Carlemanova matice - Carleman matrix

V matematice, a Carlemanova matice je matice používaná k převodu složení funkce do násobení matic. V teorii iterace se často používá k nalezení spojitého iterace funkcí které nelze iterovat rozpoznávání vzorů sama. Jiná použití Carlemanových matic se vyskytují v teorii pravděpodobnost generující funkce a Markovovy řetězy.

Definice

The Carlemanova matice nekonečně diferencovatelné funkce ${ displaystyle f (x)}$ je definován jako:

${ displaystyle M [f] _ {jk} = { frac {1} {k!}} vlevo [{ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} (f (x)) ^ {j} right] _ {x = 0} ~,}$

aby uspokojil (Taylor série ) rovnice:

${ displaystyle (f (x)) ^ {j} = součet _ {k = 0} ^ { infty} M [f] _ {jk} x ^ {k}.}$

Například výpočet ${ displaystyle f (x)}$ podle

${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} M [f] _ {1, k} x ^ {k}. ~}$

jednoduše se rovná tečkovanému produktu z 1. řádku ${ displaystyle M [f]}$ s vektorem sloupce ${ displaystyle left [1, x, x ^ {2}, x ^ {3}, ... right] ^ { tau}}$.

Záznamy z ${ displaystyle M [f]}$ v dalším řádku dejte 2. sílu ${ displaystyle f (x)}$:

${ displaystyle f (x) ^ {2} = součet _ {k = 0} ^ { infty} M [f] _ {2, k} x ^ {k} ~,}$

a také, aby měl nulovou sílu ${ displaystyle f (x)}$ v ${ displaystyle M [f]}$, přijmeme řádek 0 obsahující nuly všude kromě první pozice, takhle

${ displaystyle f (x) ^ {0} = 1 = součet _ {k = 0} ^ { infty} M [f] _ {0, k} x ^ {k} = 1 + součet _ {k = 1} ^ { infty} 0 * x ^ {k} ~.}$

Tedy bodový produkt ${ displaystyle M [f]}$ s vektorem sloupce ${ displaystyle left [1, x, x ^ {2}, ... right] ^ { tau}}$ získá vektor sloupce ${ displaystyle left [1, f (x), f (x) ^ {2}, ... right] ^ { tau}}$

${ displaystyle M [f] * vlevo [1, x, x ^ {2}, x ^ {3}, ... vpravo] ^ { tau} = vlevo [1, f (x), ( f (x)) ^ {2}, (f (x)) ^ {3}, ... right] ^ { tau}.}$

Bell matrix

The Bell matrix funkce ${ displaystyle f (x)}$ je definován jako

${ displaystyle B [f] _ {jk} = { frac {1} {j!}} vlevo [{ frac {d ^ {j}} {dx ^ {j}}} (f (x)) ^ {k} vpravo] _ {x = 0} ~,}$

aby byla splněna rovnice

${ displaystyle (f (x)) ^ {k} = součet _ {j = 0} ^ { infty} B [f] _ {jk} x ^ {j} ~,}$

tak to je přemístit výše uvedené karlemanské matice.

Jabotinská matice

Eri Jabotinsky vyvinul tento koncept matic 1947 za účelem reprezentace konvolucí polynomů. V článku „Analytická iterace“ (1963) zavádí pojem „reprezentační matice“ a zobecňuje tento koncept na obousměrně nekonečné matice. V tomto článku pouze funkce typu ${ displaystyle f (x) = a_ {1} x + součet _ {k = 2} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}}$ jsou diskutovány, ale uvažují se o kladných * a * záporných silách funkce. Několik autorů od té doby označuje Bellovy matice jako „Jabotinskou matici“ (D. Knuth 1992, W.D. Lang 2000), a možná z toho vyroste kanoničtější název.

Analytická iterace Autor (é): Eri Jabotinsky Zdroj: Transaction of the American Mathematical Society, sv. 108, č. 3 (září 1963), str. 457–477 Vydal: American Mathematical Society Stabilní URL: https://www.jstor.org/stable/1993593 Přístup: 19/03/2009 15:57

Zobecnění

Zobecnění Carlemanovy matice funkce lze definovat kolem libovolného bodu, například:

${ displaystyle M [f] _ {x_ {0}} = M_ {x} [x-x_ {0}] M [f] M_ {x} [x + x_ {0}]}$

nebo ${ displaystyle M [f] _ {x_ {0}} = M [g]}$ kde ${ displaystyle g (x) = f (x + x_ {0}) - x_ {0}}$. To umožňuje maticový výkon být příbuzný jako:

${ displaystyle (M [f] _ {x_ {0}}) ^ {n} = M_ {x} [x-x_ {0}] M [f] ^ {n} M_ {x} [x + x_ { 0}]}$

Obecná série

Dalším způsobem, jak to ještě zobecnit, je přemýšlet o obecné řadě následujícím způsobem:

Nechat ${ displaystyle f (x) = součet _ {n} c_ {n} (f) cdot psi _ {n} (x)}$ být řadovou aproximací ${ displaystyle f (x)}$, kde ${ displaystyle { psi _ {n} (x) } _ {n}}$ je základem prostoru obsahujícího ${ displaystyle f (x)}$

Můžeme definovat ${ displaystyle G [f] _ {mn} = c_ {n} ( psi _ {m} circ f)}$, proto máme ${ displaystyle psi _ {m} circ f = sum _ {n} c_ {n} ( psi _ {m} circ f) cdot psi _ {n} = sum _ {n} G [f] _ {mn} cdot psi _ {n}}$, nyní to můžeme dokázat ${ displaystyle G [g circ f] = G [g] cdot G [f]}$, pokud to předpokládáme ${ displaystyle { psi _ {n} (x) } _ {n}}$ je také základem pro ${ displaystyle g (x)}$ a ${ displaystyle g (f (x))}$.

Nechat ${ displaystyle g (x)}$ být takový, že ${ displaystyle psi _ {l} circ g = sum _ {m} G [g] _ {lm} cdot psi _ {m}}$ kde ${ displaystyle G [g] _ {lm} = c_ {m} ( psi _ {l} circ g)}$.

Nyní ${ displaystyle sum _ {n} G [g circ f] _ {mn} psi _ {n} = psi _ {l} circ (g circ f) = ( psi _ {l} cirkus g) circ f = sum _ {m} G [g] _ {lm} ( psi _ {m} circ f) = sum _ {m} G [g] _ {lm} sum _ {n} G [f] _ {mn} psi _ {n} = součet _ {n, m} G [g] _ {lm} G [f] _ {mn} psi _ {n} = součet _ {n} ( sum _ {m} G [g] _ {lm} G [f] _ {mn}) psi _ {n}}$

Porovnání prvního a posledního funkčního období a od ${ displaystyle { psi _ {n} (x) } _ {n}}$ být základnou pro ${ displaystyle f (x)}$, ${ displaystyle g (x)}$ a ${ displaystyle g (f (x))}$ z toho vyplývá, že ${ displaystyle G [g circ f] = součet _ {m} G [g] _ {lm} G [f] _ {mn} = G [g] cdot G [f]}$

Příklady

Pokud jsme nastavili ${ displaystyle psi _ {n} (x) = x ^ {n}}$ máme Carlemanova matice

Li ${ displaystyle {e_ {n} (x) } _ {n}}$ je ortonormální základ pro Hilbertův prostor s definovaným vnitřním produktem ${ displaystyle langle f, g rangle}$, můžeme nastavit ${ displaystyle psi _ {n} = e_ {n}}$ a ${ displaystyle c_ {n} (f)}$ bude ${ displaystyle { displaystyle langle f, e_ {n} rangle}}$. Li ${ displaystyle e_ {n} (x) = e ^ {{ sqrt {-1}} nx}}$ máme analogii pro Fourierovu řadu, jmenovitě ${ displaystyle c_ {n} (f) = { cfrac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} displaystyle f (x) cdot e ^ {- { sqrt {-1}} nx} dx}$

Vlastnosti matice

Tyto matice uspokojují základní vztahy:

• ${ displaystyle M [f circ g] = M [f] M [g] ~,}$
• ${ displaystyle B [f circ g] = B [g] B [f] ~,}$

což vytváří Carlemanovu matici M (přímé) zastoupení ${ displaystyle f (x)}$a Bellova matice B an anti-zastoupení z ${ displaystyle f (x)}$. Tady termín ${ displaystyle f circ g}$ označuje složení funkcí ${ displaystyle f (g (x))}$.

Mezi další vlastnosti patří:

• ${ displaystyle , M [f ^ {n}] = M [f] ^ {n}}$, kde ${ displaystyle , f ^ {n}}$ je iterovaná funkce a
• ${ displaystyle , M [f ^ {- 1}] = M [f] ^ {- 1}}$, kde ${ displaystyle , f ^ {- 1}}$ je inverzní funkce (pokud je Carlemanova matice invertibilní ).

