Střídavá matice znaků - Alternating sign matrix

${ displaystyle { begin {matrix} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix } 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} end {matrix}}}$

Sedm matic se střídavými znaménky velikosti 3

v matematika, an matice střídavého znaménka je čtvercová matice 0s, 1s a −1s takové, že součet každého řádku a sloupce je 1 a nenulové položky v každém řádku a sloupci se střídají ve znaménku. Tyto matice se zobecňují permutační matice a vznikají přirozeně při používání Dodgsonova kondenzace vypočítat determinant. Jsou také úzce spjaty s model šesti vrcholů s okrajovými podmínkami stěny domény z statistická mechanika. Nejprve je definoval William Mills, David Robbins a Howard Rumsey v dřívějším kontextu.

Příklad

Příkladem matice střídavého znaménka (která není také maticí permutace) je

Puzzle obrázek

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}.}$

Dohoda o matici se znaménky

The domněnka o střídavé matici znaků uvádí, že počet ${ displaystyle n krát n}$ matice střídavého znaménka je

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {(3k + 1)!} {(n + k)!}} = { frac {1! 4! 7! cdots (3n-2)!} {N! (N + 1)! Cdots (2n-1)!}}.}$

Prvních pár výrazů v této sekvenci pro n = 0, 1, 2, 3,… jsou

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348,… (sekvence A005130 v OEIS ).

Tuto domněnku poprvé prokázal Doron Zeilberger v roce 1992.^[1] V roce 1995 Greg Kuperberg poskytl krátký důkaz^[2] založeno na Yang-Baxterova rovnice pro model se šesti vrcholy s okrajovými podmínkami doménové stěny, který používá výpočet determinantu kvůli Anatoli Izerginovi.^[3] Třetí důkaz poskytl Ilse Fischer pomocí tzv metoda operátora.^[4]

Razumov – Stroganov dohad

V roce 2001 A. Razumov a Y. Stroganov předpokládali spojení mezi smyčkovým modelem O (1), plně zabaleným smyčkovým modelem (FPL) a ASM.^[5]Tuto domněnku v roce 2010 prokázali Cantini a Sportiello.^[6]

Reference

Další čtení

• Bressoud, David M., Důkazy a potvrzení, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, DC, 1999.
• Bressoud, David M. a Propp, James, Jak byla vyřešena domněnka alternativní matice znamení, Oznámení Americké matematické společnosti, 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P. a Rumsey, Howard Jr., důkaz domněnky Macdonald, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P., a Rumsey, Howard Jr., Střídavé matice znamení a sestupné rovinné oddíly, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1983), 340–359.
• Propp, James, Mnoho tváří matic se střídavými znaménky, Diskrétní matematika a teoretická informatika, Speciální vydání na Diskrétní modely: kombinatorika, výpočet a geometrie (Červenec 2001).
• Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., Kombinatorická povaha vektoru základního stavu modelu smyčky O (1), Teor. Matematika. Phys., 138 (2004), 333–337.
• Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O (1) model smyčky s různými okrajovými podmínkami a třídami symetrie matic se střídavým znaménkem], Teor. Matematika. Phys., 142 (2005), 237–243, arXiv:cond-mat / 0108103
• Robbins, David P., Příběh o ${ displaystyle 1,2,7,42,429,7436, dots}$, Matematický zpravodaj, 13 (2), 12–19 (1991), doi:10.1007 / BF03024081.
• Zeilberger, Doron, Důkaz o rafinované domněnce matice střídavého znaménka, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

externí odkazy

• Střídavá matice znaků vstup do MathWorld
• Střídavé znakové matice záznam v FindStat databáze