Polynomiální matice - Polynomial matrix

v matematika, a polynomiální matice nebo matice polynomů je matice jejichž prvky jsou jednorozměrné nebo vícerozměrné polynomy. Ekvivalentně je polynomiální matice polynom, jehož koeficienty jsou matice.

Jednorozměrná polynomiální matice P stupně str je definován jako:

{displaystyle P = součet _ {n = 0} ^ {p} A (n) x ^ {n} = A (0) + A (1) x + A (2) x ^ {2} + cdots + A ( p) x ^ {p}}

kde ${displaystyle A (i)}$ označuje matici konstantních koeficientů a ${displaystyle A (p)}$ je nenulová. Příklad polynomiální matice 3 × 3, stupeň 2:

{displaystyle P = {egin {pmatrix} 1 & x ^ {2} & x 0 & 2x & 2 3x + 2 & x ^ {2} -1 & 0end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 2 & -1 & 0end {pmatrix}} + { egin {pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 3 & 0 & 0end {pmatrix}} x + {egin {pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0end {pmatrix}} x ^ {2}.}

Můžeme to vyjádřit tím, že pro a prsten R, prsteny ${displaystyle M_ {n} (R [X])}$ a ${displaystyle (M_ {n} (R)) [X]}$ jsou izomorfní.

Vlastnosti

Polynomiální matice nad a pole s určující se rovná nenulovému prvku tohoto pole unimodulární, a má inverzní to je také polynomiální matice. Všimněte si, že jedinými skalárními unimodulárními polynomy jsou polynomy stupně 0 - nenulové konstanty, protože inverze libovolného polynomu vyššího stupně je racionální funkcí.
Kořeny polynomiální matice nad komplexní čísla jsou body v složité letadlo kde matice ztrácí hodnost.
Determinant maticového polynomu s Hermitian pozitivní-definitivní (semidefinitní) koeficienty je polynom s kladnými (nezápornými) koeficienty.^[1]

Všimněte si, že polynomiální matice jsou ne být zaměňována s monomiální matice, což jsou jednoduše matice s přesně jednou nenulovou položkou v každém řádku a sloupci.

Pokud λ označíme jakýkoli prvek z pole nad kterou jsme sestrojili matici, tím Já matici identity a necháme A být polynomiální maticí, pak maticí λJá − A je charakteristická matice matice A. Jeho determinant, | λJá − A| je charakteristický polynom maticeA.

Reference

^ Friedland, S .; Melman, A. (2020). "Poznámka k hermitovským pozitivním polyideomům semidefinitní matice". Lineární algebra a její aplikace. 598: 105–109. doi:10.1016 / j.laa.2020.03.038.

E.V. Krishnamurthy, bezchybné polynomiální maticové výpočty, Springer Verlag, New York, 1985

Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Friedland, S .; Melman, A. (2020). "Poznámka k hermitovským pozitivním polyideomům semidefinitní matice". Lineární algebra a její aplikace. 598: 105–109. doi:10.1016 / j.laa.2020.03.038.

[1]