Jednotná matice - Unitary matrix
v lineární algebra, a komplex čtvercová matice U je unitární Pokud je to konjugovat transponovat U* je také jeho inverzní, tedy pokud
kde Já je matice identity.
Ve fyzice, zejména v kvantové mechanice, Hermitian adjoint matice je označen a dýka (†) a výše uvedená rovnice se stane
Skutečný analog unitární matice je ortogonální matice. Unitické matice mají v kvantové mechanice významný význam, protože se zachovávají normy, a tudíž, amplitudy pravděpodobnosti.
Vlastnosti
Pro jakoukoli jednotnou matici U konečné velikosti platí:
- Vzhledem ke dvěma komplexním vektorům X a y, násobení U zachovává jejich vnitřní produkt; to je ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨X, y⟩.
- U je normální ().
- U je úhlopříčně; to je U je jednotně podobné na diagonální matici v důsledku spektrální věta. Tím pádem, U má rozklad formy
- kde PROTI je unitární a D je diagonální a jednotné.
- .
- Své vlastní prostory jsou kolmé.
- U lze psát jako U = EiH, kde E označuje exponenciální matice, i je imaginární jednotka a H je Hermitova matice.
Pro všechny nezáporné celé číslo nsoubor všech n × n unitární matice s maticovým násobením a skupina, volal jednotná skupina U (n).
Libovolná čtvercová matice s jednotkovou euklidovskou normou je průměrem dvou jednotkových matic.[1]
Rovnocenné podmínky
Li U je čtvercová, komplexní matice, pak jsou ekvivalentní následující podmínky:[2]
- U je unitární.
- U∗ je unitární.
- U je invertibilní s U−1 = U∗.
- Sloupce U pro muže ortonormální základ z s ohledem na obvyklý vnitřní produkt. Jinými slovy, U∗U =Já.
- Řádky U tvoří ortonormální základ s ohledem na obvyklý vnitřní produkt. Jinými slovy, U U∗ = Já.
- U je izometrie s ohledem na obvyklou normu. To znamená pro všechny , kde .
- U je normální matice (ekvivalentně existuje ortonormální základ tvořený vlastními vektory U) s vlastní čísla ležící na jednotkový kruh.
Elementární konstrukce
2 × 2 unitární matice
Obecný výraz a 2 × 2 unitární matice je
který závisí na 4 reálných parametrech (fáze A, fáze b, relativní velikost mezi A a ba úhel φ). The určující takové matice je
Podskupina těchto prvků s se nazývá speciální jednotná skupina SU (2).
Matice U lze také napsat v této alternativní formě:
který zavedením φ1 = ψ + Δ a φ2 = ψ - Δ, má následující faktorizaci:
Tento výraz zdůrazňuje vztah mezi 2 × 2 unitární matice a 2 × 2 ortogonální matice úhlu θ.
Další faktorizace je[3]
Je možné mnoho dalších faktorizací unitární matice v základních maticích.
Viz také
- Hermitova matice
- Maticový rozklad
- Ortogonální skupina O (n)
- Speciální ortogonální skupina SO (n)
- Ortogonální matice
- Kvantová logická brána
- Speciální jednotná skupina SU (n)
- Symplektická matice
- Unitární skupina U (n)
- Jednotný operátor
Reference
- ^ Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). Msgstr "Aditivní rozklad skutečných matic". Lineární a multilineární algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507.
- ^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Maticová analýza. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139020411. ISBN 9781139020411.
- ^ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). Msgstr "Poznámka k factoringovým jednotným maticím". Lineární algebra a její aplikace. 547: 32–44. doi:10.1016 / j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.
- Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- "Ukažte, že vlastní čísla jednotkové matice mají modul 1". Stack Exchange. 28. března 2016.