Maticová reprezentace kuželoseček - Matrix representation of conic sections

v matematika, maticová reprezentace kuželoseček povoluje nástroje lineární algebra které mají být použity při studiu kuželovité úseky. Poskytuje snadné způsoby výpočtu kuželosečky osa, vrcholy, tečny a pól a polární vztah mezi body a liniemi roviny určený kuželosečkou. Tato technika nevyžaduje uvedení rovnice kuželosečky do standardního tvaru, což usnadňuje vyšetřování těch kuželoseček, jejichž osy nejsou rovnoběžné s souřadnicový systém.

Kuželovité úseky (včetně degenerovaných) jsou sady bodů, jejichž souřadnice uspokojují druhý stupeň polynomiální rovnice,

{ displaystyle Q (x, y) = Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0.}

Podle zneužití notace, bude také volána tato kuželovitá část $Q$ když nemůže dojít k záměně.

Tuto rovnici lze zapsat matice notace, ve smyslu a symetrická matice zjednodušit některé následující vzorce, jako^[1]

{ displaystyle left ({ begin {matrix} x & y end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y end {matrix}} right) + left ({ begin {matrix} D&E end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y end {matrix}} right) + F = 0.}

Součet prvních tří termínů této rovnice, jmenovitě

{ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} = left ({ begin {matrix} x & y end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 a C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y end {matrix}} right),}

je kvadratická forma spojené s rovnicía matice

{ displaystyle A_ {33} = left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right)}

se nazývá matice kvadratické formy. The stopa a určující z ${ displaystyle A_ {33}}$ jsou invariantní vzhledem k rotaci os a posunu roviny (pohyb počátku).^[2]^[3]

The kvadratická rovnice lze také napsat jako

{ displaystyle mathbf {x} ^ {T} A_ {Q} mathbf {x} = 0,}

kde ${ displaystyle mathbf {x}}$ je homogenní vektor souřadnic ve třech proměnných omezeno tak, že poslední proměnná je 1, tj.

{ displaystyle { begin {pmatrix} x y 1 end {pmatrix}}}

a kde ${ displaystyle A_ {Q}}$ je matice

{ displaystyle A_ {Q} = { begin {pmatrix} A & B / 2 & D / 2 B / 2 & C & E / 2 D / 2 & E / 2 & F end {pmatrix}}.}

Matice ${ displaystyle A_ {Q}}$ se nazývá matice kvadratické rovnice.^[4] Jako to z ${ displaystyle A_ {33}}$ , jeho determinant je neměnný s ohledem na rotaci i překlad.^[3]

2 × 2 horní levá submatice (matice řádu 2) z $A Q$ , získané odstraněním třetího (posledního) řádku a třetího (posledního) sloupce z $A Q$ je matice kvadratické formy. Výše uvedený zápis $A 33$ se v tomto článku používá ke zdůraznění tohoto vztahu.

Klasifikace

Správné (nedegenerované) a zdegenerovaný kuželovitý tvar části lze rozlišit^[5]^[6] založeno na určující z $A Q$ .

Li ${ displaystyle det A_ {Q} = 0}$ , kuželovitý je zdegenerovaný.

Li ${ displaystyle det A_ {Q} neq 0}$ aby $Q$ není zdegenerovaný, můžeme zjistit, o jaký typ kuželosečky jde, výpočtem Méně důležitý, ${ displaystyle det A_ {33}}$ :

$Q$ je hyperbola kdyby a jen kdyby ${ displaystyle det A_ {33} <0}$ ,
$Q$ je parabola kdyby a jen kdyby ${ displaystyle det A_ {33} = 0}$ , a
$Q$ je elipsa kdyby a jen kdyby ${ displaystyle det A_ {33}> 0}$ .

V případě elipsy můžeme odlišit speciální případ kruhu porovnáním posledních dvou diagonálních prvků odpovídajících koeficientům $X 2$ a $y 2$ :

Li $A = C$ a $B = 0$ , pak $Q$ je kruh.

