Gell-Mannovy matice - Gell-Mann matrices

The Gell-Mannovy matice, vyvinutý společností Murray Gell-Mann, jsou sada osmi lineárně nezávislé 3×3 bez stopy Hermitovské matice použitý při studiu silná interakce v částicová fyzika Rozpínají se Lež algebra z SU (3) skupina v definující reprezentaci.

Matice

${ displaystyle lambda _ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {2} = { begin {pmatrix} 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {3} = { začátek {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle lambda _ {4} = { začátek {pmatrix} 0 a 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 konec {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {5} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & -i 0 & 0 & 0 i & 0 & 0 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle lambda _ {6} = { begin {pmatrix} 0 a 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {7} = { begin {pmatrix} 0 a 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {8} = { frac {1} { sqrt {3}}} { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 end {pmatrix}}.}$

Vlastnosti

Tyto matice jsou bez stopy, Hermitian (aby mohli generovat unitární matice seskupení prvků prostřednictvím umocňování) a dodržujte zvláštní vztah trasování nebo normality. Tyto vlastnosti vybral Gell-Mann, protože pak přirozeně zobecňují Pauliho matice pro SU (2) na SU (3), který tvořil základ pro Gell-Mann tvarohový model. Gell-Mannova generalizace dále rozšiřuje na obecnou SU (n). Pro jejich připojení k standardní základ Lieových algeber, viz Weyl – Cartan.

Trasování ortonormality

V matematice ortonormalita obvykle znamená normu, která má hodnotu jednoty (1). Gell-Mannovy matice jsou však normalizovány na hodnotu 2. Tedy, stopa výsledkem párového produktu je stav orto-normalizace

{ displaystyle operatorname {tr} ( lambda _ {i} lambda _ {j}) = 2 delta _ {ij},}

kde ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta.

To je tak vložená Pauliho matice odpovídající třem vloženým subalgebrám SU(2) jsou běžně normalizovány. V této trojrozměrné maticové reprezentaci je Cartan subalgebra je sada lineárních kombinací (se skutečnými koeficienty) dvou matic ${ displaystyle lambda _ {3}}$ a ${ displaystyle lambda _ {8}}$ , kteří mezi sebou dojíždějí.

Existují tři nezávislé SU (2) subalgebry:

${ displaystyle { lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} }}$
${ displaystyle { lambda _ {4}, lambda _ {5}, x },}$ a
${ displaystyle { lambda _ {6}, lambda _ {7}, y },}$

Kde $X$ a $y$ jsou lineární kombinace ${ displaystyle lambda _ {3}}$ a ${ displaystyle lambda _ {8}}$ . SU (2) Kazimíry těchto subalgeber vzájemně dojíždějí.

Jakákoli transformace jednotné podobnosti těchto subalgeber však přinese subalgebry SU (2). Takových transformací je nespočetné množství.

Komutační vztahy

8 generátorů SU (3) vyhovuje komutační a anti-komutační vztahy^[1]

{ displaystyle { begin {aligned} left [ lambda _ {a}, lambda _ {b} right] & = 2i sum _ {c} f ^ {abc} lambda _ {c}, { lambda _ {a}, lambda _ {b} } & = { frac {4} {3}} delta _ {ab} I + 2 sum _ {c} d ^ {abc} lambda _ {c}, end {zarovnáno}}}

s strukturní konstanty

{ displaystyle { begin {aligned} f ^ {abc} & = - { frac {1} {4}} i operatorname {tr} ( lambda _ {a} [ lambda _ {b}, lambda _ {c}]), d ^ {abc} & = { frac {1} {4}} operatorname {tr} ( lambda _ {a} { lambda _ {b}, lambda _ {c} }). end {zarovnáno}}}

The strukturní konstanty ${ displaystyle f ^ {abc}}$ jsou ve všech třech indexech zcela antisymetrické, což zobecňuje antisymetrii indexu Symbol Levi-Civita ${ displaystyle epsilon _ {jkl}}$ z $SU (2)$ . Pro současné pořadí Gell-Mannových matic berou hodnoty

{ displaystyle f ^ {123} = 1 , quad f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246} = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = { frac {1} {2}} , quad f ^ {458} = f ^ {678} = { frac { sqrt {3}} {2}} .}

Obecně platí, že se hodnotí na nulu, pokud neobsahují lichý počet indexů ze sady {2,5,7}, odpovídající antisymetrickému (imaginárnímu) $λ$ s.

Pomocí těchto komutačních vztahů lze produkt matic Gell-Mann zapsat jako

{ displaystyle lambda _ {a} lambda _ {b} = { frac {1} {2}} ([ lambda _ {a}, lambda _ {b}] + { lambda _ {a }, lambda _ {b} }) = { frac {2} {3}} delta _ {ab} I + sum _ {c} left (d ^ {abc} + if ^ {abc} vpravo) lambda _ {c},}

kde $Já$ je matice identity.

