Šikmo-hermitovská matice - Skew-Hermitian matrix

v lineární algebra, a čtvercová matice s komplex záznamů je údajně šikmo-poustevník nebo antihermitian Pokud je to konjugovat transponovat je zápor původní matice.^[1] To je matice ${ displaystyle A}$ je šikmo-poustevník, pokud splňuje vztah

${ displaystyle A { text {skew-Hermitian}} quad iff quad A ^ { mathsf {H}} = - A}$

kde ${ displaystyle A ^ { textyf {H}}}$ označuje transpozici konjugátu matice ${ displaystyle A}$ . Ve formě komponent to znamená, že

${ displaystyle A { text {skew-Hermitian}} quad iff quad a_ {ij} = - { overline {a_ {ji}}}}$

pro všechny indexy ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$ , kde ${ displaystyle a_ {ij}}$ je prvek v ${ displaystyle j}$ -tá řada a ${ displaystyle i}$ -tý sloupec ${ displaystyle A}$ a nadměrná čára označuje komplexní konjugace.

Skew-Hermitian matice lze chápat jako složité verze skutečné zkosené symetrické matice, nebo jako analogie matice čistě imaginárních čísel.^[2] Sada všech šikmých Hermitianů ${ displaystyle n krát n}$ matice tvoří ${ displaystyle u (n)}$ Lež algebra, což odpovídá Lieově skupině U (n). Koncept lze zobecnit tak, aby zahrnoval lineární transformace ze všech komplex vektorový prostor s sesquilinear norma.

Všimněte si, že adjoint operátora závisí na skalární součin považováno za ${ displaystyle n}$ dimenzionální komplex nebo skutečný prostor ${ displaystyle K ^ {n}}$ . Li ${ displaystyle ( cdot | cdot)}$ označuje skalární součin na ${ displaystyle K ^ {n}}$ , pak řekl ${ displaystyle A}$ is skew-adjoint znamená, že pro všechny ${ displaystyle u, v v K ^ {n}}$ jeden má ${ displaystyle (Au | v) = - (u | Av) ,}$ .

Imaginární čísla lze považovat za zkosený adjoint (protože jsou jako ${ displaystyle 1 krát 1}$ matice), zatímco reálná čísla odpovídají sebe-adjunkt operátory.

Příklad

Například následující matice je skew-Hermitian

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} -i & 2 + i - 2 + i & 0 end {bmatrix}}}

protože

{ displaystyle -A = { begin {bmatrix} i & -2-i 2-i & 0 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { overline {-i}} & { overline {-2 + i}} { overline {2 + i}} & { overline {0}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { overline {-i}} & { overline {2 + i}} { overline {-2 + i}} & { overline {0}} end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}} = A ^ { mathsf {H}}}

Vlastnosti

Vlastní čísla zkosené-hermitovské matice jsou čistě imaginární (a možná nulová). Kromě toho jsou šikmo-hermitovské matice normální. Proto jsou diagonalizovatelné a jejich vlastní vektory pro různá vlastní čísla musí být ortogonální.^[3]
Všechny položky na hlavní úhlopříčka zešikmené-hermitovské matice musí být čisté imaginární; tj. na imaginární ose (číslo nula je také považováno za čistě imaginární).^[4]
Li ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou tedy pokřivení Hermitian ${ displaystyle aA + bB}$ je pokřivený Hermitian pro všechny nemovitý skaláry ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ .^[5]
${ displaystyle A}$ je pokřivený Hermitian kdyby a jen kdyby ${ displaystyle iA}$ (nebo ekvivalentně, ${ displaystyle -iA}$ ) je Hermitian.^[5]
${ displaystyle A}$ je pokřivený Hermitian kdyby a jen kdyby skutečná část ${ displaystyle Re {(A)}}$ je šikmo symetrický a imaginární část ${ displaystyle Im {(A)}}$ je symetrický.
Li ${ displaystyle A}$ je tedy pokřivený Hermitian ${ displaystyle A ^ {k}}$ je Hermitian, pokud ${ displaystyle k}$ je sudé celé číslo a šikmo-Hermitian, pokud ${ displaystyle k}$ je liché celé číslo.
${ displaystyle A}$ je šikmo-poustevník právě tehdy ${ displaystyle x ^ { mathsf {H}} Ay = -y ^ { mathsf {H}} Sekera}$ pro všechny vektory ${ displaystyle x, y}$ .
Li ${ displaystyle A}$ je šikmo-poustevník, pak exponenciální matice ${ displaystyle e ^ {A}}$ je unitární.
Prostor šikmo-hermitovských matic tvoří Lež algebra ${ displaystyle u (n)}$ z Lež skupina ${ displaystyle U (n)}$ .

Rozklad na Hermitiana a šikmého Hermitiana

Součet čtvercové matice a její konjugované transpozice ${ displaystyle left (A + A ^ { mathsf {H}} right)}$ je Hermitian.
Rozdíl čtvercové matice a její konjugované transpozice ${ displaystyle left (A-A ^ { mathsf {H}} right)}$ je pokřivený Hermitian. To znamená, že komutátor dvou hermitovských matic je zkosená-hermitská.
Libovolná čtvercová matice ${ displaystyle C}$ lze zapsat jako součet hermitovské matice ${ displaystyle A}$ a šikmo-hermitovská matice ${ displaystyle B}$ :