Logická matice - Logical matrix

A logická matice, binární matice, relační matice, Booleova maticenebo (0,1) matice je matice se záznamy z Booleovská doména B = {0, 1}. Takovou matici lze použít k reprezentaci a binární relace mezi párem konečné množiny.

Maticová reprezentace relace

Li R je binární relace mezi konečným indexované sady X a Y (tak R ⊆ X×Y), pak R mohou být reprezentovány logickou maticí M jejichž řádkové a sloupcové indexy indexují prvky X a Y, respektive takové, že záznamy z M jsou definovány:

${displaystyle M_ {i, j} = {egin {cases} 1 & (x_ {i}, y_ {j}) in R 0 & (x_ {i}, y_ {j}) ot in Rend {cases}}}$

Aby bylo možné určit čísla řádků a sloupců matice, sady X a Y jsou indexovány s kladnými celými čísly: i se pohybuje od 1 do mohutnost (velikost X a j se pohybuje od 1 do mohutnosti Y. Viz záznam na indexované sady pro více podrobností.

Příklad

Binární relace R na scéně {1, 2, 3, 4} je definován tak, že aRb platí právě tehdy A rozděluje b rovnoměrně, beze zbytku. Například 2R4 platí, protože 2 rozděluje 4, aniž by zbyl zbytek, ale 3R4 neplatí, protože když 3 rozdělí 4, zbývá zbytek 1. Následující množina je množina párů, pro které je vztah R drží.

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

Odpovídající reprezentace jako logická matice je:

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}$ což zahrnuje úhlopříčku jedniček, protože každé číslo se dělí samo.

Další příklady

• A permutační matice je matice (0,1), jejíž všechny sloupce a řádky mají přesně jeden nenulový prvek.
  • A Costasovo pole je speciální případ permutační matice
• An matice výskytu v kombinatorika a konečná geometrie má ty, které označují výskyt mezi body (nebo vrcholy) a liniemi geometrie, bloky a blokový design nebo hrany a graf (diskrétní matematika)
• A návrhová matice v analýza rozptylu je matice (0,1) s konstantními součty řádků.
• Logická matice může představovat matice sousedství v teorie grafů: nesymetrické matice odpovídají řízené grafy, symetrické matice k obyčejným grafy a 1 na úhlopříčce odpovídá a smyčka na odpovídajícím vrcholu.
• The biadjacency matice jednoduchého, neorientovaného bipartitní graf je (0,1) -matice a libovolná (0,1) -matice vzniká tímto způsobem.
• Hlavní faktory seznamu m bez čtverce, n-hladký čísla lze popsat jako a m× π (n) (0,1) -matice, kde π je funkce počítání prvočísel a A_ij je 1 právě tehdy, když jth prime rozděluje ith číslo. Toto znázornění je užitečné v kvadratické síto factoringový algoritmus.
• A bitmapový obrázek obsahující pixelů pouze ve dvou barvách lze reprezentovat jako matici (0,1), ve které 0 představují pixely jedné barvy a 1 představují pixely druhé barvy.
• Pro kontrolu pravidel hry ve hře lze použít binární matici Jít ^[1]

Některé vlastnosti

Maticová reprezentace vztah rovnosti na konečné sadě je matice identity Já, tj. Matice, jejíž položky na úhlopříčce jsou všechny 1, zatímco ostatní jsou všechny 0. Obecněji, pokud je relace R vyhovuje I ⊂ R, pak R je a reflexivní vztah.

Pokud je booleovská doména považována za semiring, kde doplnění odpovídá logické NEBO a násobení do logické AND, maticová reprezentace složení dvou vztahů se rovná maticový produkt maticových reprezentací těchto vztahů. Tento produkt lze vypočítat v očekávaný čas O (n²).^[2]

Operace na binárních maticích jsou často definovány z hlediska modulární aritmetika mod 2 - to znamená, že s prvky se zachází jako s prvky Galoisovo pole GF(2) = ℤ₂. Vznikají v různých reprezentacích a mají řadu omezenějších zvláštních forem. Aplikují se např. v Spolehlivost XOR.

Počet odlišných m-podle-n binární matice se rovná 2^mn, a je tedy konečný.

Mříž

Nechat n a m být dán a nechat U označit množinu všech logických m × n matice. Pak U má částečná objednávka dána

${displaystyle msubset nquad {ext {when}} quad forall i, jquad m_ {ij} = 1implies n_ {ij} = 1.}$

Ve skutečnosti, U tvoří a Booleova algebra s operacemi a & nebo mezi dvěma maticemi aplikovanými po jednotlivých částech. Doplněk logické matice se získá záměnou všech nul a jedniček za jejich opak.

