Lehmerova matice - Lehmer matrix

v matematika, zejména teorie matic, n × n Lehmerova matice (pojmenoval podle Derrick Henry Lehmer ) je konstanta symetrická matice definován

${displaystyle A_ {ij} = {egin {cases} i / j, & jgeq i j / i, & j$

Alternativně to může být napsáno jako

${displaystyle A_ {ij} = {frac {{mbox {min}} (i, j)} {{mbox {max}} (i, j)}}.}$

Vlastnosti

Jak je vidět v sekci příklady, pokud A je n × n Lehmerova matice a B je m × m Lehmerova matice tedy A je submatice z B kdykoli m>n. Hodnoty prvků se zmenšují směrem k nule od úhlopříčky, kde všechny prvky mají hodnotu 1.

The inverzní Lehmerovy matice je a tridiagonální matice, Kde superdiagonální a subdiagonální mít přísně negativní záznamy. Zvažte znovu n × n A a m × m B Lehmerovy matice, kde m>n. Docela zvláštní vlastností jejich inverzí je to A⁻¹ je téměř submatice B⁻¹, s výjimkou A⁻¹_{n, n} prvek, který se nerovná B⁻¹_{n, n}.

Lehmerova matice řádu n má stopa n.

Příklady

Níže jsou uvedeny Lehmerovy matice 2 × 2, 3 × 3 a 4 × 4 a jejich inverze.

${displaystyle {egin {array} {lllll} A_ {2} = {egin {pmatrix} 1 & 1/2 1/2 & 1end {pmatrix}}; & A_ {2} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 4/3 & -2/3 -2 / 3 & {color {Brown} {mathbf {4/3}}} end {pmatrix}}; A_ {3} = {egin {pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 1/2 & 1 & 2 / 3 1/3 & 2/3 & 1end {pmatrix}}; & A_ {3} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 4/3 & -2 / 3 & - 2/3 & 32/15 & -6 / 5 & - 6 / 5 & {color {Brown} {mathbf {9/5}}} end {pmatrix}}; A_ {4} = {egin {pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 & 1/4 1/2 & 1 & 2/3 & 1/2 1/3 & 2/3 & 1 & 3/4 1/4 & 1/2 & 3/4 & 1end {pmatrix}}; & A_ {4} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 4/3 & -2 / 3 && - 2/3 & 32/15 & - 6/5 & & - 6/5 & 108/35 & -12 / 7 && - 12/7 & {color {Brown} {mathbf {16/7}}} end {pmatrix}}. End {array}}}$

Viz také

• Derrick Henry Lehmer
• Hilbertova matice

Reference

• M. Newman a J. Todd, Hodnocení programů inverze matic, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, svazek 6, 1958, strany 466-476.