Symplektická matice - Symplectic matrix

V matematice, a symplektická matice je ${ displaystyle 2n krát 2n}$ matice ${ displaystyle M}$ s nemovitý položky, které splňují podmínku

{ displaystyle M ^ { text {T}} Omega M = Omega,}

(1)

kde ${ displaystyle M ^ {T}}$ označuje přemístit z ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle Omega}$ je pevná ${ displaystyle 2n krát 2n}$ nesmyslný, šikmo symetrická matice. Tuto definici lze rozšířit na ${ displaystyle 2n krát 2n}$ matice s položkami v jiných pole, tak jako komplexní čísla, konečná pole, p-adic čísla, a funkční pole.

Typicky ${ displaystyle Omega}$ je vybrán jako bloková matice

{ displaystyle Omega = { begin {bmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0 end {bmatrix}},}

kde

{ displaystyle I_ {n}}

je

{ displaystyle n krát n}

matice identity. Matice

{ displaystyle Omega}

má určující

{ displaystyle +1}

a jeho inverzní je

{ displaystyle Omega ^ {- 1} = Omega ^ {T} = - Omega}

.

Vlastnosti

Generátory pro symplektické matice

Každá symplectická matice má determinant ${ displaystyle +1}$ a ${ displaystyle 2n krát 2n}$ symplektické matice se skutečnými zápisy tvoří a podskupina z obecná lineární skupina ${ displaystyle GL (2n; mathbb {R})}$ pod násobení matic protože být symplektikem je vlastnost stabilní při násobení matic. Topologicky, tento symplektická skupina je připojeno nekompaktní skutečná lež skupina skutečné dimenze ${ displaystyle n (2n + 1)}$ a je označen ${ displaystyle Sp (2n; mathbb {R})}$ . Symptomickou skupinu lze definovat jako množinu lineární transformace které zachovávají symplektickou formu skutečného symplektický vektorový prostor.

Tato symplektická skupina má významnou sadu generátorů, které lze použít k vyhledání všech možných symplektických matic. To zahrnuje následující sady

{ displaystyle { begin {aligned} D (n) = & left {{ begin {pmatrix} A & 0 0 & (A ^ {T}) ^ {- 1} end {pmatrix}}: A v { text {GL}} (n; mathbb {R}) right } N (n) = & left {{ begin {pmatrix} I_ {n} & B 0 & I_ {n} end {pmatrix}}: B in { text {Sym}} (n; mathbb {R}) right } end {zarovnáno}}}

kde

{ displaystyle { text {Sym}} (n; mathbb {R})}

je sada

{ displaystyle n krát n}

symetrické matice. Pak,

{ displaystyle Sp (2n; mathbb {R})}

je generován množinou^[1]^{str. 2}

{ displaystyle { Omega } pohár D (n) pohár N ​​(n)}

matic. Jinými slovy, jakoukoli symplektickou matici lze zkonstruovat vynásobením matic v

{ displaystyle D (n)}

a

{ displaystyle N (n)}

společně s určitou mocí

{ displaystyle Omega}

.

Inverzní matice

Každá symplektická matice je invertibilní s inverzní matice dána

{ displaystyle M ^ {- 1} = Omega ^ {- 1} M ^ { text {T}} Omega.}

Kromě toho produkt dvou symplektických matic je opět symplektická matice. To dává množině všech symplektických matic strukturu a skupina. Existuje přirozený potrubí struktura této skupiny, která z ní dělá (skutečnou nebo složitou) Lež skupina volal symplektická skupina.

Určující vlastnosti

Z definice snadno vyplývá, že určující jakékoli symplektické matice je ± 1. Ve skutečnosti se ukazuje, že determinant je vždy +1 pro jakékoli pole. Jedním ze způsobů, jak to vidět, je použití Pfaffian a totožnost

{ displaystyle { mbox {Pf}} (M ^ { text {T}} Omega M) = det (M) { mbox {Pf}} ( Omega).}

Od té doby

{ displaystyle M ^ { text {T}} Omega M = Omega}

a

{ displaystyle { mbox {Pf}} ( Omega) neq 0}

máme to

{ displaystyle det (M) = 1}

.

