Doprovodná matice - Companion matrix

v lineární algebra, Frobenius doprovodná matice z monický polynom

{ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ~,}

je čtvercová matice definováno jako

{ displaystyle C (p) = { begin {bmatrix} 0 & 0 & dots & 0 & -c_ {0} 1 & 0 & dots & 0 & -c_ {1} 0 & 1 & dots & 0 & -c_ {2} vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & dots & 1 & -c_ {n-1} end {bmatrix}}.}

Někteří autoři používají přemístit této matice, která (dvojím způsobem) cykluje souřadnice a je pro některé účely, například lineární, výhodnější relace opakování.

Charakterizace

The charakteristický polynom stejně jako minimální polynom z $C (p)$ jsou rovny $p$ .^[1]

V tomto smyslu matice $C (p)$ je „společník“ polynomu $p$ .

Li $A$ je n-podle-n matice s položkami z některých pole $K.$ , pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:

$A$ je podobný do doprovodné matice $K.$ jeho charakteristického polynomu
charakteristický polynom z $A$ se shoduje s minimálním polynomem $A$ , ekvivalentní minimální polynom má stupeň $n$
existuje a cyklický vektor $proti$ v ${ displaystyle V = K ^ {n}}$ pro $A$ , znamenající, že {proti, Aproti, A²proti, ..., Aⁿ⁻¹proti} je základ z PROTI. Stejně tak PROTI je cyklický jako ${ displaystyle K [A]}$ -modul (a ${ displaystyle V = K [A] / (p (A))}$ ); jeden to říká $A$ je nevylučující.

Ne každá čtvercová matice je podobná doprovodné matici. Ale každá matice je podobná matici složené z bloků doprovodných matic. Dále lze tyto doprovodné matice zvolit tak, aby se jejich polynomy navzájem rozdělovaly; pak jsou jednoznačně určeny $A$ . To je racionální kanonická forma z $A$ .

Diagonalizovatelnost

Li $p (t)$ má odlišné kořeny $λ 1, ..., λ n$ (dále jen vlastní čísla z C(p)), pak C(p) je úhlopříčně jak následuje:

{ displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = operatorname {diag} ( lambda _ {1}, dots, lambda _ {n})}

kde $PROTI$ je Vandermondeova matice odpovídající $λ$ je

V tom případě,^[2] stopy sil m z $C$ snadno získá součty stejných sil m všech kořenů p(t),

{ displaystyle operatorname {Tr} C ^ {m} = součet _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} ^ {m} ~.}

Li $p (t)$ má tedy jednoduchý kořen C(p) není diagonalizovatelný (jeho Jordan kanonická forma obsahuje jeden blok pro každý odlišný kořen).

Lineární rekurzivní sekvence

Vzhledem k tomu, lineární rekurzivní sekvence s charakteristickým polynomem

{ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ,}

(transponovat) doprovodnou matici

{ displaystyle C ^ {T} (p) = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 - c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & cdots & -c_ {n-1} end {bmatrix}}}

generuje sekvenci v tom smyslu, že

{ displaystyle C ^ {T} { begin {bmatrix} a_ {k} a_ {k + 1} vdots a_ {k + n-1} end {bmatrix}} = { začátek {bmatrix} a_ {k + 1} a_ {k + 2} vdots a_ {k + n} end {bmatrix}}.}

zvýší řadu o 1.

Vektor $(1, t, t 2, ..., t n -1)$ je vlastní vektor této matice pro vlastní hodnotu $t$ , když $t$ je kořen charakteristického polynomu $p (t)$ .

Pro $C 0 = -1$ a všechny ostatní $C i =0$ , tj., $p (t) = t n -1$ se tato matice redukuje na Sylvestrovu cykliku posunovací matice nebo cirkulační matice.

Viz také

Poznámky

^ Horn, Roger A .; Charles R. Johnson (1985). Maticová analýza. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. s. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. Citováno 2010-02-10.
^ Zvoník, Richard (1987), Úvod do maticové analýzy, SIAM, ISBN 0898713994 .

[1] Horn, Roger A .; Charles R. Johnson (1985). Maticová analýza. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. s. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. Citováno 2010-02-10.

[2] Zvoník, Richard (1987), Úvod do maticové analýzy, SIAM, ISBN 0898713994 .

[1]

[2]