Gama matice - Gamma matrices - Wikipedia

v matematická fyzika, gama matice, ${ displaystyle { gamma ^ {0}, gamma ^ {1}, gamma ^ {2}, gamma ^ {3} }}$ , také známý jako Dirac matice, je sada konvenčních matic se specifickými antikomutace vztahy, které je zajišťují generovat maticová reprezentace Cliffordova algebra Cℓ_1,3(R). Je také možné definovat vyšší dimenze gama matic. Při interpretaci jako matice akce množiny ortogonální základní vektory pro kontrariantní vektory v Minkowského prostor, sloupcové vektory, na které působí matice, se stávají prostorem rotory, na kterém Cliffordova algebra z vesmírný čas činy. To zase umožňuje reprezentovat nekonečně malé prostorové rotace a Lorentz posiluje. Spinory obecně usnadňují výpočty v časoprostoru a jsou zejména základem Diracova rovnice pro relativistické spin-½ částice.

v Dirac zastoupení, čtyři kontrariantní gama matice jsou

{ displaystyle { begin {aligned} gamma ^ {0} & = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {pmatrix}}, & gamma ^ {1 } & = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}, gamma ^ {2} & = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i 0 & 0 & i & 0 0 & i & 0 & 0 - i & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}, & gamma ^ {3} & = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 - 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 end {pmatrix}}. end {zarovnáno}}}

${ displaystyle gamma ^ {0}}$ je časově podobná poustevnická matice. Další tři jsou vesmírné antihermitiánské matice. Kompaktněji ${ displaystyle gamma ^ {0} = sigma ^ {3} často I}$ , a ${ displaystyle gamma ^ {j} = i sigma ^ {2} další sigma ^ {j}}$ , kde ${ displaystyle otimes}$ označuje Produkt Kronecker a ${ displaystyle sigma ^ {j}}$ (pro j = 1, 2, 3) označují Pauliho matice.

Gama matice mají skupinovou strukturu, gama skupina, který je sdílen všemi maticovými reprezentacemi skupiny v jakékoli dimenzi pro jakýkoli podpis metriky. Například Pauliho matice jsou sada „gama“ matic v dimenzi 3 s metrikou euklidovského podpisu (3, 0). V 5 dimenzích časoprostoru generují 4 gama výše společně s pátou gama maticí uvedenou níže Cliffordovu algebru.

Matematická struktura

Vlastnost definování pro gama matice ke generování a Cliffordova algebra je vztah anticommutation

{ displaystyle { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} } = gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} = 2 eta ^ { mu nu} I_ {4},}

kde ${ displaystyle {, }}$ je antikomutátor, ${ displaystyle eta ^ { mu nu}}$ je Minkowského metrika s podpisem (+ − − −), a ${ displaystyle I_ {4}}$ je 4 × 4 matice identity.

Tato definující vlastnost je podstatnější než číselné hodnoty použité v konkrétní reprezentaci gama matic. Kovariantní gama matice jsou definovány

{ displaystyle gamma _ { mu} = eta _ { mu nu} gamma ^ { nu} = left { gamma ^ {0}, - gamma ^ {1}, - gamma ^ {2}, - gamma ^ {3} vpravo },}

a Einsteinova notace předpokládá se.

Všimněte si, že druhý podepsat konvenci pro metriku, (− + + +) vyžaduje buď změnu v definující rovnici:

{ displaystyle { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} } = - 2 eta ^ { mu nu} I_ {4}}

nebo násobení všech gama matic pomocí ${ displaystyle i}$ , což samozřejmě mění jejich hermitické vlastnosti podrobně popsané níže. Podle alternativní konvence znaménka pro metriku jsou pak kovarianční gama matice definovány pomocí

{ displaystyle gamma _ { mu} = eta _ { mu nu} gamma ^ { nu} = left {- gamma ^ {0}, + gamma ^ {1}, + gamma ^ {2}, + gamma ^ {3} vpravo }.}

Fyzická struktura

Cliffordova algebra $Cl 1,3 (ℝ)$ přes časoprostor $PROTI$ lze považovat za množinu skutečných lineárních operátorů z $PROTI$ pro sebe, $Konec(PROTI)$ , nebo obecněji, když složitější na $Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ , jako množina lineárních operátorů z libovolného 4-dimenzionálního komplexního vektorového prostoru pro sebe. Jednoduše řečeno, základ pro $PROTI$ , $Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ je jen souborem všech $4 \times 4$ složité matice, ale obdařené strukturou Cliffordovy algebry. Předpokládá se, že je časoprostor vybaven metrikou Minkowski $η μν$ . Prostor bispinorů, $U X$ , se také předpokládá v každém bodě časoprostoru, obdařený reprezentace bispinoru z Skupina Lorentz. Bispinorova pole $Ψ$ z Diracových rovnic, vyhodnocených v kterémkoli bodě $X$ v časoprostoru, jsou prvky $U X$ , viz. níže. Předpokládá se, že Cliffordova algebra bude jednat $U X$ také (násobením matice s vektory sloupců $Ψ (X)$ v $U X$ pro všechny $X$ ). Toto bude primární pohled na prvky $Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ v této části.

Pro každou lineární transformaci $S$ z $U X$ , dochází k transformaci $Konec(U X)$ dána $SES -1$ pro $E$ v $Cl 1,3 (ℝ) ℂ \approx Konec (U X)$ . Li $S$ patří do reprezentace skupiny Lorentz, pak indukovaná akce $E \mapsto SES -1$ bude také patřit k zastoupení skupiny Lorentz, viz Teorie reprezentace skupiny Lorentz.

Li $S (Λ)$ je bispinorská reprezentace jednající na $U X$ libovolného Lorentzova transformace $Λ$ ve standardní (4-vektorové) reprezentaci působící na $PROTI$ , pak je zapnutý odpovídající operátor $Konec(U X) = Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ dána

{ displaystyle gamma ^ { mu} mapsto S ( Lambda) gamma ^ { mu} S ( Lambda) ^ {- 1} = {( Lambda ^ {- 1}) ^ { mu} } _ { nu} gamma ^ { nu} = { Lambda _ { nu}} ^ { mu} gamma ^ { nu},}

ukazuje, že $y μ$ lze zobrazit jako základ a reprezentační prostor z 4-vektorová reprezentace skupiny Lorentz sedí uvnitř Cliffordovy algebry. Poslední identitu lze rozpoznat jako definující vztah pro matice patřící k neurčitá ortogonální skupina, který je ${ displaystyle eta Lambda ^ {T} eta = Lambda ^ {- 1},}$ napsáno v indexované notaci. To znamená, že množství formuláře

{ displaystyle a ! ! ! /: = a _ { mu} gamma ^ { mu}}

by měly být při manipulaci považovány za 4-vektory. To také znamená, že indexy lze na indexu zvyšovat a snižovat $y$ pomocí metriky $η μν$ jako u všech 4-vektorů. Zápis se nazývá Feynman lomítko notace. Operace lomítko mapuje základ $E μ$ z $PROTI$ , nebo jakýkoli 4-dimenzionální vektorový prostor, na základě vektorů $y μ$ . Pravidlo transformace pro lomená množství je jednoduše

{ displaystyle {a ! ! ! /} ^ { mu} mapsto { Lambda ^ { mu}} _ { nu} {a ! ! ! /} ^ { nu}. }

Je třeba si uvědomit, že se liší od pravidla transformace pro $y μ$ , které jsou nyní považovány za (pevné) základní vektory. Označení 4-tice $(y μ) = (y 0, y 1, y 2, y 3)$ jako 4-vektor, který se někdy v literatuře vyskytuje, je tedy mírné nesprávné pojmenování. Druhá transformace odpovídá aktivní transformaci složek lomené veličiny z hlediska základny $y μ$ a první k pasivní transformaci základny $y μ$ sám.

