Řádkový sled - Row echelon form

v lineární algebra, a matice je v echelon forma pokud má tvar vyplývající z a Gaussova eliminace.

Matice je uvnitř řádkový sled znamená, že Gaussova eliminace fungovala na řádcích, asloupec echelon forma znamená, že Gaussova eliminace fungovala na kolonách. Jinými slovy, matice je ve formě sloupcového sledu, pokud je přemístit je ve formě řady echelon. Ve zbývající části tohoto článku se proto uvažuje pouze o řádkových řadách. Podobné vlastnosti sloupcové echelonové formy lze snadno odvodit transpozicí všech matic. Konkrétně je matice v řádkový sled -li

• všechny řádky skládající se pouze z nul jsou dole.
• the vedoucí koeficient (nazývané také pivot ) nenulové řady je vždy striktně napravo od počátečního koeficientu řady nad ní.

Některé texty přidávají podmínku, že počáteční koeficient musí být 1.^[1]

Tyto dvě podmínky znamenají, že všechny položky ve sloupci pod vedoucím koeficientem jsou nuly.^[2]

Následuje příklad matice 3 × 5 ve formě řady echelon, která není v snížena řádkový sled (viz níže):

${ displaystyle left [{ begin {array} {ccccc} 1 & a_ {0} & a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} 0 & 0 & 2 & a_ {4} & a_ {5} 0 & 0 & 0 & 1 & a_ {6} end { pole}} doprava]}$

Mnoho vlastností matic lze snadno odvodit z jejich řádkové echelonové formy, například hodnost a jádro.

Snížená řada sledu

Matice je v snížená řada echelon forma (také zvaný řádek kanonický tvar) pokud splňuje následující podmínky:^[3]

• Je ve formě řady echelon.
• Úvodní položka v každém nenulovém řádku je 1 (nazývá se úvodní 1).
• Každý sloupec obsahující úvodní 1 má ve všech ostatních položkách nuly.

Redukovaný řádek echelon forma matice může být vypočítán pomocí Eliminace Gauss-Jordan. Na rozdíl od řádkové echelonové formy je zmenšená řádková echelonová forma matice jedinečná a nezávisí na algoritmu použitém k jejímu výpočtu.^[4] Pro danou matici, navzdory tomu, že řádková echelonová forma není jedinečná, mají všechny řádkové echelonové formy a redukovaná řádková echelonová forma stejný počet nulových řádků a čepy jsou umístěny ve stejných indexech.^[4]

Toto je příklad matice ve zmenšené řádkové vrstvě, která ukazuje, že levá část matice není vždy matice identity:

${ displaystyle left [{ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & a_ {1} & 0 & b_ {1} 0 & 1 & a_ {2} & 0 & b_ {2} 0 & 0 & 0 & 1 & b_ {3} end {array}} right]}$

Pro matice s celé číslo koeficienty, Poustevník normální forma je řádková řada, kterou lze vypočítat pomocí Euklidovské dělení a bez zavedení jakéhokoli racionální číslo nebo jmenovatel. Na druhou stranu redukovaná echelónová forma matice s celočíselnými koeficienty obecně obsahuje jiné než celočíselné koeficienty.

Transformace do řádkové řady

Pomocí konečné posloupnosti základní řádkové operace, volala Gaussova eliminace, libovolnou matici lze transformovat do řádkové echelonové formy. Protože operace základních řádků zachovávají řádkový prostor matice je prostor řádků ve tvaru řádkové řady stejný jako v původní matici.

