Středicí matice - Centering matrix

v matematika a statistika s více proměnnými, centrovací matice^[1] je symetrický a idempotentní matice, který po vynásobení vektorem má stejný účinek jako odečtení znamenat složek vektoru z každé složky tohoto vektoru.

Definice

The centrovací matice velikosti n je definován jako n-podle-n matice

${displaystyle C_ {n} = I_ {n} - {frac {1} {n}} mathbb {O}}$

kde ${displaystyle I_ {n},}$ je matice identity velikosti n a ${displaystyle mathbb {O}}$ je n-podle-n matice všech 1. To lze také zapsat jako:

${displaystyle C_ {n} = I_ {n} - {frac {1} {n}} mathbf {1} mathbf {1} ^ {ext {T}}}$

kde ${displaystyle mathbf {1}}$ je sloupcový vektor n ty a kde ${displaystyle {} ^ {ext {T}}}$ označuje maticová transpozice.

Například

${displaystyle C_ {1} = {egin {bmatrix} 0end {bmatrix}}}$,

${displaystyle C_ {2} = left [{egin {array} {rrr} 1 & 0 0 & 1end {array}} ight] - {frac {1} {2}} left [{egin {array} {rrr} 1 & 1 1 & 1end { array}} ight] = left [{egin {array} {rrr} {frac {1} {2}} & - {frac {1} {2}} - {frac {1} {2}} & {frac {1} {2}} konec {pole}} vpravo]}$ ,

${displaystyle C_ {3} = left [{egin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {array}} ight] - {frac {1} {3}} left [{egin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1end {array}} ight] = left [{egin {array} {rrr} {frac {2} {3}} & - {frac {1} {3}} & - {frac {1} {3} } - {frac {1} {3}} & {frac {2} {3}} & - {frac {1} {3}} - {frac {1} {3}} & - {frac {1 } {3}} a {frac {2} {3}} konec {pole}} večer]}$

Vlastnosti

Vzhledem k vektoru sloupců ${displaystyle mathbf {v},}$ velikosti n, centrování majetku z ${displaystyle C_ {n},}$ lze vyjádřit jako

${displaystyle C_ {n}, mathbf {v} = mathbf {v} - ({frac {1} {n}} mathbf {1} 'mathbf {v}) mathbf {1}}$

kde ${displaystyle {frac {1} {n}} mathbf {1} 'mathbf {v}}$ je průměr složek ${displaystyle mathbf {v},}$.

${displaystyle C_ {n},}$ je symetrický pozitivní semi-definitivní.

${displaystyle C_ {n},}$ je idempotentní, aby ${displaystyle C_ {n} ^ {k} = C_ {n}}$, pro ${displaystyle k = 1,2, ldots}$. Jakmile byla střední hodnota odstraněna, je nulová a opětovné odstranění nemá žádný účinek.

${displaystyle C_ {n},}$ je jednotné číslo. Dopady aplikace transformace ${displaystyle C_ {n}, mathbf {v}}$ nelze vrátit zpět.

${displaystyle C_ {n},}$ má vlastní číslo 1 z multiplicity n - 1 a vlastní hodnota 0 z multiplicity 1.

${displaystyle C_ {n},}$ má prázdný prostor dimenze 1, podél vektoru ${displaystyle mathbf {1}}$.

${displaystyle C_ {n},}$ je ortogonální projekční matice. To znamená ${displaystyle C_ {n} mathbf {v}}$ je projekce ${displaystyle mathbf {v},}$ na (n - 1) -dimenzionální podprostor který je kolmý k prázdnému prostoru ${displaystyle mathbf {1}}$. (Toto je podprostor všech n-vektory, jejichž komponenty se sčítají k nule.

aplikace

Ačkoli násobení centrovací maticí není výpočetně efektivní způsob odstranění střední hodnoty z vektoru, tvoří analytický nástroj, který pohodlně a stručně vyjadřuje střední odstranění. Lze jej použít nejen k odstranění průměru jediného vektoru, ale také více vektorů uložených v řádcích nebo sloupcích matice. m-podle-n matice ${displaystyle X,}$, násobení ${displaystyle C_ {m}, X}$ odebere prostředky z každého z n sloupce, zatímco ${displaystyle X, C_ {n}}$ odebere prostředky z každého z m řádky n-podle-n matice ${displaystyle X,}$, násobení ${displaystyle C_ {n}, X, C_ {n}}$ vytvoří dvojnásobně vycentrovanou matici, kde se oba řádkové a sloupcové prostředky rovnají nule. Proto: ${displaystyle X '= C_ {n}, X, C_ {n} = X- {frac {1} {n}} mathbb {O}, XX, {frac {1} {n}} mathbb {O} + { frac {1} {n}} mathbb {O}, X, {frac {1} {n}} mathbb {O}}$.

Centrovací matice poskytuje zejména stručný způsob vyjádření rozptylová matice, ${displaystyle S = (X-mu mathbf {1} ') (X-mu mathbf {1}') '}$ vzorku dat ${displaystyle X,}$, kde ${displaystyle mu = {frac {1} {n}} Xmathbf {1}}$ je průměr vzorku. Centrovací matice nám umožňuje vyjádřit matici rozptylu kompaktněji jako

${displaystyle S = X, C_ {n} (X, C_ {n}) '= X, C_ {n}, C_ {n}, X,' = X, C_ {n}, X, '.}$

${displaystyle C_ {n}}$ je kovarianční matice z multinomiální distribuce, ve zvláštním případě, kdy jsou parametry této distribuce ${displaystyle k = n}$, a ${displaystyle p_ {1} = p_ {2} = cdots = p_ {n} = {frac {1} {n}}}$.

Reference