Elementy $σ μν = y μ y ν - y ν y μ$ tvoří reprezentaci Lež algebra skupiny Lorentz. Toto je reprezentace rotace. Když jsou tyto matice a jejich lineární kombinace umocněny, jedná se o bispinorové reprezentace Lorentzovy skupiny, např. $S (Λ)$ výše jsou této formy. 6-dimenzionální prostor $σ μν$ span je reprezentační prostor tenzorové reprezentace skupiny Lorentz. Pro prvky vyššího řádu Cliffordovy algebry obecně a jejich pravidla transformace viz článek Diracova algebra. Reprezentace rotace skupiny Lorentz je zakódována do spinová skupina Roztočit(1, 3) (pro skutečné, nenabité rotory) a ve skupině komplexovaných spinů Spin (1, 3) pro nabité (Dirac) rotory.

Vyjádření Diracova rovnice

v přirozené jednotky, Diracova rovnice může být napsána jako

{ displaystyle (i gamma ^ { mu} částečný _ { mu} -m) psi = 0}

kde ${ displaystyle psi}$ je Diracův spinor.

Přepínání na Feynmanova notace, Diracova rovnice je

{ displaystyle (i { částečné ! ! ! /} - m) psi = 0.}

Pátá „gama“ matice, `y`⁵

Je užitečné definovat produkt čtyř gama matic jako ${ displaystyle gamma ^ {5} = sigma _ {1} často I}$ , aby

{ displaystyle gamma ^ {5}: = i gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 end {pmatrix}}}

(na základě Diraca).

Ačkoli ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ používá písmeno gama, není to jedno z the gama matice Cℓ_1,3(R). Číslo 5 je pozůstatkem staré notace, ve které ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ byl zavolán " ${ displaystyle gamma ^ {4}}$ ".

${ displaystyle gamma ^ {5}}$ má také alternativní formu:

{ displaystyle gamma ^ {5} = { frac {i} {4!}} varepsilon ^ { mu nu alpha beta} gamma _ { mu} gamma _ { nu} gamma _ { alpha} gamma _ { beta}}

pomocí konvence ${ displaystyle varepsilon _ {0123} = 1}$ nebo

{ displaystyle gamma ^ {5} = - { frac {i} {4!}} varepsilon ^ { mu nu alpha beta} gamma _ { mu} gamma _ { nu} gamma _ { alpha} gamma _ { beta}}

pomocí konvence ${ displaystyle varepsilon ^ {0123} = 1}$ .

Důkaz

To lze vidět na základě využití skutečnosti, že všechny čtyři matice gama jsou protiprůměrné, takže

{ displaystyle gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} = gamma ^ {[0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3]} = { frac {1} {4!}} Delta _ { mu nu varrho sigma} ^ {0123} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { varrho} gamma ^ { sigma}}

,

kde ${ displaystyle delta _ { mu nu varrho sigma} ^ { alfa beta gama delta}}$ je typ (4,4) zobecněná delta Kronecker ve 4 rozměrech, v plném rozsahu antisymetrizace. Li ${ displaystyle varepsilon _ { alfa tečky beta}}$ označuje Symbol Levi-Civita v n dimenzí, můžeme použít identitu ${ displaystyle delta _ { mu nu varrho sigma} ^ { alpha beta gamma delta} = varepsilon ^ { alpha beta gamma delta} varepsilon _ { mu nu varrho sigma}}$ .Potom dostaneme pomocí konvence ${ displaystyle varepsilon ^ {0123} = 1}$ ,

{ displaystyle gamma ^ {5} = i gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} = { frac {i} {4!}} varepsilon ^ {0123} varepsilon _ { mu nu varrho sigma} , gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { varrho} gamma ^ { sigma} = { frac {i} {4!}} varepsilon _ { mu nu varrho sigma} , gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { varrho} gamma ^ { sigma } = - { frac {i} {4!}} varepsilon ^ { mu nu varrho sigma} , gamma _ { mu} gamma _ { nu} gamma _ { varrho} gamma _ { sigma}}

Tato matice je užitečná v diskusích o kvantové mechanice chirality. Například pole Dirac lze promítnout na jeho levou a pravou součást pomocí:

{ displaystyle psi _ { rm {L}} = { frac {1- gamma ^ {5}} {2}} psi, qquad psi _ { rm {R}} = { frac {1+ gamma ^ {5}} {2}} psi}

.

Některé vlastnosti jsou:

Je to poustevník:
${ displaystyle ( gamma ^ {5}) ^ { dagger} = gamma ^ {5}.}$
Jeho vlastní čísla jsou ± 1, protože:
${ displaystyle ( gamma ^ {5}) ^ {2} = I_ {4}.}$
Je anticommutes se čtyřmi gama maticemi:
${ displaystyle left { gamma ^ {5}, gamma ^ { mu} right } = gamma ^ {5} gamma ^ { mu} + gamma ^ { mu} gamma ^ {5} = 0.}$

Ve skutečnosti, ${ displaystyle psi _ { rm {L}}}$ a ${ displaystyle psi _ { rm {R}}}$ jsou vlastní vektory ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ od té doby

{ displaystyle gamma ^ {5} psi _ { rm {L}} = { frac { gamma ^ {5} - ( gamma ^ {5}) ^ {2}} {2}} psi = - psi _ { rm {L}}}

, a

{ displaystyle gamma ^ {5} psi _ { rm {R}} = { frac { gamma ^ {5} + ( gamma ^ {5}) ^ {2}} {2}} psi = psi _ { rm {R}}.}

Pět dimenzí

The Cliffordova algebra ve zvláštních rozměrech se chová jako dva kopie Cliffordovy algebry o jednu menší dimenzi, levá kopie a pravá kopie.^[1] Lze tedy použít trochu triku k opětovnému použití $i y 5$ jako jeden z generátorů Cliffordovy algebry v pěti dimenzích. V tomto případě sada ${y 0, y 1, y 2, y 3, iγ 5}$ tedy podle posledních dvou vlastností (mějte na paměti, že $i 2 = -1$ ) a ti ze starých gammat, tvoří základ Cliffordovy algebry v $5$ rozměry časoprostoru pro metrický podpis $(1,4)$ .^[2] V metrickém podpisu $(4,1)$ , sada ${y 0, y 1, y 2, y 3, y 5}$ se používá, kde $y μ$ jsou vhodné pro $(3,1)$ podpis.^[3] Tento vzor se opakuje pro dimenzi časoprostoru $2 n$ sudá a další lichá dimenze $2 n + 1$ pro všechny $n \geq 1$ .^[4] Další podrobnosti viz Vyšší dimenze gama matic.

Totožnosti

Následující identity vyplývají ze základního vztahu anticommutation, takže platí v jakémkoli základě (ačkoli poslední závisí na volbě znaménka pro ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ ).