Navíc v případě nedegenerované elipsy (s ${ displaystyle det A_ {33}> 0}$ a ${ displaystyle det A_ {Q} neq 0}$ ), máme skutečnou elipsu, pokud ${ displaystyle (A + C) det A_ {Q} <0}$ ale imaginární elipsa, pokud ${ displaystyle (A + C) det A_ {Q}> 0}$ . Příkladem toho druhého je ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 10 = 0}$ , která nemá žádná skutečná řešení.

Pokud je kuželovitý řez degenerovat ( ${ displaystyle det A_ {Q} = 0}$ ), ${ displaystyle det A_ {33}}$ stále nám umožňuje rozlišit jeho formu:

Dvě protínající se čáry (hyperbola zdegenerovaná na své dvě asymptoty) právě tehdy ${ displaystyle det A_ {33} <0}$ .
Dvě rovnoběžné přímky (zdegenerovaná parabola) právě tehdy ${ displaystyle det A_ {33} = 0}$ . Tyto řádky jsou odlišné a skutečné, pokud ${ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2}> 4 (A + C) F}$ , shodné pokud ${ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2} = 4 (A + C) F}$ , a neexistující ve skutečné rovině, pokud ${ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2} <4 (A + C) F}$ .
Jediný bod (zdegenerovaná elipsa) právě tehdy ${ displaystyle det A_ {33}> 0}$ .

Případ shodných linií nastává tehdy a jen tehdy, pokud je to hodnost matice 3 × 3 ${ displaystyle A_ {Q}}$ je 1; ve všech ostatních degenerovaných případech je jeho pozice 2.^[2]

Centrální kuželosečky

Když ${ displaystyle det A_ {33} neq 0}$ A geometrický střed kuželosečky existuje a takové kuželosečky (elipsy a hyperboly) se nazývají centrální kuželosečky.^[7]

Centrum

Střed kuželosečky, pokud existuje, je bod, který půlí všechny akordy kuželosečky, které jím procházejí. Tuto vlastnost lze použít k výpočtu souřadnic středu, který lze zobrazit jako bod, kde je přechod kvadratické funkce $Q$ zmizí - to znamená,^[8]

{ displaystyle nabla Q = left [{ frac { částečné Q} { částečné x}}, { frac { částečné Q} { částečné y}} vpravo] = [0,0].}

Tím se získá střed, jak je uvedeno níže.

Alternativní přístup, který používá maticovou formu kvadratické rovnice, je založen na skutečnosti, že když je středem počátek souřadného systému, nejsou v rovnici žádné lineární výrazy. Jakýkoli překlad do počátku souřadnic $(X 0, y 0)$ , použitím $X *$ = $X$ – $X 0$ , $y *$ = $y$ – $y 0$ dává vzniknout

{ displaystyle left ({ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} & y ^ {*} + y_ {0} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} y ^ {*} + y_ {0} end {matrix}} right) + left ({ begin {matrix} D&E end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} y ^ {*} + y_ {0} end {matrix}} right) + F = 0.}

Podmínka pro $(X 0, y 0)$ být středem kuželosečky $(X C, y C)$ je to, že koeficienty lineárního $X*$ a $y *$ výrazy, když se tato rovnice vynásobí, jsou nulové. Tato podmínka vytvoří souřadnice středu:

{ displaystyle { begin {pmatrix} x_ {c} y_ {c} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} A & B / 2 B / 2 & C end {pmatrix}} ^ {- 1 } { begin {pmatrix} -D / 2 - E / 2 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} (BE-2CD) / (4AC-B ^ {2}) (DB- 2AE) / (4AC-B ^ {2}) end {pmatrix}}.}

Tento výpočet lze také provést převzetím prvních dvou řádků přidružené matice $A Q$ , vynásobením každého $(X, y, 1) ⊤$ a nastavení obou vnitřních produktů rovných 0, získání následujícího systému:

{ displaystyle Ax + (B / 2) y + D / 2 = 0,}

{ displaystyle (B / 2) x + Cy + E / 2 = 0.}

Tím se získá výše uvedený středový bod.

