 1, we again let y = hříchX nebo y = cos x and solve for y:

{displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,,}

which factors into:

{displaystyle (y-1)left(4y^{2}+2y-1 ight)^{2}=0.,}

n × $π$ /20

9° is 45 − 36, and 27° is 45 − 18; so we use the subtraction formulas for sine and cosine.

n × $π$ /30

6° is 36 − 30, 12° is 30 − 18, 24° is 54 − 30, and 42° is 60 − 18; so we use the subtraction formulas for sine and cosine.

n × $π$ /60

3° is 18 − 15, 21° is 36 − 15, 33° is 18 + 15, and 39° is 54 − 15, so we use the subtraction (or addition) formulas for sine and cosine.

Strategies for simplifying expressions

Rationalizing the denominator

If the denominator is a square root, multiply the numerator and denominator by that radical.

If the denominator is the sum or difference of two terms, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. The conjugate is the identical, except the sign between the terms is changed.

Sometimes you need to rationalize the denominator more than once.

Splitting a fraction in two

Sometimes it helps to split the fraction into the sum of two fractions and then simplify both separately.

Squaring and taking square roots

If there is a complicated term, with only one kind of radical in a term, this plan may help. Square the term, combine like terms, and take the square root. This may leave a big radical with a smaller radical inside, but it is often better than the original.

Simplifying nested radical expressions

In general nested radicals cannot be reduced. Ale pokud

{displaystyle {sqrt {apm b{sqrt {c}}}},}

s A, b, a C rational, we have

{displaystyle R={sqrt {a^{2}-b^{2}c}},}

is rational, then both

{displaystyle d={frac {a+R}{2}}{ ext{ and }}e={frac {a-R}{2}},}

are rational; pak máme

{displaystyle {sqrt {apm b{sqrt {c}}}}={sqrt {d}}pm {sqrt {e}}.,}

Například,

{displaystyle 4sin 18^{circ }={sqrt {6-2{sqrt {5}}}}={sqrt {5}}-1.,}

{displaystyle 4sin 15^{circ }=2{sqrt {2-{sqrt {3}}}}={sqrt {2}}left({sqrt {3}}-1 ight).}

Viz také

Konstruktivní polygon, one for which the cosine or sine of each angle has an exact expression in square roots
Heptadecagonal construction, giving the exact expression for cos 2 $π$ /17
Seznam trigonometrických identit
Nivenova věta on rational values of the sine of a rational multiple of $π$
Ptolemaiova tabulka akordů
Trigonometrické funkce
Trigonometrické číslo, the value of a trigonometric function of a rational multiple of $π$
Units of angle measure

Reference

^ ^A ^b Bradie, Brian (Sep 2002). "Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach". The College Mathematics Journal. 33 (4): 318–319. doi:10.2307/1559057. JSTOR 1559057.

Weisstein, Eric W. "Constructible polygon". MathWorld.

Weisstein, Eric W. "Trigonometry angles". MathWorld.

$π$ /3 (60°) — $π$ /6 (30°) — $π$ /12 (15°) — $π$ /24 (7.5°)
$π$ /4 (45°) — $π$ /8 (22.5°) — $π$ /16 (11.25°) — $π$ /32 (5.625°)
$π$ /5 (36°) — $π$ /10 (18°) — $π$ /20 (9°)
$π$ /7 — $π$ /14
$π$ /9 (20°) — $π$ /18 (10°)
$π$ /11
$π$ /13
$π$ /15 (12°) — $π$ /30 (6°)
$π$ /17
$π$ /19
$π$ /23

Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). "Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of ζ(3)/ $π$ ³". Int. J. Quantum Chem. 90 (1): 42–53. doi:10.1002/qua.1803.
Conway, John H .; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo (1999). "On angles whose squared trigonometric functions are rational". Disk. And Comp. Geom. 22 (3): 321–332. arXiv:math-ph/9812019. doi:10.1007/PL00009463. PAN 1706614.
Girstmair, Kurt (1997). "Some linear relations between values of trigonometric functions at k $π$ /n". Acta Arithmetica. 81 (4): 387–398. doi:10.4064/aa-81-4-387-398. PAN 1472818.
Gurak, S. (2006). „Na minimálním polynomu gaussových period pro hlavní síly“. Matematika výpočtu. 75 (256): 2021–2035. Bibcode:2006MaCom..75.2021G. doi:10.1090 / S0025-5718-06-01885-0. PAN 2240647.
Servi, L. D. (2003). "Vnořené druhé odmocniny 2". Amer. Matematika. Měsíční. 110 (4): 326–330. doi:10.2307/3647881. JSTOR 3647881. PAN 1984573.

externí odkazy

Sestavitelné pravidelné polygony
Pojmenování polygonů
Sinus a kosinus v surdách zahrnuje alternativní výrazy v některých případech i výrazy pro jiné úhly

[Bradie-1] A ^b Bradie, Brian (Sep 2002). "Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach". The College Mathematics Journal. 33 (4): 318–319. doi:10.2307/1559057. JSTOR 1559057.