Různé identity

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma _ { mu} = 4I_ {4}}

Důkaz

Vezměte standardní anticommutační vztah:

{ displaystyle left { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right } = gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} = 2 eta ^ { mu nu} I_ {4}.}

Dá se udělat, aby tato situace vypadala podobně pomocí metriky ${ displaystyle eta}$ :

${ displaystyle { begin {aligned} & gamma ^ { mu} gamma _ { mu} = {} & gamma ^ { mu} eta _ { mu nu} gamma ^ { nu} = eta _ { mu nu} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} end {zarovnáno}}}$
${ displaystyle = { frac {1} {2}} vlevo ( eta _ { mu nu} + eta _ { nu mu} vpravo) gamma ^ { mu} gamma ^ { nu}}$	( ${ displaystyle eta}$ symetrický)
${ displaystyle = { frac {1} {2}} vlevo ( eta _ { mu nu} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + eta _ { nu mu} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} vpravo)}$	(rozšiřující se)
${ displaystyle = { frac {1} {2}} vlevo ( eta _ { mu nu} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + eta _ { mu nu} gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} vpravo)}$	(výraz rebrandingu vpravo)
${ displaystyle = { frac {1} {2}} eta _ { mu nu} vlevo { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} vpravo }}$
${ displaystyle = { frac {1} {2}} eta _ { mu nu} left (2 eta ^ { mu nu} I_ {4} right) = eta _ { mu nu} eta ^ { mu nu} I_ {4} = 4I_ {4}.}$

${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma _ { mu} = - 2 gamma ^ { nu}}$
Důkaz
Podobně jako důkaz 1, opět počínaje standardní komutační relací:
${ displaystyle { begin {zarovnáno} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma _ { mu} & = gamma ^ { mu} vlevo (2 eta _ { mu} ^ { nu} I_ {4} - gamma _ { mu} gamma ^ { nu} right) & = 2 gamma ^ { mu} eta _ { mu} ^ { nu } - gamma ^ { mu} gamma _ { mu} gamma ^ { nu} & = 2 gamma ^ { nu} -4 gamma ^ { nu} = - 2 gamma ^ { nu}. end {zarovnáno}}}$

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu} = 4 eta ^ { nu rho} I_ {4}}

Důkaz

Ukázat

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu} = 4 eta ^ { nu rho} I_ {4}.}

Použijte anticommutator k řazení ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ doprava

${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu}}$	${ displaystyle = left { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right } gamma ^ { rho} gamma _ { mu} - gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu}}$
	${ displaystyle = 2 eta ^ { mu nu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu} - gamma ^ { nu} vlevo { gamma ^ { mu}, gamma ^ { rho} right } gamma _ { mu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { mu} gamma _ { mu}.}$

Použití relace ${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma _ { mu} = 4I}$ můžeme uzavřít poslední dvě gama a získat

${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu}}$	${ displaystyle = 2 gamma ^ { rho} gamma ^ { nu} - gamma ^ { nu} 2 eta ^ { mu rho} gamma _ { mu} +4 gamma ^ { nu} gamma ^ { rho}}$
	${ displaystyle = 2 gamma ^ { rho} gamma ^ { nu} -2 gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} +4 gamma ^ { nu} gamma ^ { rho }}$
	${ displaystyle = 2 left ( gamma ^ { rho} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} vpravo)}$
	${ displaystyle = 2 left { gamma ^ { nu}, gamma ^ { rho} right }.}$

Nakonec použijeme identitu anticommutator, dostaneme

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma _ { mu} = 4 eta ^ { nu rho} I_ {4}.}

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma _ { mu} = - 2 gamma ^ { sigma} gamma ^ { rho} gamma ^ { nu}}

Důkaz

${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma _ { mu}}$	${ displaystyle = (2 eta ^ { mu nu} - gamma ^ { nu} gamma ^ { mu}) gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma _ { mu} ,}$ (identita anticommutator)
	${ displaystyle = 2 eta ^ { mu nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma _ { mu} -4 gamma ^ { nu} eta ^ { rho sigma} ,}$ (pomocí identity 3)
	${ displaystyle = 2 gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma ^ { nu} -4 gamma ^ { nu} eta ^ { rho sigma}}$ (zvedání indexu)
	${ displaystyle = 2 left (2 eta ^ { rho sigma} - gamma ^ { sigma} gamma ^ { rho} right) gamma ^ { nu} -4 gamma ^ { nu} eta ^ { rho sigma}}$ (identita anticommutator)
	${ displaystyle = -2 gamma ^ { sigma} gamma ^ { rho} gamma ^ { nu}}$ (2 podmínky zrušit)

${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} = eta ^ { mu nu} gamma ^ { rho} + eta ^ { nu rho } gamma ^ { mu} - eta ^ { mu rho} gamma ^ { nu} -i epsilon ^ { sigma mu nu rho} gamma _ { sigma} gamma ^ {5}}$
Důkaz
Li ${ displaystyle mu = nu = rho}$ pak ${ displaystyle epsilon ^ { sigma mu nu rho} = 0}$ a je snadné ověřit totožnost. To je případ, kdy ${ displaystyle mu = nu neq rho}$ , ${ displaystyle mu = rho neq nu}$ nebo ${ displaystyle nu = rho neq mu}$ .
Na druhou stranu, pokud jsou všechny tři indexy odlišné, ${ displaystyle eta ^ { mu nu} = 0}$ , ${ displaystyle eta ^ { mu rho} = 0}$ a ${ displaystyle eta ^ { nu rho} = 0}$ a obě strany jsou zcela antisymetrické; levá strana kvůli antikomutativitě ${ displaystyle gamma}$ matice a na pravé straně kvůli antisymetrii ${ displaystyle epsilon _ { sigma mu nu rho}}$ . Postačí tedy ověřit totožnost pro případy ${ displaystyle gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2}}$ , ${ displaystyle gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {3}}$ , ${ displaystyle gamma ^ {0} gamma ^ {2} gamma ^ {3}}$ a ${ displaystyle gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3}}$ .
${ displaystyle { begin {aligned} -i epsilon ^ { sigma 012} gamma _ { sigma} gamma ^ {5} & = - i epsilon ^ {3012} left (- gamma ^ { 3} right) left (i gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} right) = - epsilon ^ {3012} gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} = epsilon ^ {0123} gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} - i epsilon ^ { sigma 013} gamma _ { sigma} gamma ^ {5} & = - i epsilon ^ {2013} left (- gamma ^ {2} right) left (i gamma ^ {0} gamma ^ {1 } gamma ^ {2} gamma ^ {3} right) = epsilon ^ {2013} gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {3} = epsilon ^ {0123} gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {3} - i epsilon ^ { sigma 023} gamma _ { sigma} gamma ^ {5} & = - i epsilon ^ {1023 } left (- gamma ^ {1} right) left (i gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} right) = - epsilon ^ {1023} gamma ^ {0} gamma ^ {2} gamma ^ {3} = epsilon ^ {0123} gamma ^ {0} gamma ^ {2} gamma ^ {3} - i epsilon ^ { sigma 123} gamma _ { sigma} gamma ^ {5} & = - i epsilon ^ {0123} left ( gamma ^ {0} right) left (i gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} right) = epsilon ^ {0123} gamma ^ {1} gamma ^ {2} ga mma ^ {3} end {zarovnáno}}}$
${ displaystyle gamma ^ {5} gamma ^ { nu rho} = { frac {i} {2}} epsilon ^ { sigma mu nu rho} gamma _ { sigma mu }}$

