Vadná matice - Defective matrix

v lineární algebra, a vadná matice je čtvercová matice to nemá kompletní základ z vlastní vektory, a proto tomu tak není úhlopříčně. Zejména an n × n matice je vadná právě tehdy, pokud nemá n lineárně nezávislé vlastní vektory.^[1] Úplný základ se vytvoří rozšířením vlastních vektorů o zobecněné vlastní vektory, které jsou nezbytné pro řešení vadných systémů obyčejné diferenciální rovnice a další problémy.

An n × n vadná matice má vždy méně než n odlišný vlastní čísla, protože odlišné vlastní hodnoty mají vždy lineárně nezávislé vlastní vektory. Vadná matice má zejména jedno nebo více vlastních čísel λ s algebraická multiplicita m > 1 (to znamená, že jsou více kořeny charakteristický polynom ), ale méně než m lineárně nezávislé vlastní vektory spojené s λ. Pokud je algebraická multiplicita λ překračuje jeho geometrická multiplicita (tj. počet lineárně nezávislých vlastních vektorů spojených s λ), pak λ se říká, že je vadné vlastní číslo.^[1] Každé vlastní číslo s algebraickou multiplicitou m vždycky m lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory.

A Hermitova matice (nebo zvláštní případ skutečného symetrická matice ) nebo a unitární matice nikdy není vadný; obecněji a normální matice (který zahrnuje Hermitian a unitární jako speciální případy) není nikdy vadný.

Jordan blok

Jakékoli netriviální Jordan blok velikosti 2 × 2 nebo větší (tj. ne zcela diagonální) je vadná. (Diagonální matice je zvláštním případem Jordanovy normální formy a není vadná.) Například blok n × n Jordan,

${displaystyle J = {egin {bmatrix} lambda & 1 &; &; ; & lambda & ddots &; ; &; & ddots & 1 ; &; &; lambda end {bmatrix}},}$

má vlastní číslo, λ, s algebraickou multiplicitou n, ale pouze s jedním odlišným vlastním vektorem,

${displaystyle v = {egin {bmatrix} 1 0 vdots 0end {bmatrix}}.}$

Ve skutečnosti má jakákoli vadná matice netriviální Jordan normální forma, což je tak blízko, jak se jen dá diagonalizace takové matice.

Příklad

Jednoduchý příklad vadné matice je:

${displaystyle {egin {bmatrix} 3 & 1 0 & 3end {bmatrix}}}$

který má dvojitý vlastní číslo 3, ale pouze jeden odlišný vlastní vektor

${displaystyle {egin {bmatrix} 1 0end {bmatrix}}}$

(a jejich konstantní násobky).

Viz také

• Jordan normální forma

Poznámky

Reference

• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Maticové výpočty (3. vyd.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Lineární algebra a její aplikace (3. vyd.). San Diego: Harcourt. ISBN  978-970-686-609-7.