Výsledná echelonová forma není jedinečná; jakoukoli matici, která je ve formě sledu, lze vložit do (ekvivalent ) echelon forma přidáním skalárního násobku řádku do jednoho z výše uvedených řádků, například:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 & -1 0 & 1 & 7 end {bmatrix}} { xrightarrow { text {přidat řádek 2 do řádku 1}}} { begin {bmatrix} 1 & 4 & 6 0 & 1 & 7 end {bmatrix}}.}$

Každá matice má však jedinečný snížena řádkový sled. Ve výše uvedeném příkladu lze formu zmenšeného řady echelon najít jako

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 & -1 0 & 1 & 7 konec {bmatrix}} { xrightarrow { text {odečíst 3 × (řádek 2) od řádku 1}}} { begin {bmatrix} 1 a 0 & -22 0 & 1 & 7 end {bmatrix}}.}$

To znamená, že nenulové řádky formuláře se sníženým řádkovým sledem jsou jedinečnou generující sadou se sníženým řádkovým sledem pro prostor řádků původní matice.

Soustavy lineárních rovnic

A soustava lineárních rovnic je prý v řádkový sled Pokud je to rozšířená matice je ve formě řady echelon. Podobně se říká, že je systém rovnic snížená řada echelon forma nebo v kanonická forma pokud je jeho rozšířená matice ve formě zmenšeného řádku.

Na kanonickou formu lze pohlížet jako na explicitní řešení lineárního systému. Ve skutečnosti systém je nekonzistentní právě tehdy, když je jedna z rovnic kanonické formy redukována na 0 = 1.^[5] Jinak přeskupení všech výrazů rovnic kromě těch předních na pravé straně vyjadřuje proměnné odpovídající otočným bodům jako konstanty nebo lineární funkce ostatních proměnných, pokud existují.

Pseudokód pro redukovanou řadu řad

Následující pseudo kód převede matici do redukované řady echelon formě:

funkce ToReducedRowEchelonForm (Matrix M) je    Vést := 0    rowCount : = počet řádků v M columnCount : = počet sloupců v M pro 0 ≤ r < rowCount dělat        -li columnCount ≤ Vést pak            funkce stop        skončit, pokud        i = r        zatímco M [i, Vést] = 0 dělat            i = i + 1            -li rowCount = i pak                i = r                Vést = Vést + 1                -li columnCount = Vést pak                    funkce stop                skončit, pokud            skončit, pokud        skončit chvíli        -li i ≠ r pak Zaměňte řádky i a r        Rozdělte řádek r autor: M [r, Vést]        pro 0 ≤ i < rowCount dělat            -li i ≠ r dělat                Odečtěte M [i, olovo] vynásobené řádkem r z řady i            skončit, pokud        konec pro        Vést = Vést + 1    konec prokoncová funkce

Následující pseudo kód převede matici na řádkovou echelonovou formu (nezkrácenou):

funkce ToRowEchelonForm (Matrix M) je    č : = počet řádků v M nc : = počet sloupců v M pro 0 ≤ r <číslo dělat        všechna nuly : = pravda pro 0 ≤ C < nc dělat            -li M [r, C] != 0 pak                všechna nuly : = false výstup pro            skončit, pokud        konec pro        -li všechna nuly = pravda pak            V M vyměňte řádek r s řadou č            č := č - 1        skončit, pokud    konec pro        p := 0    zatímco p < č a p < nc dělat        označení nextPivot: r := 1            zatímco M [p, p] = 0 dělat                 -li (p + r) <= č pak p := p + 1                    jít do nextPivot skončit, pokud                V M vyměňte řádek p s řádkem (p + r)                r := r + 1            skončit chvíli            pro 1 ≤ r < (č - p) dělat                 -li M [p + r, p]! = 0 tedy X : = -M [p + r, p] / M [p, p]                    pro p ≤ C < nc dělat                        M [p + r, C]: = M [p , C] * X + M [p + r, C]                    konec pro                skončit, pokud            konec pro            p := p + 1    skončit chvílikoncová funkce

Poznámky

Reference

• Leon, Steve (2009), Lineární algebra s aplikacemi (8. vydání), Pearson, ISBN  978-0136009290.
• Meyer, Carl D. (2000), Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra, SIAM, ISBN  978-0-89871-454-8.

externí odkazy

• Interaktivní formulář řady Echelon s racionálním výstupem