Stopové identity

Gama matice se řídí následujícím stopové identity:

${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} right) = 0}$
Trasování jakéhokoli produktu lichého počtu ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ je nula
Stopa ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ krát produkt lichého počtu ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ je stále nula
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} right) = 4 eta ^ { mu nu}}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} right) = 4 left ( eta ^ { mu nu} eta ^ { rho sigma} - eta ^ { mu rho} eta ^ { nu sigma} + eta ^ { mu sigma} eta ^ { nu rho} vpravo)}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} right) = operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ {5} vpravo) = 0}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma ^ {5} vpravo) = - 4i epsilon ^ { mu nu rho sigma}}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu _ {1}} dots gamma ^ { mu _ {n}} right) = operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu _ {n}} dots gamma ^ { mu _ {1}} vpravo)}$

Prokázání výše uvedeného zahrnuje použití tří hlavních vlastností stopa operátor:

tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
tr (rA) = r tr (A)
tr (ABC) = tr (KABINA) = tr (BCA)

Důkaz 0

Z definice gama matic,

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} = 2 eta ^ { mu nu} I}

Dostaneme

{ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { mu} = eta ^ { mu mu} já}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle { frac { gamma ^ { mu} gamma ^ { mu}} { eta ^ { mu mu}}} = I}

kde ${ displaystyle eta ^ { mu mu}}$ je číslo a ${ displaystyle gamma ^ { mu} gamma ^ { mu}}$ je matice.

{ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { nu}) = { frac {1} { eta ^ { mu mu}}} operatorname {tr} ( gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} gamma ^ { mu})}

(vložení identity a použití tr (rA) = r tr (A))

{ displaystyle = - { frac {1} { eta ^ { mu mu}}} operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} )}

(z anti-komutačního vztahu a vzhledem k tomu, že si můžeme vybrat

{ displaystyle mu neq nu}

)

{ displaystyle = - { frac {1} { eta ^ { mu mu}}} operatorname {tr} ( gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} gamma ^ { mu} )}

(pomocí tr (ABC) = tr (BCA))

{ displaystyle = - operatorname {tr} ( gamma ^ { nu})}

(odstranění identity)

Z toho vyplývá ${ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { nu}) = 0}$

Důkaz o 1

Ukázat

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathrm {odd num of } gamma) = 0}

Nejprve si to povšimněte

{ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu}) = 0.}

Použijeme také dvě skutečnosti o páté gama matici ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ to říká:

{ displaystyle left ( gamma ^ {5} right) ^ {2} = I_ {4}, quad mathrm {a} quad gamma ^ { mu} gamma ^ {5} = - gamma ^ {5} gamma ^ { mu}}

Pojďme tedy použít tato dvě fakta k prokázání této identity pro první netriviální případ: stopu tří gama matic. Prvním krokem je vložení jednoho páru ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ je před třemi originály ${ displaystyle gamma}$ a druhým krokem je výměna ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ matice zpět do původní polohy, po využití cykličnosti stopy.

${ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho})}$	${ displaystyle = operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} gamma ^ {5} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} vpravo)}$
	${ displaystyle = - operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ {5} vpravo)}$
	${ displaystyle = - operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} gamma ^ {5} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} vpravo)}$ (pomocí tr (ABC) = tr (BCA))
	${ displaystyle = - operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} right)}$

To lze splnit, pouze pokud

{ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} right) = 0}

Rozšíření na 2n + 1 (n celé číslo) gama matic, se nalézá umístěním dvou gama-5s za (řekněme) 2. gama matici ve stopě, dojížděním jedné doprava (dávající znaménko mínus) a dojížděním další gamma-5 2n vystoupí doleva [se změnou znaménka (-1) ^ 2n = 1]. Potom použijeme cyklickou identitu, abychom dostali dvě gama-5 dohromady, a proto se čtvercově shodují, takže nám zanechává stopu rovnou mínus sám, tj. 0.

Důkaz o 2

Pokud se ve stopě objeví lichý počet matic gama, za kterým následuje ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ , naším cílem je pohnout se ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ z pravé strany doleva. To ponechá stopu neměnnou cyklickou vlastností. Abychom tento krok mohli provést, musíme jej zrušit se všemi ostatními gama maticemi. To znamená, že to anticommute lichým počtem opakování a vyzvednout znaménko minus. Stopa rovná negativu sama o sobě musí být nula.

Důkaz o 3

Ukázat

{ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu}) = 4 eta ^ { mu nu}}

Začít s,

${ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu})}$	${ displaystyle = { frac {1} {2}} left ( operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu}) + operatorname {tr} ( gamma ^ { nu} gamma ^ { mu}) vpravo)}$
	${ displaystyle = { frac {1} {2}} operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { mu}) = { frac {1} {2}} operatorname {tr} left ( left { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right } right)}$
	${ displaystyle = { frac {1} {2}} 2 eta ^ { mu nu} operatorname {tr} (I_ {4}) = 4 eta ^ { mu nu}}$

Důkaz 4

${ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma})}$	${ displaystyle = operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} (2 eta ^ { rho sigma} - gamma ^ { sigma} gamma ^ { rho}) right)}$
	${ displaystyle = 2 eta ^ { rho sigma} operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} right) - operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { sigma} gamma ^ { rho} vpravo) quad quad (1)}$

U výrazu vpravo budeme pokračovat ve vzoru záměny ${ displaystyle gamma ^ { sigma}}$ se sousedem nalevo,

${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { sigma} gamma ^ { rho} right)}$	${ displaystyle = operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} (2 eta ^ { nu sigma} - gamma ^ { sigma} gamma ^ { nu}) gamma ^ { rho} vpravo)}$
	${ displaystyle = 2 eta ^ { nu sigma} operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { rho} right) - operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { sigma} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} vpravo) quad quad (2)}$

Opět platí, že pro termín na pravé straně swap ${ displaystyle gamma ^ { sigma}}$ se sousedem nalevo,

${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { sigma} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} right)}$	${ displaystyle = operatorname {tr} left ((2 eta ^ { mu sigma} - gamma ^ { sigma} gamma ^ { mu}) gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} vpravo)}$
	${ displaystyle = 2 eta ^ { mu sigma} operatorname {tr} left ( gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} right) - operatorname {tr} left ( gamma ^ { sigma} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} vpravo) quad quad (3)}$

Eq (3) je výraz napravo od eq (2) a eq (2) je výraz napravo od eq (1). Pro zjednodušení termínů také použijeme identifikační číslo 3:

{ displaystyle 2 eta ^ { rho sigma} operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} right) = 2 eta ^ { rho sigma} ( 4 eta ^ { mu nu}) = 8 eta ^ { rho sigma} eta ^ { mu nu}.}

Takže nakonec Eq (1), když připojíte všechny tyto informace, dává

{ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma}) = 8 eta ^ { rho sigma} eta ^ { mu nu} -8 eta ^ { nu sigma} eta ^ { mu rho} +8 eta ^ { mu sigma} eta ^ { nu rho}}

