Hilbertova matice - Hilbert matrix

v lineární algebra, a Hilbertova matice, představil Hilbert  (1894 ), je čtvercová matice přičemž záznamy jsou jednotkové zlomky

${ displaystyle H_ {ij} = { frac {1} {i + j-1}}.}$

Například toto je Hilbertova matice 5 × 5:

${ displaystyle H = { begin {bmatrix} 1 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & { frac {1 } {5}} { frac {1} {2}} & { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & { frac {1} {5}} & { frac {1} {6}} { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & { frac {1} {5}} & { frac { 1} {6}} & { frac {1} {7}} { frac {1} {4}} & { frac {1} {5}} & { frac {1} {6} } & { frac {1} {7}} & { frac {1} {8}} { frac {1} {5}} & { frac {1} {6}} & { frac {1} {7}} & { frac {1} {8}} & { frac {1} {9}} end {bmatrix}}.}$

Hilbertovu matici lze považovat za odvozenou od integrálu

${ displaystyle H_ {ij} = int _ {0} ^ {1} x ^ {i + j-2} , dx,}$

to znamená jako Gramianova matice pro pravomoci X. Vzniká v nejmenší čtverce aproximace libovolných funkcí pomocí polynomy.

Hilbertovy matice jsou kanonickými příklady špatně podmíněný matice, které jsou notoricky obtížné používat při numerických výpočtech. Například 2-norma číslo podmínky výše uvedené matice je asi 4,8×10⁵.

Historická poznámka

Hilbert (1894) představil Hilbertovu matici ke studiu následující otázky v teorie aproximace: "Předpokládat, že Já = [A, b], je skutečný interval. Je tedy možné najít nenulový polynom P s integrálními koeficienty, takže integrál

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} P (x) ^ {2} dx}$

je menší než jakákoli daná vazba ε > 0, považováno za libovolně malé? “K zodpovězení této otázky odvodí Hilbert přesný vzorec pro určující Hilbertových matic a zkoumá jejich asymptotiku. Došel k závěru, že odpověď na jeho otázku je kladná, pokud jde o délku b − A intervalu je menší než 4.

Vlastnosti

Hilbertova matice je symetrický a pozitivní určitý. Hilbertova matice je také naprosto pozitivní (což znamená, že determinant každého submatice je pozitivní).

Hilbertova matice je příkladem a Hankelova matice. Je to také konkrétní příklad a Cauchyova matice.

Determinant lze vyjádřit v uzavřená forma, jako zvláštní případ Cauchyho determinant. Determinant n × n Hilbertova matice je

${ displaystyle det (H) = { frac {c_ {n} ^ {4}} {c_ {2n}}},}$

kde

${ displaystyle c_ {n} = prod _ {i = 1} ^ {n-1} i ^ {n-i} = prod _ {i = 1} ^ {n-1} i !.}$

Hilbert již zmínil zvláštní skutečnost, že determinant Hilbertovy matice je převrácená hodnota celého čísla (viz posloupnost OEIS: A005249 v OEIS ), což rovněž vyplývá z totožnosti

${ displaystyle { frac {1} { det (H)}} = { frac {c_ {2n}} {c_ {n} ^ {4}}} = n! cdot prod _ {i = 1 } ^ {2n-1} { binom {i} {[i / 2]}}.}$

Použitím Stirlingova aproximace z faktoriál, lze stanovit následující asymptotický výsledek:

${ displaystyle det (H) = a_ {n} , n ^ {- 1/4} (2 pi) ^ {n} , 4 ^ {- n ^ {2}},}$

kde A_n konverguje ke konstantě ${ displaystyle e ^ {1/4} , 2 ^ {1/12} , A ^ {- 3} přibližně 0,6450}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$, kde A je Konstanta Glaisher – Kinkelin.

The inverzní Hilbertovy matice lze vyjádřit v uzavřené formě pomocí binomické koeficienty; jeho položky jsou

${ displaystyle (H ^ {- 1}) _ {ij} = (- 1) ^ {i + j} (i + j-1) { binom {n + i-1} {nj}} { binom {n + j-1} {ni}} { binom {i + j-2} {i-1}} ^ {2},}$

kde n je pořadí matice.^[1] Z toho vyplývá, že položky inverzní matice jsou všechna celá čísla a že znaménka tvoří šachovnicový vzor, ​​který je na hlavní úhlopříčce pozitivní. Například,

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & { frac {1} { 5}} { frac {1} {2}} & { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & { frac {1} {5}} & { frac {1} {6}} { frac {1} {3}} & { frac {1} {4}} & { frac {1} {5}} & { frac {1} {6}} & { frac {1} {7}} { frac {1} {4}} & { frac {1} {5}} & { frac {1} {6}} & { frac {1} {7}} & { frac {1} {8}} { frac {1} {5}} & { frac {1} {6}} & { frac {1 } {7}} & { frac {1} {8}} & { frac {1} {9}} end {bmatrix}} ^ {- 1} = left [{ begin {array} {rrrrr } 25 & -300 a 1050 & -1400 & 630 - 300 & 4800 & -18900 & 26880 & -12600 1050 & -18900 & 79380 & -117600 & 56700 - 1400 & 26880 & -117600 & 179200 & -88200 630 & -12600 & 56700 & -88200}$

Číslo podmínky n × n Hilbertova matice roste jako ${ displaystyle O left ( left (1 + { sqrt {2}} right) ^ {4n} / { sqrt {n}} right)}$.

Aplikace

The metoda momentů aplikovaný na polynomiální distribuce má za následek a Hankelova matice, což ve zvláštním případě aproximace rozdělení pravděpodobnosti na intervalu [0,1] vede k Hilbertově matici. Tuto matici je třeba převrátit, abychom získali váhové parametry aproximace distribuce polynomu.^[2]

Reference

Další čtení

• Hilbert, David (1894), „Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms“, Acta Mathematica, 18: 155–159, doi:10.1007 / BF02418278, ISSN  0001-5962, JFM  25.0817.02. Přetištěno Hilbert, David. „článek 21“. Shromážděné papíry. II.
• Beckermann, Bernhard (2000). „Počet podmínek skutečných matic Vandermonde, Krylov a kladných konečných Hankelových matic“. Numerische Mathematik. 85 (4): 553–577. CiteSeerX  10.1.1.23.5979. doi:10.1007 / PL00005392.
• Choi, M.-D. (1983). "Triky nebo lahůdky s Hilbertovou maticí". Americký matematický měsíčník. 90 (5): 301–312. doi:10.2307/2975779. JSTOR  2975779.
• Todd, John (1954). „Číslo podmínky konečného segmentu Hilbertovy matice“. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109–116.
• Wilf, H. S. (1970). Konečné úseky některých klasických nerovností. Heidelberg: Springer. ISBN  978-3-540-04809-1.