Když je podkladové pole skutečné nebo složité, lze to také ukázat faktorováním nerovnosti ${ displaystyle det (M ^ { text {T}} M + I) geq 1}$ .^[2]

Bloková forma symplektických matic

Předpokládejme, že Ω je uveden ve standardním tvaru a necháme ${ displaystyle M}$ být ${ displaystyle 2n krát 2n}$ bloková matice dána

{ displaystyle M = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}}}

kde ${ displaystyle A, B, C, D}$ jsou ${ displaystyle n krát n}$ matice. Podmínka pro ${ displaystyle M}$ být symplektický je ekvivalentní dvěma následujícím ekvivalentním podmínkám^[3]

${ displaystyle A ^ { text {T}} C, B ^ { text {T}} D}$ symetrické a ${ displaystyle A ^ { text {T}} D-C ^ { text {T}} B = I}$

${ displaystyle AB ^ { text {T}}, CD ^ { text {T}}}$ symetrické a ${ displaystyle AD ^ { text {T}} - BC ^ { text {T}} = I}$

Když ${ displaystyle n = 1}$ tyto podmínky se redukují na jedinou podmínku ${ displaystyle det (M) = 1}$ . Tak a ${ displaystyle 2 krát 2}$ matice je symplektická iff má jednotku určující.

Inverzní matice blokové matice

S ${ displaystyle Omega}$ ve standardní formě inverzní k ${ displaystyle M}$ darováno

{ displaystyle M ^ {- 1} = Omega ^ {- 1} M ^ { text {T}} Omega = { begin {pmatrix} D ^ { text {T}} & - B ^ { text {T}} - C ^ { text {T}} a A ^ { text {T}} end {pmatrix}}.}

Skupina má rozměr

{ displaystyle n (2n + 1)}

. To lze vidět tím, že si to všimneme

{ displaystyle (M ^ { text {T}} Omega M) ^ { text {T}} = - M ^ { text {T}} Omega M}

je anti-symetrický. Protože prostor anti-symetrických matic má rozměr

{ displaystyle { binom {2n} {2}},}

identita

{ displaystyle M ^ { text {T}} Omega M = Omega}

ukládá

{ displaystyle 2n vyberte 2}

omezení na

{ displaystyle (2n) ^ {2}}

koeficienty

{ displaystyle M}

a odejde

{ displaystyle M}

s

{ displaystyle n (2n + 1)}

nezávislé koeficienty.

Symplektické transformace

V abstraktní formulaci lineární algebra, matice jsou nahrazeny lineární transformace z konečně-dimenzionální vektorové prostory. Abstraktní analog symplektické matice je a symplektická transformace a symplektický vektorový prostor. Stručně řečeno, symlektický vektorový prostor ${ displaystyle (V, omega)}$ je ${ displaystyle 2n}$ -dimenzionální vektorový prostor ${ displaystyle V}$ vybaven a nedegenerovat, šikmo symetrický bilineární forma ${ displaystyle omega}$ volal symlektická forma.

Symptomická transformace je pak lineární transformací ${ displaystyle L: V až V}$ který zachovává ${ displaystyle omega}$ , tj.

{ displaystyle omega (Lu, Lv) = omega (u, v).}

Upevnění a základ pro ${ displaystyle V}$ , ${ displaystyle omega}$ lze zapsat jako matici ${ displaystyle Omega}$ a ${ displaystyle L}$ jako matice ${ displaystyle M}$ . Podmínka, že ${ displaystyle L}$ být symplektická transformace je přesně podmínkou, že M být symplektická matice:

{ displaystyle M ^ { text {T}} Omega M = Omega.}

Pod změna základny, představovaný maticí A, my máme

{ displaystyle Omega mapsto A ^ { text {T}} Omega A}

{ displaystyle M mapsto A ^ {- 1} MA.}

Jeden může vždy přinést ${ displaystyle Omega}$ buď na standardní formulář uvedený v úvodu, nebo na blokovou diagonální formu popsanou níže vhodnou volbou A.

Matice Ω

Symplektické matice jsou definovány relativně k pevné nesmyslný, šikmo symetrická matice ${ displaystyle Omega}$ . Jak je vysvětleno v předchozí části, ${ displaystyle Omega}$ lze považovat za souřadnicovou reprezentaci a nedegenerovat zkosená symetrická bilineární forma. Je to základní výsledek v lineární algebra že jakékoli dvě takové matice se od sebe liší o a změna základny.

Nejběžnější alternativa k normě ${ displaystyle Omega}$ uvedený výše je úhlopříčka bloku formulář

{ displaystyle Omega = { begin {bmatrix} { begin {matrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {matrix}} && 0 & ddots & 0 && { begin {matrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {matrix}} end {bmatrix}}.}

Tato volba se liší od předchozí o a permutace z základní vektory.