{ displaystyle - operatorname {tr} left ( gamma ^ { sigma} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} right) quad quad quad quad quad quad (4)}

Výrazy uvnitř stopy lze cyklovat, takže

{ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { sigma} gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} right) = operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma}).}

Takže opravdu (4) je

{ displaystyle 2 operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma}) = 8 eta ^ { rho sigma } eta ^ { mu nu} -8 eta ^ { nu sigma} eta ^ { mu rho} +8 eta ^ { mu sigma} eta ^ { nu rho} }

nebo

{ displaystyle operatorname {tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma}) = 4 left ( eta ^ { rho sigma} eta ^ { mu nu} - eta ^ { nu sigma} eta ^ { mu rho} + eta ^ { mu sigma} eta ^ { nu rho} že jo)}

Důkaz 5

Ukázat

{ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} right) = 0}

,

začít s

${ displaystyle operatorname {tr} doleva ( gamma ^ {5} doprava)}$	${ displaystyle = operatorname {tr} vlevo ( gamma ^ {0} gamma ^ {0} gamma ^ {5} vpravo)}$	(protože ${ displaystyle gamma ^ {0} gamma ^ {0} = I_ {4}}$ )
	${ displaystyle = - operatorname {tr} left ( gamma ^ {0} gamma ^ {5} gamma ^ {0} right)}$	(proti dojíždění ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ s ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ )
	${ displaystyle = - operatorname {tr} vlevo ( gamma ^ {0} gamma ^ {0} gamma ^ {5} vpravo)}$	(otáčet termíny ve stopě)
	${ displaystyle = - operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} right)}$	(odstranit ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ 's)

Přidat ${ displaystyle operatorname {tr} doleva ( gamma ^ {5} doprava)}$ na obě strany výše vidět

{ displaystyle 2 operatorname {tr} left ( gamma ^ {5} right) = 0}

.

Tento vzor lze nyní také použít k zobrazení

{ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ {5} right) = 0}

.

Jednoduše přidejte dva faktory ${ displaystyle gamma ^ { alpha}}$ , s ${ displaystyle alpha}$ odlišný od ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ . Anticommute třikrát místo jednou, vyzvednout tři znaménka mínus a cyklovat pomocí cyklické vlastnosti stopy.

Tak,

{ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ {5} right) = 0}

.

Důkaz 6

U dokladu totožnosti 6 stále funguje stejný trik, pokud ${ displaystyle left ( mu nu rho sigma right)}$ je nějaká permutace (0123), takže se objeví všechny 4 gamma. Pravidla anticommutation naznačují, že záměna dvou indexů změní znaménko stopy, takže ${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} gamma ^ { rho} gamma ^ { sigma} gamma ^ {5} vpravo)}$ musí být úměrné ${ displaystyle epsilon ^ { mu nu rho sigma}}$ ${ displaystyle left ( epsilon ^ {0123} = eta ^ {0 mu} eta ^ {1 nu} eta ^ {2 rho} eta ^ {3 sigma} epsilon _ { mu nu rho sigma} = eta ^ {00} eta ^ {11} eta ^ {22} eta ^ {33} epsilon _ {0123} = - 1 vpravo)}$ . Konstanta proporcionality je ${ displaystyle 4i}$ , jak lze zkontrolovat připojením ${ displaystyle ( mu nu rho sigma) = (0123)}$ , odepisování ${ displaystyle gamma ^ {5}}$ a pamatujeme si, že stopa identity je 4.

Důkaz 7

Označte produkt ${ displaystyle n}$ gama matice podle ${ displaystyle Gamma = gamma ^ { mu 1} gamma ^ { mu 2} tečky gamma ^ { mu n}.}$ Zvažte hermitovský konjugát ${ displaystyle Gamma}$ :

${ displaystyle Gamma ^ { dagger}}$	${ displaystyle = gamma ^ { mu n dagger} tečky gamma ^ { mu 2 dagger} gamma ^ { mu 1 dagger}}$
	${ displaystyle = gamma ^ {0} gamma ^ { mu n} gamma ^ {0} tečky gamma ^ {0} gamma ^ { mu 2} gamma ^ {0} gamma ^ { 0} gamma ^ { mu 1} gamma ^ {0}}$	(od konjugace gama matice s ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ produkuje svůj hermitovský konjugát, jak je popsáno níže)
	${ displaystyle = gamma ^ {0} gamma ^ { mu n} tečky gamma ^ { mu 2} gamma ^ { mu 1} gamma ^ {0}}$	(Všechno ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ s kromě prvního a posledního vypadnutí)

Konjugace s ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ ještě jednou se jich zbavit ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ Vidíme to ${ displaystyle gamma ^ {0} Gamma ^ { dagger} gamma ^ {0}}$ je naopak ${ displaystyle Gamma}$ . Nyní,

${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma ^ {0} Gamma ^ { dagger} gamma ^ {0} right)}$	${ displaystyle = operatorname {tr} left ( Gamma ^ { dagger} right)}$	(protože trasování je neměnné při transformacích podobnosti)
	${ displaystyle = operatorname {tr} doleva ( Gamma ^ {*} doprava)}$	(protože trasování je při transpozici neměnné)
	${ displaystyle = operatorname {tr} left ( Gamma right)}$	(protože stopa produktu gama matic je skutečná)

Normalizace

Gama matice mohou být zvoleny za podmínek extra hermiticity, které jsou však omezeny výše uvedenými anticommutačními vztahy. Můžeme uložit

{ displaystyle left ( gamma ^ {0} right) ^ { dagger} = gamma ^ {0}}

, kompatibilní s

{ displaystyle left ( gamma ^ {0} right) ^ {2} = I_ {4}}

a pro ostatní gama matice (pro k = 1, 2, 3)

{ displaystyle left ( gamma ^ {k} right) ^ { dagger} = - gamma ^ {k}}

, kompatibilní s

{ displaystyle left ( gamma ^ {k} right) ^ {2} = - I_ {4}.}

Jeden okamžitě zkontroluje, zda tyto vztahy hermiticity platí pro Diracovu reprezentaci.

Výše uvedené podmínky lze ve vztahu kombinovat

{ displaystyle left ( gamma ^ { mu} right) ^ { dagger} = gamma ^ {0} gamma ^ { mu} gamma ^ {0}.}

Podmínky hermiticity nejsou neměnné podle akce ${ displaystyle gamma ^ { mu} na S ( Lambda) gamma ^ { mu} {S ( Lambda)} ^ {- 1}}$ Lorentzovy transformace ${ displaystyle Lambda}$ protože ${ displaystyle S ( Lambda)}$ není nutně jednotná transformace kvůli nekompaktnosti skupiny Lorentz.

Konjugace náboje

The konjugace náboje operátor může být na jakémkoli základě definován jako

{ displaystyle C gamma _ { mu} C ^ {- 1} = - ( gamma _ { mu}) ^ {T}}

kde ${ displaystyle ( cdot) ^ {T}}$ označuje maticová transpozice. Explicitní forma ${ displaystyle C}$ záběry závisí na konkrétní reprezentaci zvolené pro gama matice. Je to proto, že ačkoli je konjugace náboje automorfismus z gama skupina, to je ne an vnitřní automorfismus (skupiny). Konjugační matice lze nalézt, ale jsou závislé na reprezentaci.

