Polynomy zvonu - Bell polynomials

v kombinační matematika, Polynomy zvonu, pojmenovaný na počest Eric Temple Bell, se používají při studiu stanovených oddílů. Jsou příbuzní Stirling a Čísla zvonků. Vyskytují se také v mnoha aplikacích, například v Vzorec Faà di Bruno.

Polynomy zvonu

Exponenciální Bell polynomy

The částečný nebo neúplný exponenciální Bell polynomy jsou a trojúhelníkové pole polynomů daných

${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n-k + 1}) = součet {n! over j_ {1}! j_ {2}! cdots j_ {n-k + 1}!} left ({x_ {1} over 1!} right) ^ {j_ {1}} left ( {x_ {2} přes 2!} vpravo) ^ {j_ {2}} cdots vlevo ({x_ {n-k + 1} over (n-k + 1)!} vpravo) ^ { j_ {n-k + 1}},}$

kde součet převezme všechny posloupnosti j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 nezáporných celých čísel tak, aby byly splněny tyto dvě podmínky:

${ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + 3j_ {3} + cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Součet

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, tečky, x_ {n}) = součet _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2} , dots, x_ {n-k + 1})}$

se nazývá nth kompletní exponenciální Bell polynom.

Obyčejné Bell polynomy

Stejně tak částečné obyčejný Bellův polynom je na rozdíl od výše uvedeného obvyklého exponenciálního Bellova polynomu dán vztahem

${ displaystyle { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n-k + 1}) = sum { frac {k!} { j_ {1}! j_ {2}! cdots j_ {n-k + 1}!}} x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} cdots x_ {n -k + 1} ^ {j_ {n-k + 1}},}$

kde součet běží přes všechny sekvence j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 nezáporných celých čísel taková

${ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Obyčejné Bell polynomy lze vyjádřit v podmínkách exponenciálních Bell polynomů:

${ displaystyle { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n-k + 1}) = { frac {k!} {n! }} B_ {n, k} (1! Cdot x_ {1}, 2! Cdot x_ {2}, ldots, (n-k + 1)! Cdot x_ {n-k + 1}). }$

Obecně Bellův polynom označuje exponenciální Bellův polynom, pokud není výslovně uvedeno jinak.

Kombinatorický význam

Exponenciální Bellův polynom kóduje informace týkající se způsobů rozdělení sady. Pokud například vezmeme v úvahu množinu {A, B, C}, lze ji rozdělit na dvě neprázdné, nepřekrývající se podmnožiny, které se také označují jako části nebo bloky, třemi různými způsoby:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Můžeme tedy kódovat informace týkající se těchto oddílů jako

${ displaystyle B_ {3,2} (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} x_ {2}.}$

Tady jsou indexy B_3,2 nám říká, že uvažujeme o rozdělení sady se 3 prvky na 2 bloky. Dolní index každého z nich X_i označuje přítomnost bloku pomocí i prvky (nebo blok velikosti i) v daném oddílu. Tak tady, X₂ označuje přítomnost bloku se dvěma prvky. Podobně, X₁ označuje přítomnost bloku s jediným prvkem. Exponent exponentu X_i^j označuje, že existují j takové bloky velikosti i v jednom oddílu. Tady, protože oba X₁ a X₂ má exponent 1, znamená to, že v daném oddílu je pouze jeden takový blok. Koeficient monomiální označuje, kolik takových oddílů existuje. Pro náš případ existují 3 oddíly sady se 3 prvky do 2 bloků, kde jsou v každé přepážce prvky rozděleny do dvou bloků velikostí 1 a 2.

Jelikož kteroukoli sadu lze rozdělit do jednoho bloku pouze jedním způsobem, výše uvedená interpretace by to znamenala B_n,1 = X_n. Podobně, protože existuje pouze jeden způsob, kterým je sada nastavena n prvky lze rozdělit na n singletons, B_n,n = X₁ⁿ.

Jako složitější příklad zvažte

${ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}.}$

To nám říká, že pokud je sada se 6 prvky rozdělena na 2 bloky, můžeme mít 6 oddílů s bloky velikosti 1 a 5, 15 oddílů s bloky velikosti 4 a 2 a 10 oddílů se 2 bloky velikosti 3.