Fierzovy vztahy úplnosti

Vzhledem k tomu, že osm matic a identita jsou úplnou stopovou ortogonální sadou zahrnující všechny matice 3 × 3, je snadné najít dvě Fierzovy vztahy úplnosti, (Li & Cheng, 4,134), analogicky k tomu spokojeni Pauliho maticemi. Konkrétně pomocí tečky k součtu nad osmi maticemi a pomocí řeckých indexů pro jejich řádkové / sloupcové indexy platí následující identity,

{ displaystyle delta _ { beta} ^ { alpha} delta _ { delta} ^ { gamma} = { frac {1} {3}} delta _ { delta} ^ { alpha} delta _ { beta} ^ { gamma} + { frac {1} {2}} lambda _ { delta} ^ { alpha} cdot lambda _ { beta} ^ { gamma}}

a

{ displaystyle lambda _ { beta} ^ { alpha} cdot lambda _ { delta} ^ { gamma} = { frac {16} {9}} delta _ { delta} ^ { alpha} delta _ { beta} ^ { gamma} - { frac {1} {3}} lambda _ { delta} ^ { alpha} cdot lambda _ { beta} ^ { gamma } ~.}

Jeden může upřednostňovat přepracovanou verzi, která je výsledkem lineární kombinace výše uvedeného,

{ displaystyle lambda _ { beta} ^ { alpha} cdot lambda _ { delta} ^ { gamma} = 2 delta _ { delta} ^ { alpha} delta _ { beta} ^ { gamma} - { frac {2} {3}} delta _ { beta} ^ { alpha} delta _ { delta} ^ { gamma} ~.}

Teorie reprezentace

Konkrétní volba matic se nazývá a skupinové zastoupení, protože jakýkoli prvek SU (3) lze zapsat do formuláře ${ displaystyle mathrm {exp} (i theta ^ {j} g_ {j})}$ , kde osm ${ displaystyle theta ^ {j}}$ jsou reálná čísla a součet nad indexem $j$ je implicitní. Vzhledem k jednomu zastoupení lze ekvivalentní získat libovolnou transformací jednotné podobnosti, protože komutátor zůstane beze změny.

Matice mohou být realizovány jako reprezentace nekonečně malé generátory z speciální jednotná skupina volala SU (3). The Lež algebra této skupiny (ve skutečnosti skutečná Lieova algebra) má dimenzi osm, a proto má nějakou množinu s osmi lineárně nezávislé generátory, které lze zapsat jako ${ displaystyle g_ {i}}$ , s i přičemž hodnoty od 1 do 8.

Provozovatelé kasimírů a invarianty

Čtvercový součet Gell-Mannových matic dává kvadratický Provozovatel kasimíru, invariant skupiny,

{ displaystyle C = sum _ {i = 1} ^ {8} lambda _ {i} lambda _ {i} = { frac {16} {3}} I}

kde ${ displaystyle I ,}$ je matice identity 3 × 3. Existuje další, nezávislý, kubický operátor Casimir, také.

Přihláška do kvantová chromodynamika

Tyto matice slouží ke studiu vnitřních (barevných) rotací gluonová pole spojené s barevnými kvarky z kvantová chromodynamika (srov. barvy gluonu ). Rotace barev měřidla je prvek skupiny SU (3) závislý na časoprostoru ${ displaystyle U = exp (i theta ^ {k} ({ mathbf {r}}, t) lambda _ {k} / 2)}$ , kde součet přes osm indexů $k$ je implicitní.

Viz také

Reference

^ Haber, Howard. "Vlastnosti Gell-Mannových matic" (PDF). Fyzika 251 Skupinová teorie a moderní fyzika. VIDÍŠ. Santa Cruz. Citováno 1. dubna 2019.

Gell-Mann, Murray (01.02.1962). „Symetrie baryonů a mezonů“. Fyzický přehled. Americká fyzická společnost (APS). 125 (3): 1067–1084. doi:10.1103 / fyzrev.125.1067. ISSN 0031-899X.
Cheng, T.-P .; Li, L.-F. (1983). Teorie měřidla fyziky elementárních částic. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
Georgi, H. (1999). Lie Algebry v částicové fyzice (2. vyd.). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4.
Arfken, G. B .; Weber, H. J .; Harris, F. E. (2000). Matematické metody pro fyziky (7. vydání). Akademický tisk. ISBN 978-0-12-384654-9.
Kokkedee, J. J. J. (1969). Quarkův model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391.

[gellmann17-1] Haber, Howard. "Vlastnosti Gell-Mannových matic" (PDF). Fyzika 251 Skupinová teorie a moderní fyzika. VIDÍŠ. Santa Cruz. Citováno 1. dubna 2019.

[1]