Identity nezávislé na zastoupení zahrnují:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} C gamma _ {5} C ^ {- 1} & = + ( gamma _ {5}) ^ {T} C sigma _ { mu nu} C ^ {- 1} & = - ( sigma _ { mu nu}) ^ {T} C gamma _ {5} gamma _ { mu} C ^ {- 1} & = + ( gamma _ {5} gamma _ { mu}) ^ {T} end {zarovnáno}}}

Navíc pro všechny čtyři níže uvedené reprezentace (Dirac, Majorana a obě chirální varianty) má jedna

{ displaystyle C ^ {- 1} = C ^ { dagger} = C ^ {T} = - C.}

Feynman lomítko notace používané v kvantové teorii pole

The Feynman lomítko notace je definováno

{ displaystyle {a ! ! ! /}: = gamma ^ { mu} a _ { mu}}

pro jakýkoli 4-vektor $A$ .

Zde jsou některé podobné identity jako výše, ale zahrnující lomítko:

${ displaystyle {a ! ! ! /} {b ! ! ! /} = a cdot b-ia _ { mu} sigma ^ { mu nu} b _ { nu}}$
${ displaystyle {a ! ! ! /} {a ! ! ! /} = a ^ { mu} a ^ { nu} gamma _ { mu} gamma _ { nu} = { frac {1} {2}} a ^ { mu} a ^ { nu} left ( gamma _ { mu} gamma _ { nu} + gamma _ { nu} gamma _ { mu} right) = eta _ { mu nu} a ^ { mu} a ^ { nu} = a ^ {2}}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ({a ! ! ! /} {b ! ! ! /} right) = 4 (a cdot b)}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ({a ! ! ! /} {b ! ! ! /} {c ! ! ! /} {d ! ! ! / } right) = 4 left [(a cdot b) (c cdot d) - (a cdot c) (b cdot d) + (a cdot d) (b cdot c) right] }$
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma _ {5} {a ! ! ! /} {b ! ! ! /} right) = 0}$
${ displaystyle operatorname {tr} left ( gamma _ {5} {a ! ! ! /} {b ! ! ! /} {c ! ! ! /} {d ! ! ! /} right) = - 4i epsilon _ { mu nu rho sigma} a ^ { mu} b ^ { nu} c ^ { rho} d ^ { sigma} }$
${ displaystyle gamma _ { mu} {a ! ! ! /} gamma ^ { mu} = - 2 {a ! ! ! /}}$
${displaystyle gamma _{mu }{a!!!/}{b!!!/}gamma ^{mu }=4(acdot b)}$
${displaystyle gamma _{mu }{a!!!/}{b!!!/}{c!!!/}gamma ^{mu }=-2{c!!!/}{b!!!/}{a!!!/}}$
kde ${displaystyle epsilon _{mu u ho sigma }}$ je Symbol Levi-Civita a ${displaystyle sigma ^{mu u }={frac {i}{2}}left[gamma ^{mu },gamma ^{ u } ight].}$ Actually traces of products of odd number of ${ displaystyle gamma}$ is zero and thus
${displaystyle operatorname {tr} left({a!!!/} ight)=operatorname {tr} left({a!!!/}{b!!!/}{c!!!/} ight)=operatorname {tr} left({a!!!/}{b!!!/}{c!!!/}{d!!!/}{e!!!/} ight)=0}$ ^[5]

Other representations

The matrices are also sometimes written using the 2×2 matice identity, ${ displaystyle I_ {2}}$ , a

{displaystyle gamma ^{k}={egin{pmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}}}

kde k runs from 1 to 3 and the σ^k jsou Pauliho matice.

Dirac basis

The gamma matrices we have written so far are appropriate for acting on Dirac spinors napsáno v Dirac basis; in fact, the Dirac basis is defined by these matrices. To summarize, in the Dirac basis:

{displaystyle gamma ^{0}={egin{pmatrix}I_{2}&0�&-I_{2}end{pmatrix}},quad gamma ^{k}={egin{pmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{5}={egin{pmatrix}0&I_{2}I_{2}&0end{pmatrix}}.}

In the Dirac basis, the charge conjugation operator is^[6]

{displaystyle C=igamma ^{2}gamma ^{0}={egin{pmatrix}0&-isigma ^{2}-isigma ^{2}&0end{pmatrix}}.}

Weyl (chiral) basis

Another common choice is the Weyl nebo chiral basis, ve kterém ${displaystyle gamma ^{k}}$ remains the same but ${displaystyle gamma ^{0}}$ is different, and so ${displaystyle gamma ^{5}}$ is also different, and diagonal,

{displaystyle gamma ^{0}={egin{pmatrix}0&I_{2}I_{2}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{k}={egin{pmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{5}={egin{pmatrix}-I_{2}&0�&I_{2}end{pmatrix}},}

or in more compact notation:

{displaystyle gamma ^{mu }={egin{pmatrix}0&sigma ^{mu }{ar {sigma }}^{mu }&0end{pmatrix}},quad sigma ^{mu }equiv (1,sigma ^{i}),quad {ar {sigma }}^{mu }equiv (1,-sigma ^{i}).}

The Weyl basis has the advantage that its chiral projections take a simple form,

{displaystyle psi _{ m {L}}={frac {1}{2}}left(1-gamma ^{5} ight)psi ={egin{pmatrix}I_{2}&0�&0end{pmatrix}}psi ,quad psi _{ m {R}}={frac {1}{2}}left(1+gamma ^{5} ight)psi ={egin{pmatrix}0&0�&I_{2}end{pmatrix}}psi .}

The idempotence of the chiral projections is manifest.By slightly abusing the notation and reusing the symbols ${displaystyle psi _{ m {L/R}}}$ we can then identify

{displaystyle psi ={egin{pmatrix}psi _{ m {L}}psi _{ m {R}}end{pmatrix}},}

kam teď ${displaystyle psi _{ m {L}}}$ a ${displaystyle psi _{ m {R}}}$ are left-handed and right-handed two-component Weyl spinors.

The charge conjugation operator in this basis is

{displaystyle C={egin{pmatrix}isigma ^{2}&0�&-isigma ^{2}end{pmatrix}}}

The Dirac basis can be obtained from the Weyl basis as

{displaystyle gamma _{ m {W}}^{mu }=Ugamma _{ m {D}}^{mu }U^{dagger },quad psi _{ m {W}}=Upsi _{ m {D}}}

via the unitary transform

{displaystyle U={frac {1}{sqrt {2}}}left(1+gamma ^{5}gamma ^{0} ight)={frac {1}{sqrt {2,}}}{egin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}I_{2}&I_{2}end{pmatrix}}.}

Weyl (chiral) basis (alternate form)

Another possible choice^[6]^[7] of the Weyl basis has

{ displaystyle gamma ^ {0} = { begin {pmatrix} 0 & -I_ {2} - I_ {2} & 0 end {pmatrix}}, quad gamma ^ {k} = { begin { pmatrix} 0 & sigma ^ {k} - sigma ^ {k} & 0 end {pmatrix}}, quad gamma ^ {5} = { begin {pmatrix} I_ {2} & 0 0 & - I_ {2} end {pmatrix}}.}

The chirální projekce mít trochu jinou formu než druhá Weylova volba,

{ displaystyle psi _ { rm {R}} = { začátek {pmatrix} I_ {2} & 0 0 & 0 end {pmatrix}} psi, quad psi _ { rm {L}} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & I_ {2} end {pmatrix}} psi.}

Jinými slovy,

{ displaystyle psi = { začátek {pmatrix} psi _ { rm {R}} psi _ { rm {L}} konec {pmatrix}},}

kde ${ displaystyle psi _ { rm {L}}}$ a ${ displaystyle psi _ { rm {R}}}$ jsou levou a pravou rukou dvousložkové Weyl spinory, stejně jako dříve.