Příklady

Carlemanova matice konstanty je:

${ displaystyle M [a] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots a & 0 & 0 & cdots a ^ {2} & 0 & 0 & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

Carlemanova matice funkce identity je:

${ displaystyle M_ {x} [x] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots 0 & 1 & 0 & cdots 0 & 0 & 1 & cdots vdots & vdots & vdots & ddots konec {pole}} vpravo)}$

Carlemanova matice konstantního sčítání je:

${ displaystyle M_ {x} [a + x] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots a & 1 & 0 & cdots a ^ {2} & 2a & 1 & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

Carlemanova matice nástupnická funkce je ekvivalentní s Binomický koeficient:

${ displaystyle M_ {x} [1 + x] = left ({ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & cdots 1 & 1 & 0 & 0 & cdots 1 & 2 & 1 & 0 & cdots 1 & 3 & 3 & 1 & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

${ displaystyle M_ {x} [1 + x] _ {jk} = { binom {j} {k}}}$

Carlemanova matice logaritmus souvisí s (podepsaným) Stirlingova čísla prvního druhu zmenšen faktoriály:

${ displaystyle M_ {x} [ log (1 + x)] = left ({ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & cdots 0 & 1 & - { frac {1} {2}} & { frac {1} {3}} & - { frac {1} {4}} & cdots 0 & 0 & 1 & -1 & { frac {11} {12}} & cdots 0 & 0 & 0 & 1 & - { frac {3} {2}} & cdots 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

${ displaystyle M_ {x} [ log (1 + x)] _ {jk} = s (k, j) { frac {j!} {k!}}}$

Carlemanova matice logaritmus souvisí s (nepodepsaným) Stirlingova čísla prvního druhu zmenšen faktoriály:

${ displaystyle M_ {x} [- log (1-x)] = left ({ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & cdots 0 & 1 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & cdots 0 & 0 & 1 & 1 & { frac {11} {12}} & cdots 0 & 0 & 0 & 1 & { frac {3} {2}} & cdots 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

${ displaystyle M_ {x} [- log (1-x)] _ {jk} = | s (k, j) | { frac {j!} {k!}}}$

Carlemanova matice exponenciální funkce souvisí s Stirlingova čísla druhého druhu zmenšen faktoriály:

${ displaystyle M_ {x} [ exp (x) -1] = left ({ begin {array} {cccccc} 1 a 0 a 0 a 0 & 0 & cdots 0 & 1 & { frac {1} {2}} & { frac { 1} {6}} & { frac {1} {24}} & cdots 0 & 0 & 1 & 1 & { frac {7} {12}} & cdots 0 & 0 & 0 & 1 & { frac {3} {2}} & cdots 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

${ displaystyle M_ {x} [ exp (x) -1] _ {jk} = S (k, j) { frac {j!} {k!}}}$

Carlemanova matice exponenciální funkce je:

${ displaystyle M_ {x} [ exp (ax)] = left ({ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & cdots 1 & a & { frac {a ^ {2}} {2}} & { frac {a ^ {3}} {6}} & cdots 1 & 2a & 2a ^ {2} & { frac {4a ^ {3}} {3}} & cdots 1 & 3a & { frac {9a ^ { 2}} {2}} & { frac {9a ^ {3}} {2}} & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right) }$

${ displaystyle M_ {x} [ exp (sekera)] _ {jk} = { frac {(ja) ^ {k}} {k!}}}$

Carlemanova matice konstantního násobku je:

${ displaystyle M_ {x} [cx] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots 0 & c & 0 & cdots 0 & 0 & c ^ {2} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

Carlemanova matice lineární funkce je:

${ displaystyle M_ {x} [a + cx] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots a & c & 0 & cdots a ^ {2} & 2ac & c ^ {2} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

Carlemanova matice funkce ${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 1} ^ { infty} f_ {k} x ^ {k}}$ je:

${ displaystyle M [f] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots 0 & f_ {1} & f_ {2} & cdots 0 & 0 & f_ {1} ^ {2} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right)}$

Carlemanova matice funkce ${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} f_ {k} x ^ {k}}$ je:

${ displaystyle M [f] = left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & cdots f_ {0} & f_ {1} & f_ {2} & cdots f_ {0} ^ {2} & 2f_ {0} f_ {1} & f_ {1} ^ {2} + 2f_ {0} f_ {2} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {array}} right) }$

Carleman Aproximace

Zvažte následující autonomní nelineární systém:

${ displaystyle { dot {x}} = f (x) + součet _ {j = 1} ^ {m} g_ {j} (x) d_ {j} (t)}$

kde ${ displaystyle x v R ^ {n}}$ označuje vektor stavu systému. Taky, ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g_ {i}}$jsou známé analytické vektorové funkce a ${ displaystyle d_ {j}}$ je ${ displaystyle j ^ {th}}$ prvek neznámého narušení systému.

