Pauliho matice - Pauli matrices

Wolfgang Pauli (1900–1958), ca. 1924. Pauli obdržel Nobelova cena za fyziku v roce 1945 nominován Albert Einstein, pro Pauliho princip vyloučení.

v matematická fyzika a matematika, Pauliho matice jsou sada tří 2 × 2 komplex matice což jsou Hermitian a unitární.^[1] Obvykle označeno řecký dopis sigma (σ), jsou občas označeny tau (τ) při použití ve spojení s isospin symetrie. Oni jsou

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {1} = sigma _ {x} & = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}} sigma _ {2} = sigma _ {y} & = {egin {pmatrix } 0 & -i i & 0end {pmatrix}} sigma _ {3} = sigma _ {z} & = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}} ,. konec {zarovnáno}}}$

Tyto matice jsou pojmenovány po fyzikovi Wolfgang Pauli. v kvantová mechanika, vyskytují se v Pauliho rovnice který bere v úvahu interakci roztočit částice s vnějším elektromagnetické pole.

Každá Pauliho matice je Hermitian a společně s maticí identity Já (někdy považována za nulovou Pauliho matici σ₀), Pauliho matice tvoří a základ doopravdy vektorový prostor z 2 × 2 Hermitovské matice. To znamená, že jakýkoli 2 × 2 Hermitova matice lze napsat jedinečným způsobem jako lineární kombinaci Pauliho matice, přičemž všechny koeficienty jsou reálná čísla.

Hermitovské operátory představují pozorovatelné v kvantové mechanice, takže Pauliho matice pokrývají prostor pozorovatelných objektů 2-rozměrný komplex Hilbertův prostor. V souvislosti s Pauliho prací σ_k představuje pozorovatelný odpovídající rotaci podél kosa v 3D Euklidovský prostor ℝ³.

Pauliho matice (po vynásobení číslem i udělat je anti-poustevník ) také generují transformace ve smyslu Lež algebry: matice iσ₁, iσ₂, iσ₃ tvoří základ skutečné lže algebry ${displaystyle {mathfrak {su}} (2)}$, který exponentiates do speciální jednotné skupiny SU (2).^{[poznámka 1]} The algebra generované třemi maticemi σ₁, σ₂, σ₃ je izomorfní do Cliffordova algebra z ℝ³ a (unital asociativní) algebra generovaná iσ₁, iσ₂, iσ₃ je izomorfní jako u čtveřice.

Algebraické vlastnosti

Všechny tři Pauliho matice lze zkomprimovat do jediného výrazu:

${displaystyle sigma _ {a} = {egin {pmatrix} delta _ {a3} & delta _ {a1} -idelta _ {a2} delta _ {a1} + idelta _ {a2} & - delta _ {a3} konec { pmatrix}}}$

kde i = √−1 je imaginární jednotka, a δ_ab je Kroneckerova delta, což se rovná +1, pokud A = b a 0 jinak. Tento výraz je užitečný pro „výběr“ kterékoli z matic numericky nahrazením hodnot A = 1, 2, 3, což je zase užitečné, když má být některá z matic (ale žádná konkrétní) použita v algebraických manipulacích.

Matice jsou nedobrovolný:

${displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = sigma _ {2} ^ {2} = sigma _ {3} ^ {2} = - isigma _ {1} sigma _ {2} sigma _ {3} = { egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1end {pmatrix}} = I}$

kde Já je matice identity.

The determinanty a stopy Pauliho matice jsou:

${displaystyle {egin {aligned} det sigma _ {i} & = - 1, operatorname {tr} sigma _ {i} & = 0.end {aligned}}}$

Z toho můžeme odvodit, že vlastní čísla každého σ_i jsou ±1.

Se zahrnutím matice identity Já (někdy označeno σ₀), Pauliho matice tvoří ortogonální základ (ve smyslu Hilbert – Schmidt ) skutečné Hilbertův prostor z 2 × 2 složité hermitovské matice, ${displaystyle {mathcal {H}} _ {2} (mathbb {C})}$a komplexní Hilbertův prostor ze všech 2 × 2 matice, ${displaystyle {mathcal {M}} _ {2,2} (mathbb {C})}$.