Operátor konjugace poplatků na tomto základě je

{ displaystyle C = -i sigma ^ {3} otimes sigma ^ {2} = { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2} & 0 0 & i sigma ^ {2} end {pmatrix }}}

Tento základ lze získat z výše uvedeného Diracova základu jako ${ displaystyle gamma _ { rm {W}} ^ { mu} = U gamma _ { rm {D}} ^ { mu} U ^ { dagger}, ~~ psi _ { rm {W}} = U psi _ { rm {D}}}$ prostřednictvím unitární transformace

{ displaystyle U = { frac {1} { sqrt {2}}} vlevo (1- gamma ^ {5} gamma ^ {0} vpravo) = { frac {1} { sqrt { 2 ,}}} { begin {pmatrix} I_ {2} & I_ {2} - I_ {2} & I_ {2} end {pmatrix}}.}

Majoránský základ

K dispozici je také Majorana základ, ve kterém jsou všechny Diracova matice imaginární, a spinory a Diracova rovnice jsou skutečné. Pokud jde o Pauliho matice, základ lze zapsat jako^[6]

{ displaystyle { begin {aligned} gamma ^ {0} & = { begin {pmatrix} 0 & sigma ^ {2} sigma ^ {2} & 0 end {pmatrix}}, & gamma ^ {1} & = { begin {pmatrix} i sigma ^ {3} & 0 0 & i sigma ^ {3} end {pmatrix}}, & gamma ^ {2} & = { begin {pmatrix} 0 & - sigma ^ {2} sigma ^ {2} & 0 end {pmatrix}}, gamma ^ {3} & = { begin {pmatrix} -i sigma ^ {1} & 0 0 & -i sigma ^ {1} end {pmatrix}}, & gamma ^ {5} & = { begin {pmatrix} sigma ^ {2} & 0 0 & - sigma ^ {2} end {pmatrix}}, & C & = { begin {pmatrix} 0 & -i sigma ^ {2} - i sigma ^ {2} & 0 end {pmatrix}}, end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle C}$ je matice konjugace náboje, jak je definována výše.

(Důvodem, proč jsou všechny matice gama imaginární, je pouze získání metriky částicové fyziky (+, −, −, −), ve kterém jsou čtvercové masy pozitivní. Reprezentace Majorana je však skutečná. Jeden může vyčíslit $i$ získat různé zastoupení se čtyřmi složkovými reálnými spinory a skutečnými gama maticemi. Důsledek odstranění ${ displaystyle i}$ je, že jedinou možnou metrikou se skutečnými gama maticemi je (−, +, +, +).)

Základ Majorana lze získat z výše uvedeného Diracova základu jako ${ displaystyle gamma _ { rm {M}} ^ { mu} = U gamma _ { rm {D}} ^ { mu} U ^ { dagger}, ~~ psi _ { rm {M}} = U psi _ { rm {D}}}$ prostřednictvím unitární transformace

{ displaystyle U = U ^ { dagger} = { frac {1} { sqrt {2 ,}}} { begin {pmatrix} I_ {2} & sigma ^ {2} sigma ^ {2} & - I_ {2} end {pmatrix}}.}

Cℓ_1,3(C) a Cℓ_1,3(R)

The Diracova algebra lze považovat za komplexifikace skutečné algebry Cℓ_1,3(R), nazvaný časoprostorová algebra:

{ displaystyle Cl_ {1,3} ( mathbb {C}) = Cl_ {1,3} ( mathbb {R}) otimes mathbb {C}}

Cℓ_1,3(R) se liší od Cℓ_1,3(C): v Cℓ_1,3(R) pouze nemovitý lineární kombinace gama matic a jejich produktů jsou povoleny.

Je třeba poukázat na dvě věci. Tak jako Cliffordské algebry, Cℓ_1,3(C) a Cℓ₄(C) jsou izomorfní, viz klasifikace Cliffordových algeber. Důvodem je, že podkladový podpis metriky časoprostoru ztratí svůj podpis (1,3) při přechodu na komplexifikaci. Transformace nutná k převedení bilineární formy do složité kanonické formy však není Lorentzova transformace, a proto není „přípustná“ (přinejmenším nepraktická), protože veškerá fyzika je pevně spojena s Lorentzovou symetrií a je lepší ji zachovat manifest.

Navrhovatelé geometrická algebra usilovat o práci se skutečnými algebrami, kdekoli je to možné. Tvrdí, že je obecně možné (a obvykle poučné) identifikovat přítomnost imaginární jednotky ve fyzikální rovnici. Takové jednotky vznikají z jedné z mnoha veličin ve skutečné Cliffordově algebře, která se umocňuje na -1, a tyto mají geometrický význam kvůli vlastnostem algebry a interakci jejích různých podprostorů. Někteří z těchto navrhovatelů se také ptají, zda je nutné nebo dokonce užitečné zavést další imaginární jednotku v kontextu Diracova rovnice.^[8]

V matematice Riemannova geometrie, je běžné definovat Cliffordovu algebru Cℓ_{p, q}( $ℝ$ ) pro libovolné rozměry $p, q$ ; anti-komutace Weyl spinors přirozeně vychází z Cliffordovy algebry.^[9] Weylovy rotory se transformují působením spinová skupina ${ displaystyle mathrm {točit} (n)}$ . Složitost spinové skupiny, nazývaná spinc group ${ displaystyle mathrm {točení} ^ { mathbb {C}} (n)}$ , je produkt ${ displaystyle mathrm {Spin} (n) krát _ { mathbb {Z} _ {2}} S ^ {1}}$ rotační skupiny s kruhem ${ displaystyle S ^ {1} cong U (1).}$ Produkt ${ displaystyle times _ { mathbb {Z} _ {2}}}$ jen notační zařízení k identifikaci ${ displaystyle (a, u) in mathrm {Spin} (n) krát S ^ {1}}$ s ${ displaystyle (-a, -u).}$ Geometrickým bodem je to, že odděluje skutečný spinor, který je kovariantní při Lorentzových transformacích, od ${ displaystyle U (1)}$ komponenta, kterou lze identifikovat pomocí ${ displaystyle mathrm {U} (1)}$ vlákno elektromagnetické interakce. The ${ displaystyle times _ { mathbb {Z} _ {2}}}$ je zapletená parita a konjugace náboje způsobem vhodným pro přiřazení Diracových částic / anti-částicových stavů (ekvivalentně chirálních stavů na Weylově bázi). The bispinor, pokud má lineárně nezávislé levé a pravé komponenty, může interagovat s elektromagnetickým polem. To je na rozdíl od Majoranský spinor a spinko ELKO, které nemůže (tj. jsou elektricky neutrální), protože výslovně omezují spinor tak, aby neinteragovali s ${ displaystyle S ^ {1}}$ část vycházející ze složitosti.