V případě paraboly, tj. Kdy $4 AC - B 2 = 0$ , neexistuje žádný střed, protože výše uvedené jmenovatele se staly nulovými (nebo, vykládáno projektivně, střed je na čára v nekonečnu.)

Rovnice se středovou maticí

Centrální (non-parabola) kuželovitý tvar ${ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$ lze přepsat na středovou maticovou formu jako

{ displaystyle left ({ begin {matrix} x-x_ {c} & y-y_ {c} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x-x_ {c} y-y_ {c} end {matrix}} right) = K,}

kde

{ displaystyle K = { frac {- det (A_ {Q})} {AC- (B / 2) ^ {2}}} = { frac {- det (A_ {Q})} { det (A_ {33})}}.}

Pak pro případ elipsy z $AC > (B /2) 2$ , elipsa je skutečná, pokud je znaménkem $K.$ se rovná znaménku $(A + C)$ (tj. znamení každého z $A$ a $C$ ), imaginární, pokud mají opačná znaménka, a zvrhlou bodovou elipsu, pokud $K. = 0$ . V případě hyperboly $AC < (B /2) 2$ , hyperbola je zdegenerovaná právě tehdy $K. = 0$ .

Standardní forma centrálního kužele

The standardní forma rovnice středového kuželovitého řezu se získá, když se kuželovitý řez překlopí a otočí tak, že jeho střed leží ve středu souřadného systému a jeho osy se shodují s osami souřadnic. To je ekvivalentní tomu, že se říká, že střed souřadného systému se posune a osy souřadnic se otočí, aby vyhovovaly těmto vlastnostem. V diagramu originál $xy$ -koordinovaný systém s původem $Ó$ je přesunut do $x'y '$ -koordinovaný systém s původem $Ó'$ .

Překlad a otáčení souřadnic

Překlad je vektorem ${ displaystyle { vec {t}} = { begin {pmatrix} x_ {c} y_ {c} end {pmatrix}}.}$

Otočení o úhel $α$ lze provést diagonalizací matice $A 33$ .Takže pokud ${ displaystyle lambda _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}}$ jsou vlastní čísla matice A₃₃, centrovanou rovnici lze přepsat na nové proměnné $X'$ a $y '$ tak jako^[9]

{ displaystyle lambda _ {1} x '^ {2} + lambda _ {2} y' ^ {2} = - { frac { det A_ {Q}} { det A_ {33}}} .}

Dělení ${ displaystyle K = - { frac { det A_ {Q}} { det A_ {33}}}}$ získáme standardní kanonický formulář.

Například pro elipsu je tento formulář

{ displaystyle { frac {{x '} ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {{y'} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

Odtud jsme $A$ a $b$ , délky semi-major a semi-minor os v konvenčním zápisu.

Pro centrální kuželosečky jsou obě vlastní čísla nenulová a klasifikaci kuželoseček lze získat jejich prozkoumáním.^[10]

Li $λ 1$ a $λ 2$ mít stejné algebraické znaménko $Q$ je skutečná elipsa, imaginární elipsa nebo skutečný bod, pokud $K.$ má stejné znaménko, má opačné znaménko nebo je nula.
Li $λ 1$ a $λ 2$ mít tedy opačné algebraické znaky $Q$ je hyperbola nebo dvě protínající se čáry podle toho, zda $K.$ je nenulová, respektive nula.

Sekery

Podle věta o hlavní ose, dva vlastní vektory matice kvadratické formy středového kuželovitého řezu (elipsa nebo hyperbola) jsou kolmý (ortogonální navzájem) a každý je rovnoběžný s (ve stejném směru jako) buď s hlavní nebo vedlejší osa kuželosečky. Vlastní vektor, který má nejmenší vlastní hodnotu (v absolutní hodnotě), odpovídá hlavní ose.^[11]

Konkrétně, pokud má středová kuželovitá část střed $(X C, y C)$ a vlastní vektor $A 33$ darováno $proti \to (proti 1, proti 2)$ pak hlavní osa (hlavní nebo vedlejší) odpovídající tomuto vlastnímu vektoru má rovnici,