Součet dolních indexů v monomilech se rovná celkovému počtu prvků. Takže počet monomiálů, které se objevují v částečném Bell polynomu, se rovná počtu způsobů, jakým je celé číslo n lze vyjádřit jako součet k kladná celá čísla. To je stejné jako celočíselný oddíl z n do k části. Například ve výše uvedených příkladech lze celé číslo 3 rozdělit na dvě části pouze jako 2 + 1. Existuje tedy pouze jeden monomiál B_3,2. Celé číslo 6 však lze rozdělit na dvě části jako 5 + 1, 4 + 2 a 3 + 3. Existují tedy tři monomie B_6,2. Ve skutečnosti jsou dolní indexy proměnných v monomálu stejné jako indexy dané celočíselným oddílem, což udává velikosti různých bloků. Celkový počet monomiálů, které se objevují v úplném polynomu Bell B_n se tedy rovná celkovému počtu celočíselných oddílůn.

Rovněž stupeň každého monomia, který je součtem exponentů každé proměnné v monomiku, se rovná počtu bloků, na které je sada rozdělena. To znamená, j₁ + j₂ + ... = k . Tak, vzhledem k úplnému Bell polynomu B_n, můžeme oddělit částečný Bellův polynom B_{n, k} shromážděním všech těchto monomií s titulem k.

Nakonec, pokud nezohledníme velikost bloků a dáme všechny X_i = X, pak součet koeficientů částečného Bellova polynomu B_n,k dá celkový počet způsobů, kterými je sada nastavena n prvky lze rozdělit na k bloky, což je stejné jako Stirlingova čísla druhého druhu. Také součet všech koeficientů úplného Bellova polynomu B_n dá nám celkový počet způsobů, jakými je sada nastavena n prvky lze rozdělit na nepřekrývající se podmnožiny, což je stejné číslo jako Bell.

Obecně platí, že pokud je celé číslo n je rozdělené na částku, ve které se objeví „1“ j₁ krát, zobrazí se „2“ j₂ krát atd., pak počet oddíly sady velikosti n že se zhroutí do tohoto oddílu celého čísla n když se členové množiny stanou nerozeznatelnými, je odpovídající koeficient v polynomu.

Příklady

Například máme

${ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}}$

protože tam jsou

6 způsobů rozdělení sady 6 na 5 + 1,

15 způsobů, jak rozdělit sadu 6 na 4 + 2 a

10 způsobů, jak rozdělit sadu 6 na 3 + 3.

Podobně,

${ displaystyle B_ {6,3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 60x_ {3} x_ { 2} x_ {1} + 15x_ {2} ^ {3}}$

protože tam jsou

15 způsobů, jak rozdělit sadu 6 na 4 + 1 + 1,

60 způsobů rozdělení sady 6 na 3 + 2 + 1 a

15 způsobů, jak rozdělit sadu 6 na 2 + 2 + 2.

Vlastnosti

Generující funkce

Exponenciální parciální Bell polynomy lze definovat dvojitým rozšířením jeho generující funkce:

${ displaystyle { begin {aligned} Phi (t, u) & = exp left (u sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j} } {j!}} right) = sum _ {n geq k geq 0} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) { frac { t ^ {n}} {n!}} u ^ {k} & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} sum _ {k = 1} ^ {n} u ^ {k} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}). end {zarovnáno}}}$

Jinými slovy, tím, co je stejné, rozšířením řady k-tá síla:

${ displaystyle { frac {1} {k!}} vlevo ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} vpravo) ^ {k} = sum _ {n = k} ^ { infty} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) { frac {t ^ {n}} {n!}}, qquad k = 0,1,2, ldots}$

Kompletní exponenciální Bellův polynom je definován symbolem ${ displaystyle Phi (t, 1)}$, nebo jinými slovy:

${ displaystyle Phi (t, 1) = exp left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} vpravo ) = sum _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

To znamená, že n-tý úplný Bellův polynom je dán vztahem

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = vlevo. vlevo ({ frac { částečné} { částečné t}} vpravo) ^ {n} exp left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} right) right | _ {t = 0}.}$

Stejně tak obyčejný parciální Bell polynomial lze definovat generující funkcí

${ displaystyle { hat { Phi}} (t, u) = exp left (u sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} t ^ {j} right) = součet _ {n geq k geq 0} { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n} { frac {u ^ {k}} {k!}}.}$

Nebo ekvivalentně sériovým rozšířením k-tá síla:

${ displaystyle left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} t ^ {j} right) ^ {k} = sum _ {n = k} ^ { infty} { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n}.}$

Viz také generování transformací funkcí pro Bellův polynomiální generování funkcí rozšíření skladeb sekvence generující funkce a pravomoci, logaritmy, a exponenciály funkce generující sekvenci. Každý z těchto vzorců je citován v příslušných částech Comtet.^[1]

Vztahy opakování

Kompletní Bell polynomy mohou být opakovaně definováno jako

${ displaystyle B_ {n + 1} (x_ {1}, ldots, x_ {n + 1}) = součet _ {i = 0} ^ {n} {n zvolit i} B_ {ni} (x_ {1}, ldots, x_ {ni}) x_ {i + 1}}$

s počáteční hodnotou ${ displaystyle B_ {0} = 1}$.

Parciální Bell polynomy lze také efektivně vypočítat pomocí relace opakování:

${ displaystyle B_ {n, k} = součet _ {i = 1} ^ {n-k + 1} { binom {n-1} {i-1}} x_ {i} B_ {ni, k- 1},}$

kde

${ displaystyle B_ {0,0} = 1;}$

${ displaystyle B_ {n, 0} = 0 { text {for}} n geq 1;}$

${ displaystyle B_ {0, k} = 0 { text {for}} k geq 1.}$

Kompletní Bell polynomy také splňují následující diferenciální vzorec opakování:^[2]

${ displaystyle { begin {sladěno} B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = { frac {1} {n-1}} left [ sum _ {i = 2 } ^ {n} vpravo. & sum _ {j = 1} ^ {i-1} (i-1) { binom {i-2} {j-1}} x_ {j} x_ {ij} { frac { částečné B_ {n-1} (x_ {1}, dots, x_ {n-1})} { částečné x_ {i-1}}} [5 bodů] & vlevo. { } + sum _ {i = 2} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {i-1} { frac {x_ {i + 1}} { binom {i} {j}}} { frac { částečné ^ {2} B_ {n-1} (x_ {1}, tečky, x_ {n-1})} { částečné x_ {j} částečné x_ {ij}}} vpravo . [5pt] & left. {} + Sum _ {i = 2} ^ {n} x_ {i} { frac { částečné B_ {n-1} (x_ {1}, dots, x_ {n-1})} { částečné x_ {i-1}}} vpravo]. end {zarovnáno}}}$

Určující formy

Celý Bellův polynom lze vyjádřit jako determinanty:

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, tečky, x_ {n}) = det { begin {bmatrix} x_ {1} & {n-1 vyberte 1} x_ {2} & {n -1 vyberte 2} x_ {3} & {n-1 vyberte 3} x_ {4} & cdots & cdots & x_ {n} - 1 & x_ {1} & {n-2 vyberte 1 } x_ {2} & {n-2 vybrat 2} x_ {3} & cdots & cdots & x_ {n-1} 0 & -1 & x_ {1} & {n-3 zvolit 1} x_ {2} & cdots & cdots & x_ {n-2} 0 & 0 & -1 & x_ {1} & cdots & cdots & x_ {n-3} 0 & 0 & 0 & -1 & cdots & cdots & x_ {n-4} \ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & -1 & x_ {1} end {bmatrix}}}$

a

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = det { begin {bmatrix} { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & { Frac {x_ {3}} {2!}} & { Frac {x_ {4}} {3!}} & Cdots & cdots & { frac { x_ {n}} {(n-1)!}} - 1 & { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & { frac {x_ {3}} {2!}} & cdots & cdots & { frac {x_ {n-1}} {(n-2)!}} 0 & -2 & { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & cdots & cdots & { frac {x_ {n-2}} {(n-3 )!}} 0 & 0 & -3 & { frac {x_ {1}} {0!}} & Cdots & cdots & { frac {x_ {n-3}} {(n-4)! }} 0 & 0 & 0 & -4 & cdots & cdots & { frac {x_ {n-4}} {(n-5)!}} \ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & - (n-1) & { frac {x_ {1}} {0!}} end {bmatrix}}.}$

Stirlingova čísla a čísla Bell

Hodnota Bellova polynomu B_n,k(X₁,X₂, ...) o posloupnosti faktoriály rovná se nepodepsaný Stirlingovo číslo prvního druhu:

${ displaystyle B_ {n, k} (0!, 1!, tečky, (nk)!) = c (n, k) = | s (n, k) | = left [{n na vrcholu k} že jo].}$

Hodnota Bellova polynomu B_n,k(X₁,X₂, ...) na posloupnosti jedniček se rovná a Stirlingovo číslo druhého druhu:

${ displaystyle B_ {n, k} (1,1, tečky, 1) = S (n, k) = levý {{n nahoře k} pravý }.}$

Součet těchto hodnot udává hodnotu úplného Bellova polynomu v pořadí těchto:

${ displaystyle B_ {n} (1,1, tečky, 1) = součet _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (1,1, tečky, 1) = součet _ {k = 1} ^ {n} vlevo {{n nahoře k} vpravo },}$

který je nth Bell číslo.

Inverzní vztahy

Pokud definujeme

${ displaystyle y_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}),}$

pak máme inverzní vztah

${ displaystyle x_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} (y_ {1}, ldots , y_ {n-k + 1}).}$

Dotykové polynomy

Dotykový polynom ${ displaystyle T_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} levý {{n nahoře k} pravý } cdot x ^ {k}}$ lze vyjádřit jako hodnotu úplného Bellova polynomu na všech argumentech X:

${ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, tečky, x).}$

Konvoluční identita

Pro sekvence X_n, y_n, n = 1, 2, ..., definujte a konvoluce podle:

${ displaystyle (x { mathbin { diamondsuit}} y) _ {n} = součet _ {j = 1} ^ {n-1} {n zvolit j} x_ {j} y_ {n-j}.}$

Hranice součtu jsou 1 a n - 1, ne 0 a n .

Nechat ${ displaystyle x_ {n} ^ {k diamondsuit} ,}$ být nth termín posloupnosti

${ displaystyle displaystyle underbrace {x { mathbin { diamondsuit}} cdots { mathbin { diamondsuit}} x} _ {k { text {faktory}}}. ,}$

Pak^[3]

${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, tečky, x_ {n-k + 1}) = {x_ {n} ^ {k diamondsuit} přes k!}. ,}$

Pojďme například vypočítat ${ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2})}$. My máme

${ displaystyle x = (x_ {1} , x_ {2} , x_ {3} , x_ {4} , tečky)}$

${ displaystyle x { mathbin { diamondsuit}} x = (0, 2x_ {1} ^ {2} , 6x_ {1} x_ {2} , 8x_ {1} x_ {3} + 6x_ {2} ^ {2} , tečky)}$

${ displaystyle x { mathbin { diamondsuit}} x { mathbin { diamondsuit}} x = (0 , 0 , 6x_ {1} ^ {3} , 36x_ {1} ^ {2 } x_ {2} , tečky)}$

a tudíž,

${ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {(x { mathbin { diamondsuit}} x { mathbin { diamondsuit}} x) _ {4} } {3!}} = 6x_ {1} ^ {2} x_ {2}.}$

Jiné identity

• ${ displaystyle B_ {n, k} (1!, 2!, ldots, (n-k + 1)!) = { binom {n-1} {k-1}} { frac {n!} {k!}} = L (n, k)}$ což dává Lah číslo.
• ${ displaystyle B_ {n, k} (1,2,3, ldots, n-k + 1) = { binom {n} {k}} k ^ {n-k}}$ což dává idempotentní číslo.
• ${ displaystyle B_ {n, k} (- x_ {1}, x_ {2}, - x_ {3}, ldots, (- 1) ^ {nk} x_ {n-k + 1}) = (- 1) ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {n-k + 1})}$ a ${ displaystyle B_ {n} (- x_ {1}, x_ {2}, - x_ {3}, ldots, (- 1) ^ {n-1} x_ {n}) = (- 1) ^ { n} B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {n})}$.
• Kompletní Bell polynomy splňují vztah binomického typu:

  ${ displaystyle B_ {n} (x_ {1} + y_ {1}, ldots, x_ {n} + y_ {n}) = součet _ {i = 0} ^ {n} {n zvolit i} B_ {ni} (x_ {1}, ldots, x_ {ni}) B_ {i} (y_ {1}, ldots, y_ {i}),}$