Vzhledem k tomu, že prezentace náboje a parity může být v konvenčních učebnicích teorie kvantového pole matoucím tématem, může být objasněna pečlivější disekce těchto témat v obecném geometrickém prostředí. Standardní expozice Cliffordovy algebry konstruují Weylovy spinory z prvních principů; to, že „automaticky“ dojíždějí, je elegantní geometrický vedlejší produkt stavby, zcela obcházející veškeré argumenty, které se odvolávají na Pauliho princip vyloučení (nebo někdy běžný pocit, že Grassmann proměnné byly zavedeny prostřednictvím ad hoc argumentace.)

V současné praxi fyziky je ale stále spíše standardním prostředím Diracova algebra než časoprostorová algebra. rotory Diracova rovnice "žít" v.

Euklidovské matice Dirac

v kvantová teorie pole jeden může Knot se otáčí časová osa, ze které se má projít Minkowského prostor na Euklidovský prostor. To je u některých zvláště užitečné renormalizace postupy stejně jako teorie mřížky. V euklidovském prostoru existují dvě běžně používaná reprezentace Diracových matic:

Chirální reprezentace

{ displaystyle gamma ^ {1,2,3} = { begin {pmatrix} 0 & i sigma ^ {1,2,3} - i sigma ^ {1,2,3} & 0 end {pmatrix }}, quad gamma ^ {4} = { begin {pmatrix} 0 & I_ {2} I_ {2} & 0 end {pmatrix}}}

Všimněte si, že faktory ${ displaystyle i}$ byly vloženy do prostorových gama matic tak, že euklidovská Cliffordova algebra

{ displaystyle left { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right } = 2 delta ^ { mu nu} I_ {4}}

se objeví. Za zmínku stojí také to, že existují varianty, které se místo toho vkládají ${ displaystyle -i}$ na jedné z matic, například v mřížkových QCD kódech, které používají chirální bázi.

V euklidovském prostoru,

{ displaystyle gamma _ { rm {M}} ^ {5} = i doleva ( gamma ^ {0} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} doprava) _ { rm {M}} = { frac {1} {i ^ {2}}} left ( gamma ^ {4} gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} vpravo) _ { rm {E}} = vlevo ( gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3} gamma ^ {4} vpravo) _ { rm {E}} = gamma _ { rm {E}} ^ {5}.}

Používání anti-komutátoru a to v euklidovském prostoru ${ displaystyle left ( gamma ^ { mu} right) ^ { dagger} = gamma ^ { mu}}$ , jeden to ukazuje

{ displaystyle left ( gamma ^ {5} right) ^ { dagger} = gamma ^ {5}}

Na chirálním základě v euklidovském prostoru,

{ displaystyle gamma ^ {5} = { begin {pmatrix} -I_ {2} & 0 0 & I_ {2} end {pmatrix}}}

který se oproti jeho verzi Minkowski nezměnil.

Nerelativistické znázornění

{ displaystyle gamma ^ {1,2,3} = { begin {pmatrix} 0 & -i sigma ^ {1,2,3} i sigma ^ {1,2,3} & 0 end { pmatrix}}, quad gamma ^ {4} = { begin {pmatrix} I_ {2} & 0 0 & -I_ {2} end {pmatrix}}, quad gamma ^ {5} = { začátek {pmatrix} 0 & -I_ {2} - I_ {2} & 0 end {pmatrix}}}

Viz také

Reference

^ Jurgen Jost (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“ Springer Universitext (Viz Dodatek 1.8.1, strana 68)
^ Sada matic $(Γ A) = (y μ, iγ 5)$ s $A = (0, 1, 2, 3, 4)$ uspokojit pětidimenzionální Cliffordovu algebru ${Γ A, Γ B} = 2 η AB$ . Vidět Tong 2007, str. 93.
^ Weinberg 2002 Oddíl 5.5.
^ de Wit & Smith 1996, str. 679.
^ Přednáška od University of Texas v Austinu
^ ^A ^b ^C Claude Itzykson a Jean-Bernard Zuber, (1980) „Teorie kvantového pole“, MacGraw-Hill (Viz příloha A)
^ Michio Kaku, Teorie kvantového pole, ISBN 0-19-509158-2, Příloha A
^ Viz např. Hestenes 1996.
^ Jurgen Jost (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“, Springer Universitext. Viz část 1.8

Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Kvarky a leptony: Úvodní kurz moderní fyziky částic. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
A. Zee, Teorie kvantového pole v kostce (2003), Princeton University Press: Princeton, New Jersey. ISBN 0-691-01019-6. Viz kapitola II.1.
M. Peskin, D. Schroeder, Úvod do teorie kvantového pole (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2 Viz kapitola 3.2.
W. Pauli (1936). „Contribution mathématiques à la théorie des matrices de Dirac“. Annales de l'Institut Henri Poincaré. 6: 109.
Weinberg, S. (2002), Kvantová teorie polí, 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
Tongu, Davide (2007). „Kvantová teorie pole“. David Tong z University of Cambridge. p. 93. Citováno 2015-03-07.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
de Wit, B .; Smith, J. (1986). Teorie pole ve fyzice částic. Osobní knihovna North-Holland. 1. Severní Holandsko. ISBN 978-0444869999.CS1 maint: ref = harv (odkaz)Dodatek E.
David Hestenes, Skutečná Diracova teorie, J. Keller a Z. Oziewicz (ed.), Teorie elektronu„UNAM, Facultad de Estudios Superiores, Cuautitlan, Mexiko (1996), s. 1–50.

externí odkazy

Diracovy matice na mathworld včetně jejich skupinových vlastností
Dirac matice jako abstraktní skupina na GroupNames
"Dirac matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[1] Jurgen Jost (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“ Springer Universitext (Viz Dodatek 1.8.1, strana 68)

[2] Sada matic $(Γ A) = (y μ, iγ 5)$ s $A = (0, 1, 2, 3, 4)$ uspokojit pětidimenzionální Cliffordovu algebru ${Γ A, Γ B} = 2 η AB$ . Vidět Tong 2007, str. 93.

[3] Weinberg 2002 Oddíl 5.5.

[4] Wit & Smith 1996, str. 679.

[5] Přednáška od University of Texas v Austinu

[iz-6] A ^b ^C Claude Itzykson a Jean-Bernard Zuber, (1980) „Teorie kvantového pole“, MacGraw-Hill (Viz příloha A)

[7] Michio Kaku, Teorie kvantového pole, ISBN 0-19-509158-2, Příloha A

[Hestenes1-8] Viz např. Hestenes 1996.

[9] Jurgen Jost (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“, Springer Universitext. Viz část 1.8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Gama matice - Gamma matrices - Wikipedia

Matematická struktura

Fyzická struktura

Vyjádření Diracova rovnice

Pátá „gama“ matice, y5

Pět dimenzí

Totožnosti

Různé identity

Stopové identity

Normalizace

Konjugace náboje

Feynman lomítko notace používané v kvantové teorii pole

Other representations

Dirac basis

Weyl (chiral) basis

Weyl (chiral) basis (alternate form)

Majoránský základ

Cℓ1,3(C) a Cℓ1,3(R)

Euklidovské matice Dirac

Chirální reprezentace

Nerelativistické znázornění

Viz také

Reference

externí odkazy

Pátá „gama“ matice, `y`⁵

Cℓ_1,3(C) a Cℓ_1,3(R)