Vlastní vektory a vlastní hodnoty

Každý z (Hermitian ) Pauliho matice má dvě vlastní čísla, +1 a −1. Pomocí konvence, ve které je před normalizací 1 umístěna do horní a spodní polohy funkce + a - vlnové funkce, odpovídající normalizováno vlastní vektory jsou:

${displaystyle {egin {aligned} psi _ {x +} & = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 1end {pmatrix}}, & psi _ {x -} & = {frac { 1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 -1end {pmatrix}}, psi _ {y +} & = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 iend {pmatrix}}, & psi _ {y -} & = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 -iend {pmatrix}}, psi _ {z +} & = {egin {pmatrix} 1 0end {pmatrix}}, & psi _ {z -} & = {egin {pmatrix} 0 1end {pmatrix}}. end {aligned}}}$

Výhodou použití této konvence je, že vlnové funkce + a - mohou být ve vzájemném vztahu pomocí samotných Pauliho matic tím, že ${displaystyle {{psi} _ {x +}} = i {{sigma} _ {y}} {{psi} _ {x-}}}$, ${displaystyle {{psi} _ {y +}} = {{sigma} _ {z}} {{psi} _ {y-}}}$ a ${displaystyle {{psi} _ {z +}} = {{sigma} _ {x}} {{psi} _ {z-}}}$.

Pauli vektor

Pauliho vektor je definován^{[pozn. 2]}

${displaystyle {vec {sigma}} = sigma _ {1} {hat {x}} + sigma _ {2} {hat {y}} + sigma _ {3} {hat {z}}}$

a poskytuje mapovací mechanismus od vektorové báze k Pauliho maticové bázi^[2] jak následuje,

${displaystyle {egin {aligned} {vec {a}} cdot {vec {sigma}} & = left (a_ {i} {hat {x}} _ {i} ight) cdot left (sigma _ {j} {hat {x}} _ {j} ight) = a_ {i} sigma _ {j} {hat {x}} _ {i} cdot {hat {x}} _ {j} & = a_ {i} sigma _ {j} delta _ {ij} = a_ {i} sigma _ {i} = {egin {pmatrix} a_ {3} & a_ {1} -ia_ {2} a_ {1} + ia_ {2} & - a_ {3} end {pmatrix}} end {aligned}}}$

za použití konvence součtu. Dále,

${displaystyle det {vec {a}} cdot {vec {sigma}} = - {vec {a}} cdot {vec {a}} = - vlevo | {vec {a}} ight | ^ {2},}$

jeho vlastní čísla ${displaystyle pm | {vec {a}} |}$, a navíc (viz úplnost níže)

${displaystyle {frac {1} {2}} operatorname {tr} vlevo (vlevo ({vec {a}} cdot {vec {sigma}} ight) {vec {sigma}} ight) = {vec {a}} ~ .}$

Jeho normalizované vlastní vektory jsou

${displaystyle psi _ {+} = {frac {1} {sqrt {2 | {vec {a}} | (a_ {3} + | {vec {a}} |)}}} {egin {pmatrix} a_ { 3} + | {vec {a}} | a_ {1} + ia_ {2} konec {pmatrix}}; qquad psi _ {-} = {frac {1} {sqrt {2 | {vec {a}} | (a_ {3} + | {vec {a}} |)}}} {egin {pmatrix} ia_ {2} -a_ {1} a_ {3} + | {vec {a}} | konec {pmatrix }}.}$

Komutační vztahy

Pauliho matice se řídí následujícím komutace vztahy:

${displaystyle [sigma _ {a}, sigma _ {b}] = 2ivarepsilon _ {abc}, sigma _ {c} ,,}$

a antikomutace vztahy:

${displaystyle {sigma _ {a}, sigma _ {b}} = 2delta _ {ab}, I.}$

Kde strukturní konstanta ε_abc je Symbol Levi-Civita, Je použita Einsteinova součtová notace, δ_ab je Kroneckerova delta, a Já je 2 × 2 matice identity.