Každá logická matice a = (a _{já j} ) má přemístit A^T = (a _{j i} ). Předpokládat A je logická matice bez identických nulových sloupců nebo řádků. Pak maticový produkt pomocí logické aritmetiky, a^T a obsahuje m × m matice identity a produkt a^T obsahuje n × n identita.

Jako matematická struktura booleovská algebra U tvoří a mříž objednáno někým zařazení; navíc je to multiplikativní mříž v důsledku násobení matic.

Každá logická matice v U odpovídá binárnímu vztahu. Tyto uvedené operace dne Ua objednávání odpovídá a počet vztahů, kde násobení matice představuje složení vztahů.^[3]

Logické vektory

Li m nebo n rovná se jeden, pak m × n logická matice (M_{já j}) je logický vektor. Li m = 1 je vektor řádkový vektor, a pokud n = 1 je to vektor sloupce. V obou případech je index rovný jednomu zrušen z denotace vektoru.

Předpokládat ${displaystyle (P_ {i}), quad i = 1,2, ... m {ext {and}} (Q_ {j}), quad j = 1,2, ... n}$ jsou dva logické vektory. The vnější produkt z P a Q má za následek m × n obdélníkový vztah:

${displaystyle M_ {ij} = P_ {i} přistát Q_ {j}.}$ Opětovným uspořádáním řádků a sloupců takové matice lze všechny sestavit do obdélníkové části matice.^[4]

Nechat h být vektorem všech. Pak pokud proti je libovolný logický vektor, relace R = v h^T má konstantní řádky určené proti. V počet vztahů takový R se nazývá a vektor.^[4] Konkrétním příkladem je univerzální vztah h h^T.

Pro daný vztah R, maximální, obdélníkový vztah obsažený v R se nazývá a koncept v R.. Vztahy lze studovat rozložením na koncepty a poté si všímat indukovaná koncepční mříž.

Zvažte tabulku skupinových struktur, kde „nepotřebné“ lze označit 0 a „povinné“ označit 1, tvořící logickou matici R. Pro výpočet prvků z R R^T je nutné použít logický vnitřní součin dvojic logických vektorů v řádcích této matice. Pokud je tento vnitřní součin 0, pak jsou řádky kolmé. Ve skutečnosti je semigroup ortogonální na smyčku, malá kategorie je ortogonální na kvazigroup a groupoid je ortogonální na magma. V důsledku toho jsou 0 R R^T a to není a univerzální vztah.

Součet řádků a sloupců

Sčítání všech jedniček v logické matici lze provést dvěma způsoby, nejprve sčítáním řádků nebo prvním sčítáním sloupců. Když jsou přidány součty řádků, součet je stejný, jako když jsou přidány součty sloupců. v geometrie dopadu, matice je interpretována jako matice výskytu s řádky odpovídajícími „bodům“ a sloupce jako „bloky“ (zobecňující řádky vytvořené z bodů). Řádkový součet se nazývá jeho bodový stupeň a sloupcový součet je blokový stupeň. Návrh 1,6 palce Teorie designu^[5] říká, že součet bodových stupňů se rovná součtu blokových stupňů.

Prvotním problémem v této oblasti bylo „najít nezbytné a dostatečné podmínky pro existenci struktura výskytu s danými bodovými stupni a blokovými stupni (nebo v maticovém jazyce pro existenci matice typu (0,1)) proti × b s danými součty řádků a sloupců. "^[5] Taková struktura je a blokový design.

Viz také

• Seznam matic
• Binatorix (binární De Bruijn torus)
• Bitové pole
• Redhefferova matice

Poznámky

Reference

• Hogben, Leslie (2006), Příručka lineární algebry (diskrétní matematika a její aplikace), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, ISBN  978-1-58488-510-8, § 31.3, Binární matice
• Kim, Ki Hang (1982), Teorie a aplikace booleovské matice, ISBN  978-0-8247-1788-9
• H. J. Ryser (1957) „Kombinatorické vlastnosti matic nul a jedniček“, Kanadský žurnál matematiky 9: 371–7.
• Ryser, H. J. (1960) „Stopy matic nul a jedniček“, Kanadský žurnál matematiky 12: 463–76.
• Ryser, H. J. (1960) „Matice nul a dalších“, Bulletin of the American Mathematical Society 66: 442–64.
• D. R. Fulkerson (1960) "Nula-jedna matice s nulovou stopou", Pacific Journal of Mathematics 10; 831–6
• D. R. Fulkerson a H. J. Ryser (1961) „Šířky a výšky matic (0, 1)“, Kanadský žurnál matematiky 13: 239–55.
• L. R. Ford Jr. & D. R. Fulkerson (1962) § 2.12 „Matice složené z 0 a 1“, strany 79 až 91 v Toky v sítích, Princeton University Press PAN0159700

externí odkazy

• "Logická matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]