Redhefferova matice - Redheffer matrix

V matematice, a Redhefferova matice, často označován ${displaystyle A_ {n}}$ jak studoval Redheffer (1977), je čtverec (0,1) matice jehož záznamy A_ij jsou 1, pokud i rozděluje j nebo když j = 1; v opačném případě, A_ij = 0. V některých kontextech je užitečné vyjádřit Dirichletova konvoluce nebo spletitý částky dělitele, pokud jde o maticové produkty zahrnující přemístit z ${displaystyle n ^ {th}}$ Redhefferova matice.

Varianty a definice matic komponent

Protože invertibilita Redhefferovy matice jsou komplikovány počátečním sloupcem jedniček v matici, často je vhodné je vyjádřit ${displaystyle A_ {n}: = C_ {n} + D_ {n}}$ kde ${displaystyle C_ {n}: = [c_ {ij}]}$ je definován jako (0,1) matice jejichž položky jsou jedno právě tehdy ${displaystyle j = 1}$ a ${displaystyle ieq 1}$. Zbývající položky s jednou hodnotou v ${displaystyle A_ {n}}$ pak odpovídají podmínce dělitelnosti odrážené maticí ${displaystyle D_ {n}}$, což je zřejmé z aplikace Mobiova inverze je vždy invertibilní s inverzí ${displaystyle D_ {n} ^ {- 1} = vlevo [mu (j / i) M_ {i} (j) noc]}$. Pak máme charakteristiku jedinečnost z ${displaystyle A_ {n}}$ vyjádřeno ${displaystyle det left (A_ {n} ight) = det left (D_ {n} ^ {- 1} C_ {n} + I_ {n} ight).}$

Pokud definujeme funkci

${displaystyle M_ {j} (i): = {egin {cases} 1, & {ext {if j divides i; }} 0, a {ext {jinak,}} konec {případů}},}$

pak můžeme definovat ${displaystyle n ^ {th}}$ Redhefferova (transponovaná) matice jako nXn čtvercová matice ${displaystyle R_ {n} = [M_ {j} (i)] _ {1leq i, jleq n}}$ v obvyklé maticové notaci. Tuto notaci budeme nadále používat v následujících částech.

Příklady

Níže uvedená matice je matice Redheffer 12 × 12. V rozděleném součtu matic zápis pro ${displaystyle A_ {12}: = C_ {12} + D_ {12}}$, níže uvedené položky odpovídají počátečnímu sloupci jednotek v ${displaystyle C_ {n}}$ jsou označeny modře.

${displaystyle left ({egin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 {color {blue} mathbf {1}} & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & modrá} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a 0 mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0$

Odpovídající aplikace Mobiusův inverzní vzorec ukazuje, že ${displaystyle n ^ {th}}$ Redhefferova transpoziční matice je vždy invertibilní, s inverzními vstupy danými

${displaystyle R_ {n} ^ {- 1} = vlevo [M_ {j} (i) cdot mu left ({frac {i} {j}} ight) ight] _ {1leq i, jleq n},}$

kde ${displaystyle mu (n)}$ označuje Funkce Moebius. V tomto případě máme, že ${displaystyle 12 imes 12}$ inverzní Redhefferova transpoziční matice je dána vztahem

${Displaystyle R_ {12} ^ {- 1} = vlevo ({Egin {matrix} 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 a 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {matrix}} vpravo)}$

Klíčové vlastnosti

Singularita a vztahy k Mertensově funkci a speciální sérii

Determinanty

The určující z nXn náměstí Redhefferova matice je dána Funkce Mertens M(n). Zejména matice ${displaystyle A_ {n}}$ není invertibilní přesně, když je funkce Mertens nulová (nebo je) zavřít k měnícím se znakům). To má za následek zajímavou charakteristiku, že funkce Mertens může měnit znaky nekonečně často pouze v případě, že matice Redheffer ${displaystyle A_ {n}}$ je singulární v nekonečně mnoha přirozených číslech, o čemž se obecně předpokládá, že jde o oscilační chování ${displaystyle M (x).}$ Determinanty Redhefferových matic jsou okamžitě spojeny s Riemannova hypotéza (RH) prostřednictvím tohoto intimního vztahu s funkcí Mertens jako RH je ekvivalentní k prokázání, že ${displaystyle M (x) = Oleft (x ^ {1/2 + varepsilon} ight)}$ pro všechny (dostatečně malé) ${displaystyle varepsilon> 0}$.