Například,

${displaystyle {egin {aligned} {ext {commutators}} && {ext {anticommutators}} &, left [sigma _ {1}, sigma _ {2} ight] & = 2isigma _ {3}, & left {sigma _ {1}, sigma _ {1} ight} & = 2I, left [sigma _ {2}, sigma _ {3} ight] & = 2isigma _ {1}, & left {sigma _ {1}, sigma _ { 2} ight} & = 0, left [sigma _ {3}, sigma _ {1} ight] & = 2isigma _ {2}, a left {sigma _ {1}, sigma _ {3} ight} & = 0 , left [sigma _ {1}, sigma _ {1} ight] & = 0, & left {sigma _ {2}, sigma _ {2} ight} & = 2I,. end {aligned}}}$

Vztah k bodovému a křížovému produktu

Pauli vektory elegantně mapují tyto komutační a antikomutační vztahy na odpovídající vektorové produkty. Přidání komutátoru k antikomutátoru dává

${displaystyle {egin {aligned} left [sigma _ {a}, sigma _ {b} ight] + {sigma _ {a}, sigma _ {b}} & = (sigma _ {a} sigma _ {b} - sigma _ {b} sigma _ {a}) + (sigma _ {a} sigma _ {b} + sigma _ {b} sigma _ {a}) 2ivarepsilon _ {abc}, sigma _ {c} + 2delta _ {ab} I & = 2sigma _ {a} sigma _ {b} konec {zarovnáno}}}$

aby,

Smluvní každá strana rovnice se složkami dvou 3-vektory A_p a b_q (které dojíždějí s Pauliho maticemi, tj. A_pσ_q = σ_qA_p) pro každou matici σ_q a vektorová složka A_p (a podobně s b_q) a indexy rebrandingu A, b, C → p, q, r, aby se zabránilo notačním konfliktům, výnosy

${displaystyle {egin {aligned} a_ {p} b_ {q} sigma _ {p} sigma _ {q} & = a_ {p} b_ {q} vlevo (ivarepsilon _ {pqr}, sigma _ {r} + delta _ {pq} Iight) a_ {p} sigma _ {p} b_ {q} sigma _ {q} & = ivarepsilon _ {pqr}, a_ {p} b_ {q} sigma _ {r} + a_ {p } b_ {q} delta _ {pq} I ~ .end {aligned}}}$

Nakonec překlad indexové notace pro Tečkovaný produkt a křížový produkt výsledky v

Li ${displaystyle i}$ je identifikován pseudoskalárem ${displaystyle sigma _ {x} sigma _ {y} sigma _ {z}}$ pak se stane pravá strana ${displaystyle acdot b + awedge b}$ což je také definice součinu dvou vektorů v geometrické algebře.

Některé stopy

Následující stopy lze odvodit pomocí komutačních a antikomutačních vztahů.

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {tr} left (sigma _ {a} ight) & = 0 operatorname {tr} left (sigma _ {a} sigma _ {b} ight) & = 2delta _ {ab} operatorname {tr} vlevo (sigma _ {a} sigma _ {b} sigma _ {c} ight) & = 2ivarepsilon _ {abc} operatorname {tr} vlevo (sigma _ {a} sigma _ {b} sigma _ { c} sigma _ {d} ight) & = 2left (delta _ {ab} delta _ {cd} -delta _ {ac} delta _ {bd} + delta _ {ad} delta _ {bc} ight) end {aligned }}}$

Pokud je matice ${displaystyle sigma _ {0} = I}$ je vhozen do mixu, tyto vztahy se stanou