Někdy notace ${ displaystyle J}$ se používá místo ${ displaystyle Omega}$ pro symetrickou matici zkosení. Toto je obzvláště nešťastná volba, protože vede k záměně s pojmem a složitá struktura, který má často stejný souřadnicový výraz jako ${ displaystyle Omega}$ ale představuje velmi odlišnou strukturu. Složitá struktura ${ displaystyle J}$ je souřadnicová reprezentace lineární transformace, která je druhá mocnina ${ displaystyle -I_ {n}}$ , zatímco ${ displaystyle Omega}$ je souřadnicová reprezentace nedgenerovaného zkoseného symetrického bilineárního tvaru. Dalo by se snadno vybrat základny, ve kterých ${ displaystyle J}$ není symetrický šikmo nebo ${ displaystyle Omega}$ neodpovídá ${ displaystyle -I_ {n}}$ .

Vzhledem k tomu, poustevnická struktura na vektorovém prostoru, ${ displaystyle J}$ a ${ displaystyle Omega}$ jsou spojeny prostřednictvím

{ displaystyle Omega _ {ab} = - g_ {ac} {J ^ {c}} _ {b}}

kde ${ displaystyle g_ {ac}}$ je metrický. Že ${ displaystyle J}$ a ${ displaystyle Omega}$ obvykle mají stejný výraz souřadnic (až do celkového znaménka) je jednoduše důsledkem skutečnosti, že metrika G je obvykle matice identity.

Diagnostika a rozklad

Pro všechny pozitivní určitý symetrická skutečná symplektická matice $S$ tady existuje $U$ v $U (2 n, R)$ takhle

{ displaystyle S = U ^ { text {T}} DU quad { text {pro}} quad D = operatorname {diag} ( lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n} , lambda _ {1} ^ {- 1}, ldots, lambda _ {n} ^ {- 1}),}

kde diagonální prvky

D

jsou vlastní čísla z

S

.^[4]

Jakákoli skutečná symplektická matice $S$ má polární rozklad formuláře:^[4]

{ displaystyle S = UR quad { text {pro}} quad U in operatorname {U} (2n, mathbb {R}) { text {and}} R in operatorname {Sp} ( 2n, mathbb {R}) cap operatorname {Sym} _ {+} (2n, mathbb {R}).}

Jakákoli skutečná symplektická matice může být rozložena jako produkt tří matic:

{ displaystyle S = O { begin {pmatrix} D & 0 0 & D ^ {- 1} end {pmatrix}} O ',}

(2)

takhle $Ó$ a $Ó'$ jsou oba symplektičtí a ortogonální a $D$ je pozitivní-definitivní a úhlopříčka.^[5] Tento rozklad úzce souvisí s rozklad singulární hodnoty matrice a je znám jako „Eulerův“ nebo „Bloch-Messiahův“ rozklad.

Složité matice

Pokud místo M je 2n×2n matice s komplex definic není v celé literatuře standardní. Mnoho autorů ^[6] upravit výše uvedenou definici na

{ displaystyle M ^ {*} Omega M = Omega ,.}

(3)

kde M^* označuje konjugovat transponovat z M. V tomto případě nemusí být determinant 1, ale bude mít absolutní hodnota 1. V případě 2 × 2 (n=1), M bude součinem skutečné symplektické matice a komplexního počtu absolutní hodnoty 1.

Ostatní autoři ^[7] zachovat definici (1) pro komplexní matice a vyhovující matice volání (3) sdružovat symplectic.

Aplikace

Transformace popsané symplektickými maticemi hrají důležitou roli v kvantová optika a v teorie kvantové informace o spojitých proměnných. K popisu lze například použít symplektické matice Gaussovy (Bogoliubovovy) transformace kvantového stavu světla.^[8] Na druhé straně Bloch-Messiahův rozklad (2) znamená, že takovou libovolnou Gaussovu transformaci lze reprezentovat jako sadu dvou pasivních lineární-optické interferometry (odpovídající ortogonálním maticím Ó a Ó' ) přerušovaný vrstvou aktivních nelineárních mačkání transformace (dané z hlediska matice D).^[9] Ve skutečnosti lze obejít potřebu takových v souladu aktivní mačkání transformací, pokud dva režimy stlačeného vakua jsou k dispozici pouze jako předchozí zdroj.^[10]