Faktorizace součtů kódovaných těmito maticemi

V poněkud netradiční konstrukci, která reinterpretuje (0,1) matice položky, které označují zařazení do některé rostoucí posloupnosti indexovacích sad, vidíme, že tyto matice také souvisejí s faktorizacemi Lambertova řada. Toto pozorování je nabízeno v tak velké míře jako u fixního aritmetická funkce F, koeficienty další expanze řady Lambert skončily F poskytnout takzvanou inkluzní masku pro indexy, nad nimiž sčítáme F aby se dospělo k sériovým koeficientům těchto expanzí. Pozoruhodně to pozorujte

${displaystyle sum _ {d | n} f (d) = součet _ {k = 1} ^ {n} M_ {k} (n) cdot f (k) = [q ^ {n}] vlevo (součet _ { ngeq 1} {frac {f (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} ight).}$

Nyní ve zvláštním případě těchto dělitelů jsou součty, které vidíme z výše uvedené expanze, kodifikovány logickým (nulovým) hodnotným zahrnutím do množin dělitelů přirozeného čísla n, je možné znovu interpretovat generátorské funkce Lambertovy řady, které vyčíslují tyto součty prostřednictvím ještě další maticové konstrukce. Merca a Schmidt (2017--2018) prokázali invertibilní maticové faktorizace rozšiřující tyto generující funkce ve formě ^[1]

${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {f (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = {frac {1} {(q; q) _ {infty}}} součet _ {ngeq 1} vlevo (součet _ {k = 1} ^ {n} s_ {n, k} f (k) ight) q ^ {n},}$

kde ${displaystyle (q; q) _ {infty}}$ označuje nekonečno q-Pochhammerův symbol a kde dolní trojúhelníková maticová sekvence je přesně generována jako koeficienty ${displaystyle s_ {n, k} = [q ^ {n}] {frac {q ^ {k}} {1-q ^ {k}}} (q; q) _ {infty}}$, prostřednictvím těchto termínů mají také interpretace jako rozdíly speciálních sudých (lichých) indexovaných funkcí oddílu. Merca a Schmidt (2017) také prokázali jednoduchý inverzní vzorec, který umožňuje implicitní funkci F vyjádřit jako součet nad konvolvovanými koeficienty ${displaystyle ell (n) = (rychle 1) (n)}$ původní generující funkce Lambertovy řady v podobě ^[2]

${displaystyle f (n) = součet _ {d | n} součet _ {k = 1} ^ {n} p (dk) mu (n / d) vlevo [součet _ {jgeq 0 nahoře k-jgeq 0} ell ( kj) [q ^ {j}] (q; q) _ {infty} ight],}$

kde p (n) označuje funkce oddílu, ${displaystyle mu (n)}$ je Funkce Moebius a koeficienty ${displaystyle (q; q) _ {infty}}$ zdědí kvadratickou závislost na j skrz věta o pětiúhelníku. Tento inverzní vzorec se porovnává s inverzemi (pokud existují) matic Redheffer ${displaystyle A_ {n}}$ kvůli dokončení zde.

Kromě toho podkladové tzv maska matice, která specifikuje zahrnutí indexů do příslušných dělících součtů, jsou invertibilní, přičemž použití tohoto typu konstrukce k rozšíření dalších matic podobných Redhefferovi pro další speciální čísla nemusí být teoretické součty omezeny na formy, které jsou zde klasicky studovány. Například v roce 2018 Mousavi a Schmidt rozšířili taková maticová faktorizační lemata na případy Částky dělitele Anderson-Apostol (z toho Ramanujanské částky jsou pozoruhodný speciální případ) a součty indexované přes celá čísla, která jsou pro každého relativně primární n (například jako klasicky definuje záznam označený Funkce Euler phi ).^[3] Více k věci, příklady uvažované v aplikace část níže navrhuje studii o vlastnostech toho, o čem lze uvažovat zobecněné Redhefferovy matice představující další speciální teoretická čísla.