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {tr} left (sigma _ {alpha} ight) & = 2delta _ {0alpha} operatorname {tr} left (sigma _ {alpha} sigma _ {eta} ight) & = 2delta _ {alpha eta} operatorname {tr} vlevo (sigma _ {alpha} sigma _ {eta} sigma _ {gamma} ight) & = 2sum _ {(alfa eta gamma)} delta _ {alpha eta} delta _ {0gamma} -4delta _ {0alpha} delta _ {0 eta} delta _ {0gamma} + 2ivarepsilon _ {0alpha eta gamma} operatorname {tr} vlevo (sigma _ {alpha} sigma _ {eta} sigma _ {gamma} sigma _ { mu} ight) & = 2left (delta _ {alpha eta} delta _ {gamma mu} -delta _ {alpha gamma} delta _ {eta mu} + delta _ {alpha mu} delta _ {eta gamma} ight) + 4left (delta _ {alpha gamma} delta _ {0 eta} delta _ {0mu} + delta _ {eta mu} delta _ {0alpha} delta _ {0gamma} ight) -8delta _ {0alpha} delta _ {0 eta} delta _ {0gamma} delta _ {0mu} + 2isum _ {(alfa eta gamma mu)} varepsilon _ {0alpha eta gamma} delta _ {0mu} konec {zarovnáno}}}$

kde řecké indexy ${displaystyle alpha, eta, gamma}$ a ${displaystyle mu}$ předpokládat hodnoty z ${displaystyle {0, x, y, z}}$ a zápis ${displaystyle sum _ {(alfa ...)}}$ se používá k označení součtu nad cyklická permutace zahrnutých indexů.

Exponenciál Pauliho vektoru

Pro

${displaystyle {vec {a}} = a {hat {n}}, quad | {hat {n}} | = 1,}$

jeden má, pro sudé síly, ${displaystyle 2p, p = 0,1,2,3, ldots}$

${displaystyle ({hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ^ {2p} = I}$

které lze zobrazit jako první pro ${displaystyle p = 1}$ případ využívající anticommutační vztahy. Pro větší pohodlí ${displaystyle p = 0}$ se považuje za ${displaystyle I}$ podle konvence.

Pro zvláštní síly ${displaystyle 2q + 1, q = 0,1,2,3, ldots}$

${displaystyle left ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight) ^ {2q + 1} = {hat {n}} cdot {vec {sigma}} ,.}$

Umocňování matice a pomocí Taylorova řada pro sinus a kosinus,

${displaystyle {egin {aligned} e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} & = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {i ^ {k} left [aleft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight) ight] ^ {k}} {k!}} & = sum _ {p = 0} ^ {infty} {frac {(-1 ) ^ {p} (a {hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ^ {2p}} {(2p)!}} + isum _ {q = 0} ^ {infty} {frac {(- 1) ^ {q} (a {hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ^ {2q + 1}} {(2q + 1)!}} & = Isum _ {p = 0} ^ { infty} {frac {(-1) ^ {p} a ^ {2p}} {(2p)!}} + i ({hat {n}} cdot {vec {sigma}}) součet _ {q = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {q} a ^ {2q + 1}} {(2q + 1)!}} end {zarovnáno}}}$.

V posledním řádku je první součet kosinus, zatímco druhý součet je sinus; takže konečně

který je analogický na Eulerův vzorec, rozšířeno na čtveřice.

Všimněte si, že

${displaystyle det [ia ({hat {n}} cdot {vec {sigma}})] = a ^ {2}}$,

zatímco samotný determinant exponenciálu je spravedlivý 1, což z něj dělá obecný prvek skupiny z SU (2).

Abstraktnější verze vzorce (2) pro generála 2 × 2 matici najdete v článku na maticové exponenciály. Obecná verze (2) pro analytika (at A a -A) Funkce je poskytována aplikací Sylvesterův vzorec,^[3]

${displaystyle f (a ({hat {n}} cdot {vec {sigma}})) = I {frac {f (a) + f (-a)} {2}} + {hat {n}} cdot { vec {sigma}} {frac {f (a) -f (-a)} {2}} ~.}$

Zákon o složení skupiny z SU (2)

Jednoduché použití vzorce (2) poskytuje parametrizaci zákona o složení skupiny SU (2).^{[pozn. 3]} Jeden může přímo vyřešit pro C v

