Komutační matice - Commutation matrix

v matematika, speciálně v lineární algebra a teorie matic, komutační matice se používá pro transformaci vektorizovaný forma a matice do vektorizované podoby přemístit. Konkrétně komutační matice K.^{(m, n)} je nm × mn matice, která pro všechny m × n matice A, transformuje vec (A) do vec (A^T):

K.^{(m, n)} vec (A) = vec (A^T) .

Zde vec (A) je mn × 1 vektor sloupce získat skládáním sloupců A nad sebou:

vec (A) = [ A_1,1, ..., A_{m, 1}, A_1,2, ..., A_{m, 2}, ..., A_{1, č}, ..., A_{m, n} ]^T

kde A = [A_{já, j}].

Komutační matice je speciální typ permutační matice, a proto je ortogonální. Výměna A s A^T v definici komutační matice to ukazuje K.^{(m, n)} = (K.^{(n, m)})^T. Proto ve zvláštním případě m = n komutační matice je involuce a symetrický.

Hlavní použití komutační matice a zdroje jejího názvu je dojíždění Produkt Kronecker: pro každého m × n matice A a každý r × q matice B,

K.^{(r, m)}(A ${zobrazovací doba}$ B)K.^{(n, q)} = B ${zobrazovací doba}$ A.

Hodně se používá při vývoji statistik vyššího řádu kovariančních matic Wishart.^[1]

Explicitní forma pro komutační matici je následující: if E_{r, j} označuje j-tý kanonický vektor dimenze r (tj. vektor s 1 v j-té souřadnici a 0 jinde)

K.^{(r, m)} = ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r}}$${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {m}}$(E_{r, i}E_{m, j}^T)${zobrazovací doba}$(E_{m, j}E_{r, i}^T).

Příklad

Nechat M být čtvercová matice 2x2.

${displaystyle mathbf {M} = {egin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$

Pak máme

${displaystyle operatorname {vec} (mathbf {M}) = {egin {bmatrix} a c b d end {bmatrix}}}$

A K.^(2,2) je čtvercová matice 4x4, která transformuje vec (M) do vec (M^T)

${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} a c b d end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} a b c d end {bmatrix}} = operatorname {vec} (mathbf {M} ^ {T})}$

Pro čtvercové i obdélníkové matice ${displaystyle M {ext {řádky a}} N}$ sloupce, komutační matice může být generována tímto obecným pseudokódem, který je podobný článku na StackExchange.com^[2] a prokazatelně dává správný výsledek, i když je uveden bez důkazu.

 pro i = 1 až M pro j = 1 až N K (i + M * (j - 1), j + N * (i - 1)) = 1 konec konec

Tedy následující ${displaystyle 3 imes 2 {ext {matrix}} A}$ má dvě možné vektorizace následujícím způsobem:

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end {bmatrix}}, ;;;; V1 = mathbf {vec (A)} = {egin {bmatrix} 1 2 3 4 5 6 end {bmatrix}}, ;;;;; V2 = mathbf {vec (A ^ {T})} = {egin {bmatrix} 1 4 2 5 3 6 end {bmatrix}}}$

a výše uvedený kód poskytuje

${Displaystyle K = {Egin {bmatrix} 1 cdot a cdot a cdot a cdot a cdot & cdot a cdot & 1 & cdot a cdot a cdot & cdot a cdot a cdot a cdot & 1 & cdot & cdot & 1 & cdot a cdot a cdot a cdot & cdot a cdot a cdot & 1 & cdot a cdot & cdot a cdot a cdot a cdot a cdot & 1 & end {bmatrix}}}$

dává očekávané výsledky

${displaystyle K ^ {T} K = KK ^ {T} = mathbf {I} _ {6 obrázků 6}}$

${displaystyle K ^ {T} je V1 = V2}$

${displaystyle K imes V2 = V1}$

Reference

• Jan R. Magnus a Heinz Neudecker (1988), Maticový diferenciální počet s aplikacemi ve statistice a ekonometriiWiley.

Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.