Spektrální poloměr a vlastní prostory

• Pokud označíme spektrální poloměr z ${displaystyle A_ {n}}$ podle ${displaystyle ho _ {n}}$tj. dominantní vlastní hodnota maximálního modulu v spektrum z ${displaystyle A_ {n}}$, pak

${displaystyle lim _ {nightarrow infty} {frac {ho _ {n}} {sqrt {n}}} = 1,}$

který omezuje asymptotické chování spektra ${displaystyle A_ {n}}$ když n je velký. To lze také ukázat ${displaystyle 1+ {sqrt {n-1}} leq ho _ {n} <{sqrt {n}} + O (log n)}$, a pečlivou analýzou (viz charakteristické polynomiální expanze níže), že ${displaystyle ho _ {n} = {sqrt {n}} + log {sqrt {n}} + O (1)}$.

• Matice ${displaystyle A_ {n}}$ má vlastní číslo jeden s množstvím ${displaystyle n-leftlfloor log _ {2} (n) ightfloor -1}$.
• Rozměr vlastní prostor ${displaystyle E_ {lambda} (A_ {n})}$ odpovídající vlastní číslo ${displaystyle lambda: = 1}$ je známo, že je ${displaystyle leftlfloor {frac {n} {2}} ightfloor -1}$. Z toho zejména vyplývá, že ${displaystyle A_ {n}}$ není úhlopříčně kdykoli ${displaystyle ngeq 5}$.
• U všech ostatních vlastních čísel ${displaystyle lambda eq 1}$ z ${displaystyle A_ {n}}$, pak dimenze odpovídajících vlastních prostorů ${displaystyle E_ {lambda} (A_ {n})}$ jsou jedno.

Charakterizující vlastní vektory

To máme ${displaystyle [a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}]}$ je vlastní vektor z ${displaystyle A_ {n} ^ {T}}$ odpovídající některým vlastní číslo ${displaystyle lambda in sigma (A_ {n})}$ ve spektru ${displaystyle A_ {n}}$ jen a jen pro ${displaystyle ngeq 2}$ platí následující dvě podmínky:

${displaystyle lambda a_ {n} = součet _ {d | n} a_ {d} quad {ext {a}} quad lambda a_ {1} = součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Pokud se omezíme na tzv netriviální případy, kdy ${displaystyle lambda eq 1}$, poté dána libovolná počáteční vlastní složka ${displaystyle a_ {1}}$ můžeme rekurzivně spočítat zbývající n-1 složky podle vzorce

${displaystyle a_ {j} = {frac {1} {lambda -1}} součet _ {d | j na vrcholu d$

S ohledem na to, protože ${displaystyle lambda eq 1}$ můžeme definovat sekvence

${displaystyle v_ {lambda} (n): = {egin {cases} 1, & n = 1; {frac {1} {lambda -1}} součet _ {d | n na vrcholu deq n} v_ {lambda} (d ), & ngeq 2.end {cases}}}$

Existuje několik kuriózních implikací souvisejících s definicemi těchto sekvencí. Nejprve to máme ${displaystyle lambda in sigma (A_ {n})}$ kdyby a jen kdyby

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} v_ {lambda} (k) = lambda.}$

Zadruhé, máme zavedený vzorec pro Dirichletova řada nebo Funkce generování dirichletů, přes tyto sekvence pro fixní ${displaystyle lambda eq 1}$ který platí pro všechny ${displaystyle Re (s)> 1}$ dána

${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {v_ {lambda} (n)} {n ^ {s}}} = {frac {lambda -1} {lambda -zeta (s)}},}$

kde ${displaystyle zeta (s)}$ samozřejmě jako obvykle označuje Funkce Riemann zeta.