${displaystyle {egin {aligned} e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} e ^ {ibleft ({hat {m}} cdot {vec {sigma}} ight)} & = I (cos acos b- {hat {n}} cdot {hat {m}} sin asin b) + i ({hat {n}} sin acos b + {hat {m}} sin bcos a- {hat {n }} imes {hat {m}} ~ sin asin b) cdot {vec {sigma}} & = Icos {c} + i ({hat {k}} cdot {vec {sigma}}) sin {c} & = e ^ {icleft ({hat {k}} cdot {vec {sigma}} ight)}, konec {zarovnáno}}}$

který určuje násobení generické skupiny, kde je zjevně

${displaystyle cos c = cos acos b- {hat {n}} cdot {hat {m}} sin asin b ~,}$

the sférický zákon kosinů. Dáno C, pak,

${displaystyle {hat {k}} = {frac {1} {sin c}} vlevo ({hat {n}} sin acos b + {hat {m}} sin bcos a- {hat {n}} imes {hat { m}} sin asin bight) ~.}$

V důsledku toho jsou parametry kompozitního otáčení v tomto prvku skupiny (uzavřená forma příslušného Rozšíření BCH v tomto případě) jednoduše částka^[4]

${displaystyle e ^ {ic {hat {k}} cdot {vec {sigma}}} = exp left (i {frac {c} {sin c}} ({hat {n}} sin acos b + {hat {m} } sin bcos a- {hat {n}} imes {hat {m}} ~ sin asin b) cdot {vec {sigma}} ight) ~.}$

(Samozřejmě, kdy n̂ je paralelní s m̂, takže je k̂, a C = a + b.)

Adjoint akce

Rovněž je snadné vypočítat adjunktní akci na Pauliho vektoru, jmenovitě rotaci efektivně o dvojnásobný úhel A,

${displaystyle e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} ~ {vec {sigma}} ~ e ^ {- ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} = {vec {sigma}} cos (2a) + {hat {n}} imes {vec {sigma}} ~ sin (2a) + {hat {n}} ~ {hat {n}} cdot {vec {sigma}} ~ (1-cos (2a)) ~.}$

Vztah úplnosti

Alternativní notací, která se běžně používá pro Pauliho matice, je zápis vektorového indexu i v horním indexu a maticové indexy jako dolní indexy, takže prvek v řádku α a sloupec β z i-tá Pauliho matice je σ ⁱ_αβ.

V této notaci je vztah úplnosti pro Pauliho matice lze psát

${displaystyle {vec {sigma}} _ {alpha eta} cdot {vec {sigma}} _ {gamma delta} ekviv. součet _ {i = 1} ^ {3} sigma _ {alpha eta} ^ {i} sigma _ { gamma delta} ^ {i} = 2delta _ {alpha delta} delta _ {eta gamma} -delta _ {alpha eta} delta _ {gamma delta}.}$

Důkaz: Skutečnost, že Pauli matice, spolu s maticí identity Já, tvoří ortogonální základ pro komplexní Hilbertův prostor všech matic 2 × 2 znamená, že můžeme vyjádřit libovolnou matici M tak jako

${displaystyle M = cI + součet _ {i} a_ {i} sigma ^ {i}}$

kde C je komplexní číslo a A je 3složkový komplexní vektor. Pomocí výše uvedených vlastností je jednoduché to ukázat

${displaystyle operatorname {tr}, sigma ^ {i} sigma ^ {j} = 2delta _ {ij}}$

kde "tr" označuje stopa, a proto to

${displaystyle {egin {aligned} c & = {frac {1} {2}} operatorname {tr}, M, a_ {i} = {frac {1} {2}} operatorname {tr}, sigma ^ {i} M ~. [3pt] herefore ~~ 2M & = Ioperatorname {tr}, M + sum _ {i} sigma ^ {i} operatorname {tr}, sigma ^ {i} M ~, end {aligned}}}$

které lze přepsat z hlediska maticových indexů na

${displaystyle 2M_ {alpha eta} = delta _ {alpha eta} M_ {gamma gamma} + sum _ {i} sigma _ {alpha eta} ^ {i} sigma _ {gamma delta} ^ {i} M_ {delta gamma} ~,}$

kde součet je implicitní přes opakované indexy y a δ. Protože to platí pro jakoukoli volbu matice M, následuje vztah úplnosti, jak je uvedeno výše.

