Neumannova série - Neumann series - Wikipedia
A Neumannova série je matematická řada formuláře
kde T je operátor a své k krát opakovaná aplikace. Tím se zobecňuje geometrické řady.
Série je pojmenována po matematikovi Carl Neumann, který jej použil v roce 1877 v kontextu teorie potenciálu. Série Neumann se používá v funkční analýza. Tvoří základ Série Liouville-Neumann, který se používá k řešení Fredholmovy integrální rovnice. Je také důležité při studiu spektrum omezených operátorů.
Vlastnosti
Předpokládejme to T je omezený lineární operátor na normovaný vektorový prostor X. Pokud série Neumann konverguje v norma operátora, pak Id - T je invertibilní a jeho inverzní je série:
- ,
kde je operátor identity v X. Chcete-li zjistit proč, zvažte částečné částky
- .
Pak máme
Tento výsledek na operátorech je analogický k geometrické řady v , ve kterém zjistíme, že:
Jedním z případů, kdy je zaručena konvergence, je situace, kdy X je Banachův prostor a |T| <1 v normě provozovatele nebo je konvergentní. Existují však také výsledky, které dávají slabší podmínky, za kterých se řada sbližuje.
Příklad
Nechat být dán:
Musíme ukázat, že C je v některých menší než jednota norma. Proto počítáme:
Z výše uvedeného prohlášení tedy víme, že existuje.
Sada invertibilních operátorů je otevřená
Důsledkem je sada invertibilních operátorů mezi dvěma Banachovými prostory B a B ' je otevřený v topologii vyvolané normou operátora. Opravdu, pojďme S : B → B'být invertible operator and let T: B → B„být dalším operátorem. Li
|S – T | < |S−1|−1,
pak T je také invertibilní.
Od | Id - S−1T| <1, Neumannova řada Σ (Id - (S−1T))k je konvergentní. Proto máme
T−1S = (Id - (Id - S−1T))−1 = Σ (Id - (S−1T))k.
Bereme-li normy, chápeme
|T−1S| ≤ 1 / (1 - | Id - (S−1T)|).
Norma T−1 lze omezit
Aplikace
Řada Neumann byla použita pro lineární detekci dat v masivních bezdrátových systémech s více uživateli s více vstupy a více výstupy (MIMO). Použití zkrácené Neumannovy řady zabrání výpočtu explicitní inverzní matice, což sníží složitost detekce lineárních dat z kubických na čtvercové.[1]
Reference
- ^ Wu, M .; Yin, B .; Vosoughi, A .; Studer, C .; Cavallaro, J. R .; Dick, C. (květen 2013). „Přibližná inverze matice pro detekci dat s vysokou propustností ve velkém MIMO uplinku“. IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS): 2155–2158. doi:10.1109 / ISCAS.2013.6572301.
- Werner, Dirk (2005). Funkční analýza (v němčině). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.