Hranice a vlastnosti netriviálních vlastních čísel

A teoretická graf interpretace k hodnocení nul charakteristický polynom z ${displaystyle A_ {n}}$ a ohraničení jeho koeficientů je uvedeno v části 5.1.^[4] Odhady velikostí Jordan bloky z ${displaystyle A_ {n}}$ odpovídající vlastní hodnotě jsou uvedeny v.^[5] Stručný přehled vlastností a upraveno přístup k faktorizaci charakteristického polynomu, ${displaystyle p_ {A_ {n}} (x)}$, je zde definována tato matice bez úplného rozsahu poněkud technických důkazů, které odůvodňují hranice z výše citovaných odkazů. Jmenovitě nechte zkratku ${displaystyle s: = lfloor log _ {2} (n) floor}$ a definovat posloupnost pomocných polynomiálních expanzí podle vzorce

${displaystyle f_ {n} (t): = {frac {p_ {A_ {n}} (t + 1)} {t ^ {ns-1}}} = t ^ {s + 1} -sum _ {k = 1} ^ {s} v_ {nk} t ^ {sk}.}$

Pak to víme ${displaystyle f_ {n} (t)}$ má dva skutečné kořeny, označené ${displaystyle t_ {n} ^ {pm}}$, které uspokojují

${displaystyle t_ {n} ^ {pm} = pm {sqrt {n}} + log {sqrt {n}} + gamma - {frac {3} {2}} + Oleft ({frac {log ^ {2} ( n)} {sqrt {n}}} ight),}$

kde ${displaystyle gamma cca 0,577216}$ je Eulerova klasická gama konstanta, a kde jsou omezeny zbývající koeficienty těchto polynomů

${displaystyle | v_ {nk} | leq {frac {ncdot log ^ {k-1} (n)} {(k-1)!}}}$

Děj mnohem více omezené povahy vlastních čísel ${displaystyle f_ {n} (t)}$ které nejsou charakterizovány těmito dvěma dominantními nulami polynomu, se jeví jako pozoruhodné, jak dokazuje jediná 20 zbývající složité nuly zobrazené níže. Další obrázek je reprodukován z volně dostupného článku uvedeného výše, když ${displaystyle nsim 10 ^ {6}}$ je k dispozici tady pro referenci.

Aplikace a zobecnění

Poskytujeme několik příkladů užitečnosti matic Redheffer interpretovaných jako a (0,1) matice jehož parita odpovídá zařazení do rostoucí sekvence indexových sad. Tyto příklady by měly sloužit k osvěžení některých někdy zastaralých historických perspektiv těchto matic, které si zaslouží poznámku pod čarou na základě inherentního a hlubokého vztahu jejich determinantů k Funkce Mertens a ekvivalentní prohlášení Riemannova hypotéza. Tato interpretace je mnohem více kombinatorická konstrukce než typické úpravy speciálních determinantů Redhefferovy matice. Tento kombinatorický obrat při výčtu zvláštních sekvencí součtů byl nicméně nedávno prozkoumán v řadě článků a je tématem aktivního zájmu o předtištěné archivy. Než se ponoříte do plné konstrukce této rotace na variantách matice Redheffer ${displaystyle R_ {n}}$ jak je definováno výše, pozorujte, že tento typ expanze je v mnoha ohledech v podstatě jen další variace použití a Toeplitzova matice reprezentovat zkrácené výrazy výkonových řad, kde jsou položky matice koeficienty formální proměnné v řadě. Pojďme prozkoumat aplikaci tohoto konkrétního pohledu a (0,1) matice jako maskování zahrnutí součtových indexů do konečného součtu přes nějakou pevnou funkci. Viz citace odkazů ^[6] a ^[7] pro stávající zobecnění matic Redheffer v kontextu obecně aritmetická funkce případech. Termíny inverzní matice se označují jako zobecněné Funkce Mobius v rámci součtů tohoto typu v.^[8]

Produkty Matrix rozšiřující Dirichletovy konvoluce a Dirichletovy inverze

Nejprve vzhledem k jakýmkoli dvěma neidenticky nule aritmetické funkce F a G, můžeme poskytnout explicitní maticové reprezentace, které kódují jejich Dirichletova konvoluce v řádcích indexovaných přirozenými čísly ${displaystyle ngeq 1,1leq nleq x}$:

${displaystyle D_ {f, g} (x): = left [M_ {d} (n) f (d) g (n / d) ight] _ {1leq d, nleq x} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 & g (x) 0 & 0 & cdots & g (x-1) & g (x) ldots & ldots & ddots & ddots & cdots g (1) & g (2) & cdots & g (x-1) & g (x) end {bmatrix}} {egin {bmatrix } 0 a 0 & cdots & 0 & f (1) 0 & 0 & cdots & f (2) & f (1) ldots & ldots & ddots & ddots & cdots f (x) & f (x-1) & cdots & f (2) & f (1) end {bmatrix}} R_ {x } ^ {T}.}$

Pak nechám ${displaystyle e ^ {T}: = [1,1, ldots, 1]}$ označit vektor všech, je snadno vidět, že ${displaystyle n ^ {th}}$ řádek produktu matice-vektor ${displaystyle e ^ {T} cdot D_ {f, g} (x)}$ dává spletité Dirichletovy sumy

${displaystyle (fast g) (n) = součet _ {d | n} f (d) g (n / d),}$

pro všechny ${displaystyle 1leq nleq x}$ kde horní index ${displaystyle xgeq 2}$ je libovolný.

Jeden úkol, který je obzvláště obtížný vzhledem k libovolné funkci F je určit jeho Dirichlet inverzní přesně bez uchýlení se ke standardní rekurzivní definici této funkce prostřednictvím ještě dalšího konvolvovaného dělícího součtu zahrnujícího stejnou funkci F s jeho nedostatečně specifikovanou inverzí, která má být určena:

${displaystyle f ^ {- 1} (n) = {frac {-1} {f (1)}} mathop {sum _ {d, mid, n}} _ {d 1 {ext {where}} f ^ {- 1} (1): = 1 / f (1).}$

Je zřejmé, že obecně Dirichlet inverzní ${displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ pro F, tj. jednoznačně definovaná aritmetická funkce taková ${displaystyle (f ^ {- 1} ast f) (n) = delta _ {n, 1}}$, zahrnuje součty vnořených dělitelských součtů hloubky od jedné do ${displaystyle omega (n)}$ kde tato horní hranice je hlavní funkce omega který počítá počet odlišných hlavních faktorů n. Jak ukazuje tento příklad, můžeme formulovat alternativní způsob konstrukce hodnot Dirichletovy inverzní funkce pomocí inverze matice s našimi variantními maticemi Redheffer, ${displaystyle R_ {n}}$.

Zevšeobecnění formulářů matice Redheffer: součty GCD a další matice, jejichž položky označují zahrnutí do speciálních sad

Existuje několik často citovaných článků z hodných časopisů, které bojují za zavedení rozšíření čísel teoretických dělitelů, konvolucí a Dirichletových řad (abychom jmenovali alespoň některé) prostřednictvím maticových reprezentací. Kromě netriviálních odhadů odpovídajícího spektra a vlastních prostorů spojených se skutečně pozoruhodnými a důležitými aplikacemi těchto reprezentací - základním mechanismem při reprezentaci součtů těchto forem maticovými produkty je efektivně definovat tzv. maskovací matice jejichž hodnoty s nulovou hodnotou nebo jedna hodnotí označení zahrnutí do rostoucí posloupnosti sad přirozených čísel ${displaystyle {1,2, ldots, n}}$. Abychom ilustrovali, že předchozí soustava žargonu má smysl při nastavování maticového systému pro reprezentaci široké škály speciálních součtů, zvažte následující konstrukci: ${displaystyle {mathcal {A}} _ {n} subseteq [1, n] cap mathbb {Z}}$ být posloupností sad indexů a pro všechny pevné aritmetická funkce ${displaystyle f: mathbb {N} longrightarrow mathbb {C}}$ definovat součty

${displaystyle S _ {{mathcal {A}}, f} (n) mapsto S_ {f} (n): = součet _ {kin {mathcal {A}} _ {n}} f (k).}$