V požadovaném nominálním bodě lze nelineární funkce ve výše uvedeném systému aproximovat Taylorovou expanzí

${ displaystyle f (x) simeq f (x_ {0}) + součet _ {k = 1} ^ { eta} { frac {1} {k!}} částečný f _ {[k]} uprostřed _ {x = x_ {0}} (x-x_ {0}) ^ {[k]}}$

kde ${ displaystyle částečné f _ {[k]} střední _ {x = x_ {0}}}$ je ${ displaystyle k ^ {th}}$ parciální derivace ${ displaystyle f (x)}$ s ohledem na ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle x = x_ {0}}$ a ${ displaystyle x ^ {[k]}}$ označuje ${ displaystyle k ^ {th}}$ Produkt Kronecker.

Bez ztráty všeobecnosti to předpokládáme ${ displaystyle x_ {0}}$ je na počátku.

Aplikováním Taylorovy aproximace na systém získáme

${ displaystyle { dot {x}} simeq sum _ {k = 0} ^ { eta} A_ {k} x ^ {[k]} + sum _ {j = 1} ^ {m} součet _ {k = 0} ^ { eta} B_ {jk} x ^ {[k]} dj}$

kde ${ displaystyle A_ {k} = { frac {1} {k!}} částečný f _ {[k]} střední _ {x = 0}}$ a ${ displaystyle B_ {jk} = { frac {1} {k!}} částečný g_ {j [k]} střední _ {x = 0}}$.

V důsledku toho se získá následující lineární systém pro vyšší řády původních stavů:

${ displaystyle { frac {d (x ^ {[i]})} {dt}} simeq sum _ {k = 0} ^ { eta -i + 1} A_ {i, k} x ^ { [k + i-1]} + sum _ {j = 1} ^ {m} sum _ {k = 0} ^ { eta -i + 1} B_ {j, i, k} x ^ {[ k + i-1]} d_ {j}}$

kde${ displaystyle A_ {i, k} = součet _ {l = 0} ^ {i-1} I_ {n} ^ {[l]} otimes A_ {k} otimes I_ {n} ^ {[i -1-l]}}$a podobně ${ displaystyle B_ {j, já, kappa} = součet _ {l = 0} ^ {i-1} I_ {n} ^ {[l]} otimes B_ {j, kappa} otimes I_ { n} ^ {[i-1-l]}}$.

Aproximovaný systém, který zaměstnává provozovatele produktu Kronecker, je uveden v následující podobě

${ displaystyle { dot {x}} _ { otimes} simeq Axe _ { otimes} + sum _ {j = 1} ^ {m} [B_ {j} x _ { otimes} d_ {j} + B_ {j0} d_ {j}] + A_ {r}}$

kde${ displaystyle x _ { otimes} = { begin {bmatrix} x ^ {T} & x ^ {{[2]} ^ {T}} & ... & x ^ {{[ eta]} ^ {T} } end {bmatrix}} ^ {T}}$, a ${ displaystyle A, B_ {j}, A_ {r}}$ a ${ displaystyle B_ {j, 0}}$ matice jsou definovány v (Hashemian and Armaou 2015).^[1]

Viz také

• Polynomy zvonu
• Složení funkce
• Schröderova rovnice
• Operátor složení

Reference

• R. Aldrovandi, Speciální matice matematické fyziky: Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. (náhled )
• R. Aldrovandi, L. P. Freitas, Kontinuální iterace dynamických map, online předtisk, 1997.
• P. Gralewicz, K. Kowalski, Kontinuální vývoj času z iterovaných map a Carlemanovy linearizace, online předtisk, 2000.
• K. Kowalski a W-H Steeb, Nelineární dynamické systémy a Carlemanova linearizace, World Scientific, 1991. (náhled )
• D. Knuth, Konvoluční polynomy online tisk arXiv, 1992
• Jabotinsky, Eri: Reprezentace funkcí maticemi. Aplikace na Faberovy polynomy v: Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 4, č. 4 (srpen 1953), str. 546–553 Stabilní jstor-URL