Viz také

Reference

^ Habermann, Katharina, 1966- (2006). Úvod do symplektických operátorů Dirac. Springer. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC 262692314.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Rim, Donsub (2017). "Elementární důkaz, že symplektické matice mají rozhodující". Adv. Dyn. Syst. Appl. 12 (1): 15–20. arXiv:1505.04240. Bibcode:2015arXiv150504240R. doi:10.37622 / ADSA / 12.1.2017.15-20.
^ de Gosson, Maurice. „Úvod do symflektické mechaniky: přednášky I-II-III“ (PDF).
^ ^A ^b de Gosson, Maurice A. (2011). Symplektické metody v harmonické analýze a v matematické fyzice - Springer. doi:10.1007/978-3-7643-9992-4. ISBN 978-3-7643-9991-7.
^ Ferraro et. al. 2005 Oddíl 1.3. ... název?
^ Xu, H. G. (15. července 2003). "Rozklad matice podobný SVD a jeho aplikace". Lineární algebra a její aplikace. 368: 1–24. doi:10.1016 / S0024-3795 (03) 00370-7. hdl:1808/374.
^ Mackey, D. S .; Mackey, N. (2003). „Na determinantu symmplektických matic“. Zpráva o numerické analýze. 422. Manchester, Anglie: Manchester Center for Computational Mathematics. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J .; Ralph, Timothy C .; Shapiro, Jeffrey H .; Lloyd, Seth (2012). "Gaussova kvantová informace". Recenze moderní fyziky. 84 (2): 621–669. arXiv:1110.3234. Bibcode:2012RvMP ... 84..621W. doi:10.1103 / RevModPhys.84.621.
^ Braunstein, Samuel L. (2005). "Mačkání jako neredukovatelný zdroj". Fyzický přehled A. 71 (5): 055801. arXiv:quant-ph / 9904002. Bibcode:2005PhRvA..71e5801B. doi:10.1103 / PhysRevA.71.055801.
^ Chakhmakhchyan, Levon; Cerf, Nicolas (2018). "Simulace libovolných Gaussových obvodů s lineární optikou". Fyzický přehled A. 98 (6): 062314. arXiv:1803.11534. Bibcode:2018PhRvA..98f2314C. doi:10.1103 / PhysRevA.98.062314.

externí odkazy

[1] Habermann, Katharina, 1966- (2006). Úvod do symplektických operátorů Dirac. Springer. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC 262692314.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[2] Rim, Donsub (2017). "Elementární důkaz, že symplektické matice mají rozhodující". Adv. Dyn. Syst. Appl. 12 (1): 15–20. arXiv:1505.04240. Bibcode:2015arXiv150504240R. doi:10.37622 / ADSA / 12.1.2017.15-20.

[3] Gosson, Maurice. „Úvod do symflektické mechaniky: přednášky I-II-III“ (PDF).

[:0-4] A ^b de Gosson, Maurice A. (2011). Symplektické metody v harmonické analýze a v matematické fyzice - Springer. doi:10.1007/978-3-7643-9992-4. ISBN 978-3-7643-9991-7.

[5] Ferraro et. al. 2005 Oddíl 1.3. ... název?

[6] Xu, H. G. (15. července 2003). "Rozklad matice podobný SVD a jeho aplikace". Lineární algebra a její aplikace. 368: 1–24. doi:10.1016 / S0024-3795 (03) 00370-7. hdl:1808/374.

[7] Mackey, D. S .; Mackey, N. (2003). „Na determinantu symmplektických matic“. Zpráva o numerické analýze. 422. Manchester, Anglie: Manchester Center for Computational Mathematics. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[8] Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J .; Ralph, Timothy C .; Shapiro, Jeffrey H .; Lloyd, Seth (2012). "Gaussova kvantová informace". Recenze moderní fyziky. 84 (2): 621–669. arXiv:1110.3234. Bibcode:2012RvMP ... 84..621W. doi:10.1103 / RevModPhys.84.621.

[9] Braunstein, Samuel L. (2005). "Mačkání jako neredukovatelný zdroj". Fyzický přehled A. 71 (5): 055801. arXiv:quant-ph / 9904002. Bibcode:2005PhRvA..71e5801B. doi:10.1103 / PhysRevA.71.055801.

[10] Chakhmakhchyan, Levon; Cerf, Nicolas (2018). "Simulace libovolných Gaussových obvodů s lineární optikou". Fyzický přehled A. 98 (6): 062314. arXiv:1803.11534. Bibcode:2018PhRvA..98f2314C. doi:10.1103 / PhysRevA.98.062314.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]