Matice přechodu stavu - State-transition matrix - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Prosince 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie řízení, matice přechodu stavu je matice, jejíž součin se stavovým vektorem ${ displaystyle x}$ v počáteční době ${ displaystyle t_ {0}}$ dává ${ displaystyle x}$ později ${ displaystyle t}$. Matici přechodu stavu lze použít k získání obecného řešení lineárních dynamických systémů.

Řešení lineárních systémů

Matice přechodu stavu se používá k nalezení řešení k obecnému reprezentace stavového prostoru a lineární systém v následující podobě

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {B} (t) mathbf {u} (t ), ; mathbf {x} (t_ {0}) = mathbf {x} _ {0}}$,

kde ${ displaystyle mathbf {x} (t)}$ jsou stavy systému, ${ displaystyle mathbf {u} (t)}$ je vstupní signál, ${ displaystyle mathbf {A} (t)}$ a ${ displaystyle mathbf {B} (t)}$ jsou maticové funkce, a ${ displaystyle mathbf {x} _ {0}}$ je počáteční stav v ${ displaystyle t_ {0}}$. Použití matice přechodu stavu ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, tau)}$, řešení je dáno:^[1][2]

${ displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf { Phi} (t, t_ {0}) mathbf {x} (t_ {0}) + int _ {t_ {0}} ^ {t } mathbf { Phi} (t, tau) mathbf {B} ( tau) mathbf {u} ( tau) d tau}$

První termín je známý jako odezva s nulovým vstupem a druhý termín je známý jako reakce nulového stavu.

Série Peano – Baker

Nejobecnější přechodová matice je dána sérií Peano – Baker

${ displaystyle mathbf { Phi} (t, tau) = mathbf {I} + int _ { tau} ^ {t} mathbf {A} ( sigma _ {1}) , d sigma _ {1} + int _ { tau} ^ {t} mathbf {A} ( sigma _ {1}) int _ { tau} ^ { sigma _ {1}} mathbf {A } ( sigma _ {2}) , d sigma _ {2} , d sigma _ {1} + int _ { tau} ^ {t} mathbf {A} ( sigma _ {1 }) int _ { tau} ^ { sigma _ {1}} mathbf {A} ( sigma _ {2}) int _ { tau} ^ { sigma _ {2}} mathbf { A} ( sigma _ {3}) , d sigma _ {3} , d sigma _ {2} , d sigma _ {1} + ...}$

kde ${ displaystyle mathbf {I}}$ je matice identity. Tato matice konverguje rovnoměrně a absolutně k řešení, které existuje a je jedinečné.^[2]

Další vlastnosti

Matice přechodu stavu ${ displaystyle mathbf { Phi}}$ splňuje následující vztahy:

1. Je spojitý a má spojité deriváty.

2, nikdy to není singulární; ve skutečnosti ${ displaystyle mathbf { Phi} ^ {- 1} (t, tau) = mathbf { Phi} ( tau, t)}$ a ${ displaystyle mathbf { Phi} ^ {- 1} (t, tau) mathbf { Phi} (t, tau) = I}$, kde ${ displaystyle I}$ je matice identity.

3. ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, t) = I}$ pro všechny ${ displaystyle t}$ .^[3]

4. ${ displaystyle mathbf { Phi} (t_ {2}, t_ {1}) mathbf { Phi} (t_ {1}, t_ {0}) = mathbf { Phi} (t_ {2}, t_ {0})}$ pro všechny ${ displaystyle t_ {0} leq t_ {1} leq t_ {2}}$.

5. Splňuje diferenciální rovnici ${ displaystyle { frac { částečné mathbf { Phi} (t, t_ {0})} { částečné t}} = mathbf {A} (t) mathbf { Phi} (t, t_ { 0})}$ s počátečními podmínkami ${ displaystyle mathbf { Phi} (t_ {0}, t_ {0}) = I}$.

6. Matice přechodu stavu ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, tau)}$, dána

${ displaystyle mathbf { Phi} (t, tau) equiv mathbf {U} (t) mathbf {U} ^ {- 1} ( tau)}$

Kde ${ displaystyle n krát n}$ matice ${ displaystyle mathbf {U} (t)}$ je základní matice řešení to uspokojuje

${ displaystyle { dot { mathbf {U}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {U} (t)}$ s počátečním stavem ${ displaystyle mathbf {U} (t_ {0}) = I}$.

7. Vzhledem k stavu ${ displaystyle mathbf {x} ( tau)}$ kdykoliv ${ displaystyle tau}$, stát kdykoli jindy ${ displaystyle t}$ je dáno mapováním

${ displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf { Phi} (t, tau) mathbf {x} ( tau)}$

Odhad matice přechodu stavu

V časově neměnný případě můžeme definovat ${ displaystyle mathbf { Phi}}$, za použití exponenciální matice, tak jako ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, t_ {0}) = e ^ { mathbf {A} (t-t_ {0})}}$.

V časová varianta případě matice přechodu stavu ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, t_ {0})}$ lze odhadnout z řešení diferenciální rovnice ${ displaystyle { dot { mathbf {u}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {u} (t)}$ s počátečními podmínkami ${ displaystyle mathbf {u} (t_ {0})}$ dána ${ displaystyle [1, 0, ldots, 0] ^ {T}}$, ${ displaystyle [0, 1, ldots, 0] ^ {T}}$, ..., ${ displaystyle [0, 0, ldots, 1] ^ {T}}$. Odpovídající řešení poskytují ${ displaystyle n}$ sloupce matice ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, t_ {0})}$. Nyní z nemovitosti 4, ${ displaystyle mathbf { Phi} (t, tau) = mathbf { Phi} (t, t_ {0}) mathbf { Phi} ( tau, t_ {0}) ^ {- 1} }$ pro všechny ${ displaystyle t_ {0} leq tau leq t}$. Před pokračováním analýzy časově proměnného řešení je třeba určit matici přechodu stavu.

Viz také

• Magnusova expanze
• Liouvilleův vzorec

Reference

Další čtení

• Baake, M .; Schlaegel, U. (2011). „Série Peano Baker“. Sborník Steklovova matematického ústavu. 275: 155–159. doi:10.1134 / S0081543811080098. S2CID  119133539.
• Brogan, W.L. (1991). Moderní teorie řízení. Prentice Hall. ISBN  0-13-589763-7.