{ displaystyle { frac {x-x_ {c}} {v_ {1}}} = { frac {y-y_ {c}} {v_ {2}}}.}

Vrcholy

The vrcholy středového kuželosečky lze určit výpočtem průsečíků kuželosečky a jejích os - jinými slovy řešením systému skládajícího se z kvadratické kónické rovnice a lineární rovnice pro střídavě jednu nebo druhou z os. Pro každou osu se získají dva nebo žádné vrcholy, protože v případě hyperboly vedlejší osa neprotíná hyperbolu v bodě se skutečnými souřadnicemi. Z širšího pohledu však složité letadlo, vedlejší osa hyperboly protíná hyperbolu, ale v bodech se složitými souřadnicemi.^[12]

Poláci a poláry

Použitím homogenní souřadnice,^[13] body^[14]

{ displaystyle mathbf {p} = { begin {pmatrix} p_ {0} p_ {1} p_ {2} end {pmatrix}}}

a

{ displaystyle mathbf {r} = { začátek {pmatrix} r_ {0} r_ {1} r_ {2} konec {pmatrix}}}

jsou sdružené s ohledem na kuželovitý $Q$ pokud

{ displaystyle mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} mathbf {r} = 0.}

Konjugáty pevného bodu $str$ buď tvoří přímku, nebo se skládá ze všech bodů v rovině kuželosečky. Když konjugáty z $str$ tvoří linii, linka se nazývá polární z $str$ a pointa $str$ se nazývá pól úsečky, vzhledem ke kuželosečce. Tento vztah mezi body a přímkami se nazývá a polarita.

Pokud je kuželosečka nedegenerovaná, konjugáty bodu vždy tvoří přímku a polarita definovaná kuželosečkou je bijekce mezi body a úsečkami rozšířené roviny obsahující kuželosečku (tj. rovinu společně s bodů a čára v nekonečnu ).

Pokud jde o bod $str$ leží na kuželovitosti $Q$ , polární čára $str$ je tečna na $Q$ na $str$ .

Rovnice polární čáry bodu v homogenních souřadnicích $str$ s ohledem na nedegenerovaný kuželovitý tvar $Q$ darováno

{ displaystyle mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = 0.}

Stejně jako $str$ jednoznačně určuje jeho polární čáru (vzhledem k danému kuželosečce), takže každá čára určuje jedinečný pól $str$ . Navíc bod $str$ je na lince $L$ což je polární bod bodu $r$ , a to pouze v případě, že polární $str$ prochází bodem $r$ (La Hire věta).^[15] Tento vztah je tedy výrazem geometrického dualita mezi body a úsečkami v rovině.

S touto polaritou přímo souvisí několik známých konceptů týkajících se kuželoseček. The centrum nedegenerovaného kužele lze identifikovat jako pól přímky v nekonečnu. Parabola, která je tečna k přímce v nekonečnu, by měla jeho střed jako bod na přímce v nekonečnu. Hyperboly protínají čáru v nekonečnu ve dvou odlišných bodech a polární čáry těchto bodů jsou asymptoty hyperboly a jsou tečnami k hyperbole v těchto bodech nekonečna. Polární čára ohniska kuželosečky je také její odpovídající přímkou.^[16]

Tečny

Nechte čáru $L$ být polární čárou bodu $str$ s ohledem na nedegenerovaný kuželovitý tvar $Q$ . Podle La Hireovy věty prochází každá linie $str$ má svůj pól $L$ . Li $L$ protíná se $Q$ ve dvou bodech (maximum možných) jsou potom poláry těchto bodů tečnami, které procházejí $str$ a takový bod se nazývá vnější nebo vnější bod $Q$ . Li $L$ protíná se $Q$ pouze v jednom bodě, pak je to tečna a $str$ je tečný bod. Nakonec, pokud $L$ neprotíná se $Q$ pak $str$ nemá žádné tečny procházející skrz a nazývá se to interiér nebo vnitřní směřovat.^[17]

Rovnice tečny (v homogenních souřadnicích) v bodě $str$ na nedegenerovaném kužele $Q$ darováno,

{ displaystyle mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = 0.}

Li $str$ je vnější bod, nejprve najděte rovnici její polární (výše uvedená rovnice) a poté průsečíky této přímky s kuželosečkou, řekněme v bodech $s$ a $t$ . Poláry $s$ a $t$ budou tečny skrz $str$ .