  ${ displaystyle B_ {n, k} { Bigl (} { frac {x_ {q + 1}} { binom {q + 1} {q}}}, { frac {x_ {q + 2}} { binom {q + 2} {q}}}, ldots { Bigr)} = { frac {n! (q!) ^ {k}} {(n + qk)!}} B_ {n + qk, k} ( ldots, 0,0, x_ {q + 1}, x_ {q + 2}, ldots).}$

To opravuje opomenutí faktoru ${ displaystyle (q!) ^ {k}}$ v Comtetově knize.^[4]

• Když ${ displaystyle 1 leq a$,

${ displaystyle B_ {n, na} (x_ {1}, ldots, x_ {a + 1}) = sum _ {j = a + 1} ^ {2a} { frac {j!} {a! }} { binom {n} {j}} (x_ {1}) ^ {nj} B_ {a, ja} { Bigl (} { frac {x_ {2}} {2}}, { frac {x_ {3}} {3}}, ldots, { frac {x_ {2 (a + 1) -j}} {2 (a + 1) -j}} { Bigr)}.}$

• Zvláštní případy částečných Bell polynomů:

${ displaystyle { begin {seřazeno} B_ {n, 1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = {} & x_ {n} [8pt] B_ {n, 2} (x_ { 1}, ldots, x_ {n-1}) = {} & { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} { binom {n} {k} } x_ {k} x_ {nk} [8pt] B_ {n, n} (x_ {1}) = {} & (x_ {1}) ^ {n} [8pt] B_ {n, n -1} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & { binom {n} {2}} (x_ {1}) ^ {n-2} x_ {2} [8 bodů] B_ {n, n-2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {} & { binom {n} {3}} (x_ {1}) ^ {n-3} x_ {3} +3 { binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} (x_ {2}) ^ {2} [8 bodů] B_ {n, n-3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & { binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} x_ {4 } +10 { binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {2} x_ {3} +15 { binom {n} {6}} (x_ {1} ) ^ {n-6} (x_ {2}) ^ {3} [8pt] B_ {n, n-4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} , x_ {5}) = {} & { binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {5} +5 { binom {n} {6}} (x_ {1}) ^ {n-6} { bigl [} 3x_ {2} x_ {4} +2 (x_ {3}) ^ {2} { bigr]} + 105 { binom {n} {7 }} (x_ {1}) ^ {n-7} (x_ {2}) ^ {2} x_ {3} {} & {} + 105 { binom {n} {8}} (x_ { 1}) ^ {n-8} (x_ {2}) ^ {4}. End {zarovnáno}}}$

Příklady

Prvních několik úplných Bell polynomů je:

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {0} = {} & 1, [8pt] B_ {1} (x_ {1}) = {} & x_ {1}, [8pt] B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & x_ {1} ^ {2} + x_ {2}, [8pt] B_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3}) = {} & x_ {1} ^ {3} + 3x_ {1} x_ {2} + x_ {3}, [8 bodů] B_ {4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & x_ {1} ^ {4} + 6x_ {1} ^ {2} x_ {2} + 4x_ {1} x_ {3} + 3x_ {2} ^ {2 } + x_ {4}, [8 bodů] B_ {5} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} & x_ {1} ^ {5} + 10x_ {2} x_ {1} ^ {3} + 15x_ {2} ^ {2} x_ {1} + 10x_ {3} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} x_ {2 } + 5x_ {4} x_ {1} + x_ {5} [8 bodů] B_ {6} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) = {} & x_ {1} ^ {6} + 15x_ {2} x_ {1} ^ {4} + 20x_ {3} x_ {1} ^ {3} + 45x_ {2} ^ {2 } x_ {1} ^ {2} + 15x_ {2} ^ {3} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} & {} + 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} ^ {2} + 15x_ {4} x_ {2} + 6x_ {5} x_ {1} + x_ {6}, [8 bodů] B_ {7} (x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}, x_ {7}) = {} & x_ {1} ^ {7} + 21x_ {1} ^ {5} x_ {2 } + 35x_ {1} ^ {4} x_ {3} + 105x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2} + 35x_ {1} ^ {3} x_ {4} & {} + 210x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + 105x_ {1} x_ {2} ^ {3} + 21x_ {1} ^ {2} x_ {5} + 105x_ {1} x_ {2 } x_ {4} & {} + 70x_ {1} x_ {3} ^ {2} + 105x_ {2} ^ {2} x_ {3} + 7x_ {1} x_ {6} + 21x_ {2} x_ {5} + 35x_ {3} x_ {4} + x_ {7}. end {zarovnáno}}}$