Jak je uvedeno výše, je běžné označovat matici jednotek 2 × 2 pomocí σ₀, tak σ⁰_αβ = δ_αβ. Vztah úplnosti lze alternativně vyjádřit jako

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {3} sigma _ {alpha eta} ^ {i} sigma _ {gamma delta} ^ {i} = 2delta _ {alpha delta} delta _ {eta gamma} ~.}$

Skutečnost, že libovolné 2 × 2 komplexní hermitovské matice lze vyjádřit pomocí matice identity a Pauliho matice, vede také k Bloch koule reprezentace 2 × 2 smíšené státy matice hustoty (2 × 2 kladné semidefinitní matice s jednotkovou stopou. To lze vidět tak, že nejprve vyjádříme libovolnou hermitovskou matici jako skutečnou lineární kombinaci {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃} jak je uvedeno výše, a poté uložení pozitivního semidefinitu a stopa 1 podmínky.

Pro čistý stav, v polárních souřadnicích, ${displaystyle {vec {a}} = {egin {pmatrix} sin heta cos phi, & sin heta sin phi, & cos heta end {pmatrix}}}$, idempotentní matice hustoty

${displaystyle {frac {1} {2}} (1 !! 1+ {vec {a}} cdot {vec {sigma}}) = {egin {pmatrix} cos ^ {2} left ({frac {heta} { 2}} ight) & e ^ {- iphi} hřích vlevo ({frac {heta} {2}} ight) protože vlevo ({frac {heta} {2}} ight) e ^ {iphi} hřích vlevo ({frac {heta} {2}} ight) cos left ({frac {heta} {2}} ight) & sin ^ {2} left ({frac {heta} {2}} ight) end {pmatrix}}}$

působí na vlastní vlastní stát ${displaystyle {egin {pmatrix} cos left ({frac {heta} {2}} ight), & e ^ {iphi} sin left ({frac {heta} {2}} ight) end {pmatrix}}}$ s vlastní hodnotou 1, tedy jako a operátor projekce pro to.

Vztah s permutačním operátorem

Nechat P_ij být transpozice (také známá jako permutace) mezi dvěma otočeními σ_i a σ_j žijící v tenzorový produkt prostor ℂ² ⊗ ℂ²,

${displaystyle P_ {ij} | sigma _ {i} sigma _ {j} úhel = | sigma _ {j} sigma _ {i} úhel,.}$

Tento operátor lze také explicitněji zapsat jako Diracův operátor výměny spinů,

${displaystyle P_ {ij} = {frac {1} {2}} ({vec {sigma}} _ {i} cdot {vec {sigma}} _ {j} +1) ,.}$

Jeho vlastní čísla jsou proto^[5] 1 nebo -1. Může být tedy použit jako termín interakce v hamiltoniánu, který rozdělí vlastní energetické hodnoty jeho symetrických versus antisymetrických vlastních stavů.

SU (2)

Skupina SU (2) je Lež skupina z unitární 2 × 2 matice s jednotkovým determinantem; své Lež algebra je množina všech 2 × 2 antihermitovské matice se stopou 0. Přímý výpočet, jak je uvedeno výše, ukazuje, že Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {su}} _ {2}}$ je trojrozměrná skutečná algebra překlenul sadou {iσ_j}. V kompaktní notaci

${displaystyle {mathfrak {su}} (2) = operatorname {span} {isigma _ {1}, isigma _ {2}, isigma _ {3}}.}$

Výsledkem je, že každý iσ_j může být viděn jako nekonečně malý generátor SU (2). Prvky SU (2) jsou exponenciály lineárních kombinací těchto tří generátorů a násobí se, jak je uvedeno výše v diskusi o Pauliho vektoru. I když to stačí ke generování SU (2), není to správné zastoupení su (2), protože vlastní hodnoty Pauliho jsou škálovány netradičně. Konvenční normalizace je λ = 1/2, aby

${displaystyle {mathfrak {su}} (2) = operatorname {span} left {{frac {isigma _ {1}} {2}}, {frac {isigma _ {2}} {2}}, {frac {isigma _ {3}} {2}} hned}.}$

Jelikož SU (2) je kompaktní skupina, je její Rozklad kartanu je triviální.