Použitím teorie pólů a pólů se problém hledání čtyř vzájemných tečen dvou kuželoseček redukuje na nalezení průnik dvou kuželoseček.

Viz také

Poznámky

^ Brannan, Esplen & Gray 1999, str. 30
^ ^A ^b Pettofrezzo 1978, str. 110
^ ^A ^b Španělsko 2007, str. 59–62
^ Je to také matice kvadratické formy, ale tato forma má tři proměnné a je ${ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2}}$ .
^ Lawrence 1972, str. 63
^ Španělsko 2007, str. 70
^ Pettofrezzo 1978, str. 105
^ Ayoub 1993, str. 322
^ Ayoub 1993, str. 324
^ Pettofrezzo 1978, str. 108
^ Ostermann & Wanner 2012, str. 311
^ Kendig, Keith (2005), Kuželosečka„The Mathematical Association of America, str. 89–102, ISBN 978-0-88385-335-1
^ To umožňuje algebraické zahrnutí nekonečných bodů a přímky v nekonečnu, které je nutné mít pro některé z následujících výsledků
^ Tato část následuje Fishback, W.T. (1969), Projektivní a euklidovská geometrie (2. vyd.), Wiley, str. 167–172
^ Brannan, Esplen & Gray 1999, str. 189
^ Akopyan, A.V .; Zaslavsky, A.A. (2007), Geometrie kuželosečky, American Mathematical Society, str. 72, ISBN 978-0-8218-4323-9
^ Interpretováno v komplexní rovině, takový bod je na dvou složitých tečných liniích, které se setkávají $Q$ ve složitých bodech.

Reference

Ayoub, A. B. (1993), „The central conic sections revisited“, Matematický časopis, 66 (5): 322–325, doi:10.1080 / 0025570x.1993.11996157
Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1999), Geometrie, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
Lawrence, J. Dennis (1972), Katalog speciálních křivek letadelDover
Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometrie podle její historieSpringer, doi:10.1007/978-3-642-29163-0, ISBN 978-3-642-29163-0
Pettofrezzo, Anthony (1978) [1966], Matice a transformaceDover, ISBN 978-0-486-63634-4
Španělsko, Barry (2007) [1957], Analytické kuželosečkyDover, ISBN 978-0-486-45773-4

[1] Brannan, Esplen & Gray 1999, str. 30

[petto110-2] A ^b Pettofrezzo 1978, str. 110

[Spainsec-3] A ^b Španělsko 2007, str. 59–62

[4] Je to také matice kvadratické formy, ale tato forma má tři proměnné a je ${ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2}}$ .

[Lawrence-5] Lawrence 1972, str. 63

[6] Španělsko 2007, str. 70

[7] Pettofrezzo 1978, str. 105

[8] Ayoub 1993, str. 322

[9] Ayoub 1993, str. 324

[10] Pettofrezzo 1978, str. 108

[11] Ostermann & Wanner 2012, str. 311

[12] Kendig, Keith (2005), Kuželosečka„The Mathematical Association of America, str. 89–102, ISBN 978-0-88385-335-1

[13] To umožňuje algebraické zahrnutí nekonečných bodů a přímky v nekonečnu, které je nutné mít pro některé z následujících výsledků

[14] Tato část následuje Fishback, W.T. (1969), Projektivní a euklidovská geometrie (2. vyd.), Wiley, str. 167–172

[15] Brannan, Esplen & Gray 1999, str. 189

[16] Akopyan, A.V .; Zaslavsky, A.A. (2007), Geometrie kuželosečky, American Mathematical Society, str. 72, ISBN 978-0-8218-4323-9

[17] Interpretováno v komplexní rovině, takový bod je na dvou složitých tečných liniích, které se setkávají $Q$ ve složitých bodech.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]