Vážicí matice - Weighing matrix

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Vážící matice“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (prosinec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a vážicí matice Ž řádu n a hmotnost w je n × n (0,1, -1) -matice takové, že ${ displaystyle WW ^ {T} = wI_ {n}}$, kde ${ displaystyle W ^ {T}}$ je přemístit z ${ displaystyle W}$ a ${ displaystyle I_ {n}}$ je matice identity řádu ${ displaystyle n}$.

Pro pohodlí je to vážicí matice objednávky n a hmotnost w je často označován Ž(n,w). A Ž(n,n) je Hadamardova matice a a W (n, n-1) je ekvivalentní a konferenční matice.

Vlastnosti

Některé vlastnosti jsou z definice okamžité. Li Ž je Ž(n,w), pak:

• Řádky Ž jsou párové ortogonální (to znamená každý pár řádků, ze kterých si vyberete Ž bude ortogonální). Podobně jsou sloupy párově ortogonální.
• Každý řádek a každý sloupec Ž má přesně w nenulové prvky.
• ${ displaystyle W ^ {T} W = wI}$, protože definice to znamená ${ displaystyle W ^ {- 1} = w ^ {- 1} W ^ {T}}$, kde ${ displaystyle W ^ {- 1}}$ je inverzní z ${ displaystyle W}$.
• ${ displaystyle operatorname {det} (W) = pm w ^ {n / 2}}$ kde ${ displaystyle operatorname {det} (W)}$ je určující z ${ displaystyle W}$.

Příklady

Pamatujte, že když se zobrazují matice vážení, symbol ${ displaystyle -}$ se používá k reprezentaci -1. Zde jsou dva příklady:

Tohle je Ž(2,2):

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & - end {pmatrix}}}$

Tohle je Ž(7,4):

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & - & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & - & 0 & - & 0 & 1 1 & 0 & 0 & - & 0 & - & - 0 & 1 & - & 0 & 0 & 1 & - 0 & 1 & 0 & - & 1 & 0 & - a {pmatrix}}}$

Rovnocennost

Dvě váhové matice se považují za rovnocenné, pokud lze jednu získat od druhé řadou permutací a negací řádků a sloupců matice. Klasifikace váhových matric je úplná pro případy, kdy w ≤ 5, stejně jako všechny případy, kdy n ≤ 15 jsou také dokončeny.^[1] Kromě toho se však udělalo jen velmi málo, s výjimkou klasifikace matric vážících oběh.^[2][3]

Otevřené otázky

Tato sekce případně obsahuje syntéza materiálu což ne prokazatelně zmínit nebo týkat se k hlavnímu tématu. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. (Listopadu 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Existuje mnoho otevřených otázek týkajících se vážení matic. Hlavní otázkou týkající se vážicích matic je jejich existence: pro které hodnoty n a w existuje a Ž(n,w)? Mnoho o tom není známo. Neméně důležitou, ale často opomíjenou otázkou o vážení matic je jejich výčet: pro daný n a w, kolik Ž(n,w) jsou tam?

Tato otázka má dva různé významy. Výčet až ekvivalence a výčet různých matic se stejnými parametry n, k. Některé příspěvky byly publikovány k první otázce, ale žádné nebyly publikovány k druhé důležité otázce.

Reference