SO (3)

Lieova algebra su(2) je izomorfní k lže algebře tak(3), což odpovídá Lieově skupině SO (3), skupina z rotace v trojrozměrném prostoru. Jinými slovy lze říci, že iσ_j jsou realizací (a ve skutečnosti nejnižší dimenzionální realizací) infinitezimální rotace v trojrozměrném prostoru. Nicméně, i když su(2) a tak(3) jsou izomorfní jako Lieovy algebry, SU (2) a SO (3) nejsou izomorfní jako Lieovy skupiny. SU (2) je ve skutečnosti dvojitý kryt z SO (3), což znamená, že existuje homomorfismus skupiny dvou ku jedné z SU (2) na SO (3)viz vztah mezi SO (3) a SU (2).

Čtveřice

Skutečné lineární rozpětí {Já, iσ₁, iσ₂, iσ₃} je izomorfní se skutečnou algebrou čtveřice ℍ. Izomorfismus z ℍ této sadě je dána následující mapou (všimněte si obrácených znaků pro Pauliho matice):

${displaystyle 1mapsto I, quad mathbf {i} mapsto -sigma _ {2} sigma _ {3} = - isigma _ {1}, quad mathbf {j} mapsto -sigma _ {3} sigma _ {1} = - isigma _ {2}, quad mathbf {k} mapsto -sigma _ {1} sigma _ {2} = - isigma _ {3}.}$

Alternativně lze izomorfismu dosáhnout pomocí mapy pomocí Pauliho matic v obráceném pořadí,^[6]

${displaystyle 1mapsto I, quad mathbf {i} mapsto isigma _ {3}, quad mathbf {j} mapsto isigma _ {2}, quad mathbf {k} mapsto isigma _ {1}.}$

Jako soubor versors U ⊂ ℍ tvoří skupinu isomorfní SU (2), U dává ještě další způsob popisu SU (2). Homomorfismus dvou ku jedné z SU (2) na SO (3) mohou být uvedeny v termínech Pauliho matice v této formulaci.

Fyzika

Klasická mechanika

v klasická mechanika, Pauliho matice jsou užitečné v kontextu parametrů Cayley-Klein.^[7] Matice P odpovídá poloze ${displaystyle {vec {x}}}$ bodu v prostoru je definován ve smyslu výše uvedené Pauliho vektorové matice,

${displaystyle P = {vec {x}} cdot {vec {sigma}} = xsigma _ {x} + ysigma _ {y} + zsigma _ {z} ~.}$

V důsledku toho transformační matice ${displaystyle Q_ {heta}}$ pro rotace kolem X-osa pod úhlem θ lze psát pomocí Pauliho matice a jednotkové matice jako^[7]

${displaystyle Q_ {heta} = 1 !! 1cos {frac {heta} {2}} + isigma _ {x} sin {frac {heta} {2}} ~.}$

Podobné výrazy následují pro obecné Pauliho vektorové rotace, jak je podrobně uvedeno výše.

Kvantová mechanika

v kvantová mechanika, každá Pauliho matice souvisí s operátor momentu hybnosti který odpovídá an pozorovatelný popisující roztočit a točit ½ částice v každém ze tří prostorových směrů. Okamžitým důsledkem výše zmíněného rozkladu Cartanu, iσ_j jsou generátory a projektivní reprezentace (rotační reprezentace) z rotační skupina SO (3) jednající na nerelativistické částice se spinem ½. The státy částice jsou reprezentovány jako dvousložkové rotory. Stejným způsobem jsou Pauliho matice spojeny s operátor isospin.

Zajímavou vlastností spin ½ částic je, že musí být otočeny o úhel 4π pro návrat do původní konfigurace. To je způsobeno výše zmíněnou korespondencí dvou na jednoho mezi SU (2) a SO (3) a skutečností, že ačkoli člověk vizualizuje rotaci nahoru / dolů jako severní / jižní pól na 2 koule S², ve skutečnosti je zastupuje ortogonální vektory v dvourozměrném komplexu Hilbertův prostor.