[1]

Trigonometrické konstanty vyjádřené ve skutečných radikálech - Trigonometric constants expressed in real radicals

Rozsah tohoto článku

Další úhly

0 °: zásadní

1,5 °: pravidelný hecatonicosagon (120stranný mnohoúhelník)

1,875 °: pravidelný enneacontahexagon (96stranný polygon)

2,25 °: pravidelný oktacontagon (80stranný mnohoúhelník)

2,8125 °: běžný hexacontatetragon (64stranný polygon)

3 °: pravidelný šestiúhelník (60stranný mnohoúhelník)

3,75 °: pravidelný tetrakontaktagon (48stranný mnohoúhelník)

4,5 °: pravidelný tetrakontagon (čtyřstranný polygon)

5,625 °: pravidelný triakontadigon (32stranný mnohoúhelník)

6 °: pravidelný triakontagon (30stranný mnohoúhelník)

7,5 °: běžný icositetragon (24stranný mnohoúhelník)

9 °: pravidelný ikosagon (20stranný mnohoúhelník)

11,25 °: pravidelný hexadekagon (16stranný mnohoúhelník)

12 °: pravidelný pentadekagon (15stranný mnohoúhelník)

15 °: pravidelný dodekagon (12stranný mnohoúhelník)

18 °: pravidelný desetiúhelník (10stranný mnohoúhelník)[1]

21 °: součet 9 ° + 12 °

22,5 °: pravidelný osmiúhelník

24 °: součet 12 ° + 12 °

27 °: součet 12 ° + 15 °

30 °: pravidelný šestiúhelník

33 °: součet 15 ° + 18 °

36 °: pravidelný pětiúhelník

39 °: součet 18 ° + 21 °

42 °: součet 21 ° + 21 °

45 °: čtverec

54 °: součet 27 ° + 27 °

60 °: rovnostranný trojúhelník

67,5 °: součet 7,5 ° + 60 °

72 °: součet 36 ° + 36 °

75 °: součet 30 ° + 45 °

90 °: zásadní

Seznam trigonometrických konstant 2π / n

Poznámky

Používá pro konstanty

Derivační trojúhelníky

Vypočtené trigonometrické hodnoty pro sinus a kosinus

Triviální hodnoty

Radikální forma, hřích a cos π/(3 × 2n)

Radikální forma, hřích a cos π/(5 × 2n)

Radical form, sin and cos of π/(5 × 3 × 2n)

Radical form, sin and cos of π/(17 × 2n)

Radical form, sin and cos of π/(257 × 2n) a π/(65537 × 2n)

Radical form, sin and cos of π/(255 × 2n), π/(65535 × 2n) a π/(4294967295 × 2n)

n × π/(5 × 2m)

Geometrical method

Algebraic method

n × π/20

n × π/30

n × π/60

Strategies for simplifying expressions

Rationalizing the denominator

Splitting a fraction in two

Squaring and taking square roots

Simplifying nested radical expressions

Viz také

Reference

externí odkazy

18 °: pravidelný desetiúhelník (10stranný mnohoúhelník)^[1]

Radikální forma, hřích a cos $π$ /(3 × 2ⁿ)

Radikální forma, hřích a cos $π$ /(5 × 2ⁿ)

Radical form, sin and cos of $π$ /(5 × 3 × 2ⁿ)

Radical form, sin and cos of $π$ /(17 × 2ⁿ)

Radical form, sin and cos of $π$ /(257 × 2ⁿ) a $π$ /(65537 × 2ⁿ)

Radical form, sin and cos of $π$ /(255 × 2ⁿ), $π$ /(65535 × 2ⁿ) a $π$ /(4294967295 × 2ⁿ)

n × $π$ /(5 × 2^m)

n × $π$ /20

n × $π$ /30

n × $π$ /60