Normální matice - Normal matrix
V matematice, a komplex čtvercová matice A je normální Pokud si to dojíždí s jeho konjugovat transponovat A*:
Koncept normálních matic lze rozšířit na normální operátoři na nekonečné dimenzionální normované prostory a na normální prvky v C * -algebry. Stejně jako v případě matice platí, že normálnost znamená, že komutativita je zachována, pokud je to možné, v nekomutativním prostředí. Díky tomu jsou normální operátoři a normální prvky C * -algebry přístupnější analýze.
The spektrální věta uvádí, že matice je normální, právě když je jednotně podobné do a diagonální matice, a tedy libovolnou matici A splnění rovnice A*A = AA* je úhlopříčně.
Speciální případy
Mezi složitými maticemi všechny unitární, Hermitian, a šikmo-poustevník matice jsou normální. Stejně tak mezi skutečnými maticemi všechny ortogonální, symetrický, a šikmo symetrický matice jsou normální. Ale je ne v případě, že všechny normální matice jsou buď unitární, nebo (šikmo) Hermitian. Například,
není ani unitární, Hermitian, ani šikmo-Hermitian, přesto je to normální, protože
Důsledky
- Tvrzení: Normální trojúhelníková matice je úhlopříčka.
- Důkaz: Nechte A být libovolná normální horní trojúhelníková matice. Od té doby
- (A*A)ii = (AA*)ii,
- pomocí dolního zápisu lze napsat ekvivalentní výraz pomocí ivektor té jednotky () vyberte ith řádek a ith sloupec:
- Výraz
- je ekvivalentní, a tak je
- což ukazuje, že itento řádek musí mít stejnou normu jako ith sloupec.
- Zvážit i = 1. První položka řádku 1 a sloupce 1 je stejná (z důvodu normality) a zbytek sloupce 1 je nula (z důvodu trojúhelníkovosti). To znamená, že první řádek musí být nulový pro položky 2 až n. Pokračování tohoto argumentu pro páry řádek – sloupec 2 až n ukazuje A je úhlopříčka.◻
Koncept normality je důležitý, protože normální matice jsou přesně ty, ke kterým spektrální věta platí:
- Tvrzení. Matice A je normální, pokud a pouze pokud existuje a diagonální matice Λ a a unitární matice U takhle A = UΛU*.
Diagonální položky Λ jsou vlastní čísla z Aa sloupce U jsou vlastní vektory z A. Odpovídající vlastní čísla v Λ přicházejí ve stejném pořadí, ve kterém jsou vlastní vektory řazeny jako sloupce U.
Další způsob vyjádření spektrální věta znamená, že normální matice jsou přesně ty matice, které mohou být reprezentovány diagonální maticí s ohledem na správně zvolenou ortonormální základ z Cn. Frázováno jinak: matice je normální právě tehdy, je-li její vlastní prostory rozpětí Cn a jsou párové ortogonální s ohledem na standardní vnitřní produkt Cn.
Spektrální věta pro normální matice je speciální případ obecnější Schurův rozklad který platí pro všechny čtvercové matice. Nechat A být čtvercová matice. Pak je Schurův rozklad jednotný, podobně jako horní trojúhelníková matice, řekněme, B. Li A je normální, tak je B. Ale pak B musí být diagonální, protože jak je uvedeno výše, normální horní trojúhelníková matice je diagonální.
Spektrální věta umožňuje klasifikaci normálních matic z hlediska jejich spekter, například:
- Tvrzení. Normální matice je jednotná právě tehdy, když všechny její vlastní hodnoty (její spektrum) leží na jednotkové kružnici komplexní roviny.
- Tvrzení. Normální matice je samoadjung právě když je jeho spektrum obsaženo v . Jinými slovy: Normální matice je Hermitian právě když jsou všechny jeho vlastní hodnoty nemovitý.
Obecně nemusí být součet nebo součin dvou normálních matic normální. Platí však následující:
- Tvrzení. Li A a B jsou normální s AB = BA, pak oba AB a A + B jsou také normální. Dále existuje jednotná matice U takhle UAU* a UBU* jsou diagonální matice. Jinými slovy A a B jsou současně diagonalizovatelný.
V tomto zvláštním případě sloupce U* jsou vlastní vektory obou A a B a tvoří ortonormální základ v Cn. Toto následuje kombinací vět, které přes algebraicky uzavřené pole dojíždějící matice jsou současně triangularizovatelné a normální matice je diagonalizovatelná - výsledkem je, že je lze provést současně.
Ekvivalentní definice
Je možné poskytnout poměrně dlouhý seznam ekvivalentních definic normální matice. Nechat A být n × n komplexní matice. Pak jsou ekvivalentní následující:
- A je normální.
- A je úhlopříčně jednotkovou maticí.
- Existuje sada vlastních vektorů A který tvoří ortonormální základ pro Cn.
- pro každého X.
- The Frobeniova norma z A lze vypočítat pomocí vlastních čísel A: .
- The Hermitian část 1/2(A + A*) a šikmo-poustevník část 1/2(A − A*) z A dojíždět.
- A* je polynom (stupně ≤ n − 1) v A.[1]
- A* = AU pro nějakou jednotnou matici U.[2]
- U a P dojíždět, kde máme polární rozklad A = NAHORU s unitární maticí U a nějaký pozitivní semidefinitní matice P.
- A dojíždí s nějakou normální maticí N s odlišnými vlastními hodnotami.
- σi = |λi| pro všechny 1 ≤ i ≤ n kde A má singulární hodnoty σ1 ≥ … ≥ σn a vlastní čísla |λ1| ≥ … ≥ |λn|.[3]
Některé, ale ne všechny výše uvedené, se zobecňují na normální operátory v nekonečně dimenzionálních Hilbertových prostorech. Například omezený operátor vyhovující (9) je pouze kvazinormální.
Analogie
Je občas užitečné (ale někdy zavádějící) uvažovat o vztazích různých druhů normálních matic jako o analogii se vztahy mezi různými druhy komplexních čísel:
- Invertibilní matice jsou analogické nenulové komplexní čísla
- The konjugovat transponovat je analogický s komplexní konjugát
- Unitární matice jsou analogické k komplexní čísla na jednotkový kruh
- Hermitovské matice jsou analogické k reálná čísla
- Hermitian pozitivní určité matice jsou analogické k kladná reálná čísla
- Šikmé hermitovské matice jsou obdobou čistě imaginární čísla
Jako speciální případ mohou být komplexní čísla vložena do normálních 2 × 2 reálných matic mapováním
který zachovává sčítání a množení. Je snadné zkontrolovat, zda toto vložení respektuje všechny výše uvedené analogie.
Viz také
Poznámky
- ^ Důkaz: Kdy A je normální, použijte Lagrangeova interpolace vzorec pro konstrukci polynomu P takhle λj = P(λj), kde λj jsou vlastní čísla z A.
- ^ Horn, s. 109
- ^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Témata maticové analýzy. Cambridge University Press. p.157. ISBN 978-0-521-30587-7.
Reference
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.