Neumannova série - Neumann series - Wikipedia

A Neumannova série je matematická řada formuláře

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} T ^ {k}}$

kde T je operátor a ${ displaystyle T ^ {k}: = {} T ^ {k-1} circ {T}}$ své k krát opakovaná aplikace. Tím se zobecňuje geometrické řady.

Série je pojmenována po matematikovi Carl Neumann, který jej použil v roce 1877 v kontextu teorie potenciálu. Série Neumann se používá v funkční analýza. Tvoří základ Série Liouville-Neumann, který se používá k řešení Fredholmovy integrální rovnice. Je také důležité při studiu spektrum omezených operátorů.

Vlastnosti

Předpokládejme to T je omezený lineární operátor na normovaný vektorový prostor X. Pokud série Neumann konverguje v norma operátora, pak Id - T je invertibilní a jeho inverzní je série:

${ displaystyle ( mathrm {Id} -T) ^ {- 1} = součet _ {k = 0} ^ { infty} T ^ {k}}$,

kde ${ displaystyle mathrm {Id}}$ je operátor identity v X. Chcete-li zjistit proč, zvažte částečné částky

${ displaystyle S_ {n}: = součet _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k}}$.

Pak máme

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ( mathrm {Id} -T) S_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} left ( sum _ {k = 0} ^ { n} T ^ {k} - sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k + 1} right) = lim _ {n rightarrow infty} left ( mathrm {Id} - T ^ {n + 1} right) = mathrm {Id}.}$

Tento výsledek na operátorech je analogický k geometrické řady v ${ displaystyle mathbb {R}}$, ve kterém zjistíme, že:

${ displaystyle (1-x) cdot (1 + x + x ^ {2} + cdots + x ^ {n-1} + x ^ {n}) = 1-x ^ {n + 1},}$

${ displaystyle 1 + x + x ^ {2} + cdots = { frac {1} {1-x}}.}$

Jedním z případů, kdy je zaručena konvergence, je situace, kdy X je Banachův prostor a |T| <1 v normě provozovatele nebo ${ displaystyle sum | T ^ {n} |}$ je konvergentní. Existují však také výsledky, které dávají slabší podmínky, za kterých se řada sbližuje.

Příklad

Nechat ${ displaystyle C in mathbb {R} ^ {3 krát 3}}$ být dán:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {4}} { frac {5} {7}} & 0 & { frac {1} {7}} { frac {3} {10}} & { frac {3} {5}} & 0 end {pmatrix}}.}$

Musíme ukázat, že C je v některých menší než jednota norma. Proto počítáme:

${ displaystyle { begin {aligned} || C || _ { infty} & = max _ {i} sum _ {j} | c_ {ij} | = max left lbrace { frac { 3} {4}}, { frac {6} {7}}, { frac {9} {10}} right rbrace = { frac {9} {10}} <1. end {zarovnáno }}}$

Z výše uvedeného prohlášení tedy víme, že ${ displaystyle (I-C) ^ {- 1}}$ existuje.

Sada invertibilních operátorů je otevřená

Důsledkem je sada invertibilních operátorů mezi dvěma Banachovými prostory B a B ' je otevřený v topologii vyvolané normou operátora. Opravdu, pojďme S : B → B'být invertible operator and let T: B → B„být dalším operátorem. Li

|S – T | < |S⁻¹|⁻¹,

pak T je také invertibilní.

Od | Id - S⁻¹T| <1, Neumannova řada Σ (Id - (S⁻¹T))^k je konvergentní. Proto máme

T⁻¹S = (Id - (Id - S⁻¹T))⁻¹ = Σ (Id - (S⁻¹T))^k.

Bereme-li normy, chápeme

|T⁻¹S| ≤ 1 / (1 - | Id - (S⁻¹T)|).

Norma T⁻¹ lze omezit

${ displaystyle | T ^ {- 1} | leq { tfrac {1} {1-q}} | S ^ {- 1} | quad { text {kde}} quad q = | ST | , | S ^ {- 1} |.}$

Aplikace

Řada Neumann byla použita pro lineární detekci dat v masivních bezdrátových systémech s více uživateli s více vstupy a více výstupy (MIMO). Použití zkrácené Neumannovy řady zabrání výpočtu explicitní inverzní matice, což sníží složitost detekce lineárních dat z kubických na čtvercové.^[1]

Reference

• Werner, Dirk (2005). Funkční analýza (v němčině). Springer Verlag. ISBN  3-540-43586-7.