Aplikace

Vzorec Faà di Bruno

Vzorec Faà di Bruno lze říci z Bellových polynomů následovně:

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) B_ {n, k} left (g '(x), g' '(x), dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) right).}$

Podobně lze uvést výkonovou řadu vzorce Faà di Bruno pomocí Bellových polynomů následujícím způsobem. Předpokládat

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} nad n!} x ^ {n} qquad { text {a}} qquad g (x ) = suma _ {n = 1} ^ { infty} {b_ {n} nad n!} x ^ {n}.}$

Pak

${ displaystyle g (f (x)) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { součet _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, dots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n}.}$

Zejména úplné Bell polynomy se objevují v exponenciálu a formální mocenské řady:

${ displaystyle exp left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} {a_ {i} over i!} x ^ {i} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} {B_ {n} (a_ {1}, dots, a_ {n}) přes n!} x ^ {n},}$

který také představuje exponenciální generující funkce úplných Bellových polynomů na pevné posloupnosti argumentů ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky}$.

Obrácení série

Nechť dvě funkce F a G být vyjádřen ve formálních mocninných řadách jako

${ displaystyle f (w) = součet _ {k = 0} ^ { infty} f_ {k} { frac {w ^ {k}} {k!}}, qquad { text {a}} qquad g (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} g_ {k} { frac {z ^ {k}} {k!}},}$

takhle G je kompoziční inverzní funkce k F definován G(F(w)) = w nebo F(G(z)) = z. Li F₀ = 0 a F₁ ≠ 0, pak může být dána explicitní forma koeficientů inverze z hlediska Bellových polynomů jako^[5]

${ displaystyle g_ {n} = { frac {1} {f_ {1} ^ {n}}} součet _ {k = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} n ^ { bar {k}} B_ {n-1, k} ({ hat {f}} _ {1}, { hat {f}} _ {2}, ldots, { hat {f}} _ {nk}), qquad n geq 2,}$

s ${ displaystyle { hat {f}} _ {k} = { frac {f_ {k + 1}} {(k + 1) f_ {1}}},}$ a ${ displaystyle n ^ { bar {k}} = n (n + 1) cdots (n + k-1)}$ je rostoucí faktoriál a ${ displaystyle g_ {1} = { frac {1} {f_ {1}}}.}$

Asymptotická expanze integrálů Laplaceova typu

Zvažte integrál formuláře

${ displaystyle I ( lambda) = int _ {a} ^ {b} e ^ {- lambda f (x)} g (x) , mathrm {d} x,}$

kde (A,b) je skutečný (konečný nebo nekonečný) interval, λ je velký kladný parametr a funkce F a G jsou spojité. Nechat F mít jediné minimum v [A,b] který se vyskytuje v X = A. Předpokládejme, že jako X → A⁺,

${ displaystyle f (x) sim f (a) + součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (x-a) ^ {k + alpha},}$

${ displaystyle g (x) sim sum _ {k = 0} ^ { infty} b_ {k} (x-a) ^ {k + beta -1},}$

s α > 0, Re (β)> 0; a že rozšíření F lze rozlišit termíny. Potom Laplaceova-Erdelyiova věta uvádí, že asymptotická expanze integrálu Já(λ) darováno

${ displaystyle I ( lambda) sim e ^ {- lambda f (a)} součet _ {n = 0} ^ { infty} gama { velký (} { frac {n + beta} { alpha}} { Big)} { frac {c_ {n}} { lambda ^ {(n + beta) / alpha}}} qquad { text {as}} quad lambda rightarrow infty,}$

kde koeficienty C_n jsou vyjádřitelné z hlediska A_n a b_n pomocí částečného obyčejný Polynomy zvonu, jak je dáno vzorcem Campbell – Froman – Walles – Wojdylo:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} { alfa a_ {0} ^ {(n + beta) / alpha}}} sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {nk} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {- { frac {n + beta} { alpha}}} {j}} { frac {1} {a_ {0} ^ {j} }} { hat {B}} _ {k, j} (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k-j + 1}).}$

Symetrické polynomy

The elementární symetrický polynom ${ displaystyle e_ {n}}$ a výkonový součet symetrický polynom ${ displaystyle p_ {n}}$ lze navzájem souviset pomocí Bellových polynomů jako:

${ displaystyle { begin {aligned} e_ {n} & = { frac {1} {n!}} ; B_ {n} (p_ {1}, - 1! p_ {2}, 2! p_ { 3}, - 3! P_ {4}, ldots, (- 1) ^ {n-1} (n-1)! P_ {n}) & = { frac {(-1) ^ {n }} {n!}} ; B_ {n} (- p_ {1}, - 1! p_ {2}, - 2! p_ {3}, - 3! p_ {4}, ldots, - (n -1)! P_ {n}), end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} p_ {n} & = { frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} součet _ {k = 1} ^ {n } (- 1) ^ {k-1} (k-1)! ; B_ {n, k} (e_ {1}, 2! E_ {2}, 3! E_ {3}, ldots, (n -k + 1)! e_ {n-k + 1}) & = (- 1) ^ {n} ; n ; sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} ; { hat {B}} _ {n, k} (- e_ {1}, dots, -e_ {n-k + 1}). end {zarovnáno}}}$

Tyto vzorce umožňují člověku vyjádřit koeficienty monických polynomů ve smyslu Bellových polynomů jeho nul. Například společně s Cayley-Hamiltonova věta vedou k vyjádření determinantu a n × n čtvercová matice A pokud jde o stopy jeho pravomocí:

${ displaystyle det (A) = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} B_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n}) , ~ qquad { text {where}} s_ {k} = - (k-1)! operatorname {tr} (A ^ {k}).}$

Index cyklu symetrických skupin

The index cyklu z symetrická skupina ${ displaystyle S_ {n}}$ lze vyjádřit z hlediska úplných Bellových polynomů následovně:

${ displaystyle Z (S_ {n}) = { frac {B_ {n} (0! , a_ {1}, 1! , a_ {2}, tečky, (n-1)! , a_ {n})} {n!}}.}$

Okamžiky a kumulanty

Součet

${ displaystyle mu _ {n} '= B_ {n} ( kappa _ {1}, tečky, kappa _ {n}) = součet _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} ( kappa _ {1}, dots, kappa _ {n-k + 1})}$

je nth syrové okamžik a rozdělení pravděpodobnosti jehož první n kumulanty jsou κ₁, ..., κ_n. Jinými slovy nten okamžik je nprvní Bellův polynom vyhodnocen na prvním místě n kumulanty. Stejně tak nth cumulant lze dát, pokud jde o momenty jako

${ displaystyle kappa _ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} ( mu '_ { 1}, ldots, mu '_ {n-k + 1}).}$

Hermitovy polynomy

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy lze vyjádřit pomocí Bellových polynomů jako

${ displaystyle operatorname {He} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, ldots, 0),}$

kde X_i = 0 pro všechny i > 2; což umožňuje kombinatorickou interpretaci koeficientů Hermitových polynomů. To lze vidět porovnáním generující funkce Hermitových polynomů

${ displaystyle exp left (xt - { frac {t ^ {2}} {2}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} operatorname {He} _ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}}$

s Bellovými polynomy.

Reprezentace polynomiálních sekvencí binomického typu

Pro libovolnou sekvenci A₁, A₂, …, A_n skalárů, pojďme

${ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (a_ {1}, tečky, a_ {n-k + 1}) x ^ { k}.}$

Pak je tato polynomiální sekvence binomický typ, tj. uspokojuje binomickou identitu

${ displaystyle p_ {n} (x + y) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} p_ {k} (x) p_ {n-k} (y).}$

Příklad: Pro A₁ = … = A_n = 1, polynomy ${ displaystyle p_ {n} (x)}$ zastupovat Dotykové polynomy.

Obecněji máme tento výsledek:

Teorém: Všechny polynomiální sekvence binomického typu jsou této formy.

Pokud definujeme formální mocenskou řadu

${ displaystyle h (x) = součet _ {k = 1} ^ { infty} {a_ {k} nad k!} x ^ {k},}$

pak pro všechny n,

${ displaystyle h ^ {- 1} left ({d over dx} right) p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x).}$

Software

Polynomy zvonu jsou implementovány v:

• Mathematica tak jako Břicho
• Javor tak jako IncompleteBellB
• SageMath tak jako bell_polynomial

Viz také

• Bell matrix
• Exponenciální vzorec

Poznámky

Reference