Alternativní matice - Alternant matrix

v lineární algebra, an alternativní matice je matice vytvořený použitím konečného seznamu funkcí bodově na pevný sloupec vstupů. An alternativní determinant je určující čtvercové alternativní matice.

Obecně, pokud ${displaystyle f_ {1}, f_ {2}, tečky f_ {n}}$ jsou funkce ze sady ${displaystyle X}$ na pole ${displaystyle F}$ , a ${displaystyle {alpha _ {1}, alpha _ {2}, ... alpha _ {m}} v X}$ , pak má alternativní matice velikost ${displaystyle mi im n}$ a je definována

{displaystyle M = {egin {bmatrix} f_ {1} (alfa _ {1}) & f_ {2} (alfa _ {1}) & tečky & f_ {n} (alfa _ {1}) f_ {1} (alfa _ {2}) & f_ {2} (alfa _ {2}) & tečky & f_ {n} (alfa _ {2}) f_ {1} (alfa _ {3}) & f_ {2} (alfa _ {3} ) & dots & f_ {n} (alpha _ {3}) vdots & vdots & ddots & vdots f_ {1} (alpha _ {m}) & f_ {2} (alpha _ {m}) & dots & f_ {n} (alpha _ { m}) end {bmatrix}}}

nebo, kompaktněji, ${displaystyle M_ {ij} = f_ {j} (alfa _ {i})}$ . (Někteří autoři používají přemístit výše uvedené matice.) Příklady alternativních matic zahrnují Vandermondeovy matice, pro který ${displaystyle f_ {j} (alfa) = alfa ^ {j-1}}$ , a Mooreovy matice, pro který ${displaystyle f_ {j} (alfa) = alfa ^ {q ^ {j-1}}}$ .

Vlastnosti

Alternativu lze použít ke kontrole lineární nezávislost funkcí ${displaystyle f_ {1}, f_ {2}, tečky f_ {n}}$ v funkční prostor. Například nechte ${displaystyle f_ {1} (x) = sin (x), f_ {2} (x) = cos (x)}$ a vybrat ${displaystyle alpha _ {1} = 0, alpha _ {2} = pi / 2}$ . Alternativou je pak matice ${displaystyle {egin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0end {bmatrix}}}$ a alternativní determinant je ${displaystyle -1eq 0}$ . Proto M je invertibilní a vektory ${displaystyle {sin (x), cos (x)}}$ tvoří základ pro jejich sadu prvků: zejména ${displaystyle sin (x)}$ a ${displaystyle cos (x)}$ jsou lineárně nezávislé.

Lineární závislost sloupců alternativy ano ne znamenat, že funkce jsou lineárně závislé ve funkčním prostoru. Například nechte ${displaystyle f_ {1} (x) = sin (x), f_ {2} (x) = cos (x)}$ a vybrat ${displaystyle alpha _ {1} = 0, alpha _ {2} = pi}$ . Pak je alternativou ${displaystyle {egin {bmatrix} 0 & 1 0 & -1end {bmatrix}}}$ a alternativní determinant je 0, ale to jsme již viděli ${displaystyle sin (x)}$ a ${displaystyle cos (x)}$ jsou lineárně nezávislé.

Navzdory tomu lze alternativu použít k nalezení lineární závislosti, pokud je již známo, že existuje. Například víme z teorie dílčí zlomky že existují reálná čísla A a B pro který ${displaystyle {frac {A} {x + 1}} + {frac {B} {x + 2}} = {frac {1} {(x + 1) (x + 2)}}.}$ Výběr ${displaystyle f_ {1} (x) = {frac {1} {x + 1}}, f_ {2} (x) = {frac {1} {x + 2}}, f_ {3} = {frac { 1} {(x + 1) (x + 2)}}}$ a ${displaystyle (alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3}) = (1,2,3)}$ , získáme alternativu ${displaystyle {egin {bmatrix} 1/2 & 1/3 & 1/6 1/3 & 1/4 & 1/12 1/4 & 1/5 & 1 / 20end {bmatrix}} sim {egin {bmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0end {bmatrix} }.}$ Proto ${displaystyle (1, -1, -1)}$ je v prázdný prostor matice: to znamená, ${displaystyle f_ {1} -f_ {2} -f_ {3} = 0}$ . Stěhování ${displaystyle f_ {3}}$ na druhou stranu rovnice dává rozklad parciálních zlomků ${displaystyle A = 1, B = -1}$ .

Li ${displaystyle n = m}$ a ${displaystyle alpha _ {i} = alpha _ {j}}$ pro všechny ${displaystyle ieq j}$ , pak alternativní determinant je nula (opakování řádku).

Li ${displaystyle n = m}$ a funkce ${displaystyle f_ {j} (x)}$ jsou tedy všechny polynomy ${displaystyle (alpha _ {j} -alpha _ {i})}$ rozdělí alternativní determinant pro všechny ${displaystyle 1leq i$ . Zejména pokud PROTI je Vandermondeova matice, pak ${displaystyle prod _ {i$ rozděluje takové polynomiální alternativní determinanty. Poměr ${displaystyle {frac {det M} {det V}}}$ je tedy polynom v ${displaystyle alpha _ {1}, ..., alpha _ {m}}$ volal bialternant. The Schurův polynom ${displaystyle s _ {(lambda _ {1}, tečky, lambda _ {n})}}$ je klasicky definován jako bialternant polynomů ${displaystyle f_ {j} (x) = x ^ {lambda _ {j}}}$ .

Aplikace

Alternativní matice se používají v teorie kódování při stavbě alternativní kódy.

Viz také

Reference

Thomas Muir (1960). Pojednání o teorii determinantů. Dover Publications. str.321 –363.
A. C. Aitken (1956). Determinanty a matice. Oliver and Boyd Ltd. str. 111–123.
Richard P. Stanley (1999). Enumerativní kombinatorika. Cambridge University Press. str.334 –342.