Jedna z tříd součtů, kterou považují Mousavi a Schmidt (2017), definuje relativně prvotní dělicí součty nastavením indexových sad v poslední definici na

${displaystyle {mathcal {A}} _ {n} mapsto {mathcal {G}} _ {n}: = {1leq dleq n: gcd (d, n) = 1}.}$

Tuto třídu součtů lze použít k vyjádření důležitých speciálních aritmetických funkcí číselného zájmu, včetně Eulerova phi funkce (kde klasicky definujeme ${displaystyle m: = 0}$) tak jako

${displaystyle varphi (n) = součet _ {din {mathcal {G}} _ {n}} d ^ {m},}$

a dokonce i Funkce Mobius prostřednictvím své reprezentace jako diskrétní (konečné) Fourierovy transformace:

${displaystyle mu (n) = součet _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}}.}$

Citace v celém příspěvku poskytují další příklady této třídy částek, včetně žádostí o cyklotomické polynomy (a jejich logaritmy). Odkazovaný článek Mousaviho a Schmidta (2017) rozvíjí postup podobný faktorizační větě k rozšíření těchto součtů, který je analogický k výsledkům Lambertovy řady faktorizace uvedeným v předchozí části výše. Přidružené matice a jejich inverze pro tuto definici sad indexů ${displaystyle {mathcal {A}} _ {n}}$ pak nám dovolte provést analog Moebiova inverze pro dělitele součty, které lze použít k vyjádření funkcí součtu F jako kvazi-konvolvovaný součet nad položkami inverzní matice a levými speciálními funkcemi, jako např ${displaystyle varphi (n)}$ nebo ${displaystyle mu (n)}$ poukázal na poslední dvojici příkladů. Tyto inverzní matice mají mnoho kuriózních vlastností (a dobrá reference spojující souhrn všech z nich v současné době chybí), které jsou nejlépe naznačeny a předány novým čtenářům inspekcí. S ohledem na to zvažte případ horního indexu ${displaystyle x: = 21}$ a příslušné matice definované pro tento případ uvedené následovně:

${Displaystyle left ({Egin {smallmatrix} 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 end {smallmatrix}} ight) ^ {- 1} = left ({egin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 a 0 2 -1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 a 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 1 0 -1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 -2 a 0 -2 a 0 2 0 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -3 0 1 0 3 0 -1 -1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -2 a 0 0 1 0 0 1 -1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 -3 0 2 0 2 0 -2 a 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 3 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1$

Příklady invertibilních matic, které definují jiné speciální součty s nestandardními, by však měly být pro úplnost katalogizovány a uvedeny v této generalizační části jasné aplikace. Existující souhrn inverzní vztahy, a zejména přesná kritéria, podle nichž lze součty těchto forem převrátit a související, najdete v mnoha odkazech na ortogonální polynomy. Další dobré příklady tohoto typu faktorizačního zpracování k převrácení vztahů mezi součty dostatečně invertibilní nebo dostatečně vychovaný trojúhelníkové sady váhových koeficientů zahrnují Mobiusův inverzní vzorec, binomická transformace a Stirlingova transformace, mezi ostatními.

Reference

• Redheffer, Rayi (1977), „Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe“, Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben, Band 3 (Tagung, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1976), Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 213–216, PAN  0468170
• W. Barrett a T. Jarvis (1992). Msgstr "Spektrální vlastnosti matice Redheffera". Lineární algebra a její aplikace: 673–683.
• Cardon, David A. (2010). "Matice související s Dirichletovou řadou" (PDF). Žurnál teorie čísel: 27–39. arXiv:0809.0076. Bibcode:2008arXiv0809,0076C. Citováno 12. prosince 2018.}}

Externí odkazy a citace související práce

• Weisstein, Eric W. "Redhefferova matice". MathWorld.
• Kardinál, Jean-Paul. "Symetrické matice související s funkcí Mertens". Citováno 12. prosince 2018.
• Kline, Jeffery (2020). „O vlastní struktuře řídkých matic souvisejících s teorémem prvočísel“. Lineární algebra a její aplikace. 584: 409–430. doi:10.1016 / j.laa.2019.09.022.