U částice rotace ½ je operátor rotace dán vztahem J = ħ/2σ, základní zastoupení z SU (2). Tím, že Výrobky Kronecker z této reprezentace sám se sebou lze sestavit všechny vyšší neredukovatelné reprezentace. To znamená, že výsledek operátory rotace pro vyšší rotační systémy ve třech prostorových rozměrech, pro libovolně velké j, lze vypočítat pomocí tohoto operátor odstřeďování a operátoři žebříků. Mohou být nalezeny v Rotační skupina SO (3) # Poznámka k Lieově algebře. Analogický vzorec k výše uvedenému zobecnění Eulerova vzorce pro Pauliho matice, prvek skupiny z hlediska spinových matic, je přitažlivý, ale méně jednoduchý.^[8]

Také užitečné v kvantová mechanika systémů s více částmi, obecné Skupina Pauli G_n je definován tak, že se skládá ze všech n-složit tenzor produkty Pauliho matric.

Relativistická kvantová mechanika

v relativistická kvantová mechanika, rotory ve čtyřech rozměrech jsou matice 4 × 1 (nebo 1 × 4). Proto musí být matice Pauli nebo matice Sigma operující na těchto spinorech matice 4 × 4. Jsou definovány jako 2 × 2 Pauliho matice jako

${displaystyle {mathsf {Sigma}} _ {i} = {egin {pmatrix} {mathsf {sigma}} _ {i} & 0 0 & {mathsf {sigma}} _ {i} end {pmatrix}}.}$

Z této definice vyplývá, že ${displaystyle {mathsf {Sigma}} _ {i}}$ matice mají stejné algebraické vlastnosti jako ${displaystyle {mathsf {sigma}} _ {i}}$ matice.

Nicméně, relativistická moment hybnosti není tři vektor, ale druhý řád čtyři tenzory. Proto ${displaystyle {mathsf {Sigma}} _ {i}}$ je třeba nahradit ${displaystyle Sigma _ {mu u}}$, generátor Lorentzovy transformace na spinorech. Antisymetrií momentu hybnosti se ${displaystyle Sigma _ {mu u}}$ jsou také antisymetrické. Proto existuje pouze šest nezávislých matic.

První tři jsou ${displaystyle Sigma _ {jk} ekv. epsilon _ {ijk} {mathsf {Sigma}} _ {i}.}$ Zbývající tři, ${displaystyle -iSigma _ {0i} equiv {mathsf {alpha}} _ {i}}$, Kde Dirac ${displaystyle {mathsf {alpha}} _ {i}}$ matice jsou definovány jako

${displaystyle {mathsf {alpha}} _ {i} = {egin {pmatrix} 0 & {mathsf {sigma}} _ {i} {mathsf {sigma}} _ {i} & 0end {pmatrix}}.}$

Relativistické matice rotace ${displaystyle Sigma _ {mu u}}$ jsou psány v kompaktní podobě, pokud jde o komutátor gama matice tak jako

${displaystyle Sigma _ {mu u} = {frac {i} {2}} vlevo [gamma _ {mu}, gamma _ {u} ight]}$.

Kvantové informace

v kvantová informace, single-qubit kvantové brány jsou 2 × 2 unitární matice. Pauliho matice jsou některé z nejdůležitějších operací s jedním qubitem. V této souvislosti se výše uvedený rozklad Cartanu nazývá Rozklad Z – Y brány s jedním qubitem. Výběr jiného páru Cartan dává podobné X – Y rozklad brány s jedním qubitem.

Viz také

• Spinors ve třech rozměrech
• Gama matice
  • § Dirac
• Moment hybnosti
• Gell-Mannovy matice
• Poincaré skupina
• Zobecnění Pauliho matic
• Bloch koule
• Eulerova čtvercová identita
• Pro vyšší generalizaci rotace Pauliho matic viz rotace (fyzika) § Vyšší rotace
• Výměnná matice (druhá Pauliho matice je výměnná matice řádu dva)

Poznámky

Poznámky

Reference

• Liboff, Richard L. (2002). Úvodní kvantová mechanika. Addison-Wesley. ISBN  0-8053-8714-5.
• Schiff, Leonard I. (1968). Kvantová mechanika. McGraw-Hill. ISBN  978-0070552876.
• Leonhardt, Ulf (2010). Základní kvantová optika. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-14505-3.