Normální matice - Normal matrix

V matematice, a komplex čtvercová matice $A$ je normální Pokud si to dojíždí s jeho konjugovat transponovat $A *$ :

${ displaystyle A { text {normální}} quad iff quad A ^ {*} A = AA ^ {*}}$

Koncept normálních matic lze rozšířit na normální operátoři na nekonečné dimenzionální normované prostory a na normální prvky v C * -algebry. Stejně jako v případě matice platí, že normálnost znamená, že komutativita je zachována, pokud je to možné, v nekomutativním prostředí. Díky tomu jsou normální operátoři a normální prvky C * -algebry přístupnější analýze.

The spektrální věta uvádí, že matice je normální, právě když je jednotně podobné do a diagonální matice, a tedy libovolnou matici $A$ splnění rovnice $A * A = AA *$ je úhlopříčně.

Speciální případy

Mezi složitými maticemi všechny unitární, Hermitian, a šikmo-poustevník matice jsou normální. Stejně tak mezi skutečnými maticemi všechny ortogonální, symetrický, a šikmo symetrický matice jsou normální. Ale je ne v případě, že všechny normální matice jsou buď unitární, nebo (šikmo) Hermitian. Například,

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 end {pmatrix}}}

není ani unitární, Hermitian, ani šikmo-Hermitian, přesto je to normální, protože

{ displaystyle AA ^ {*} = { begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end {pmatrix}} = A ^ {*} A.}

Důsledky

Tvrzení: Normální trojúhelníková matice je úhlopříčka.

Důkaz: Nechte

A

být libovolná normální horní trojúhelníková matice. Od té doby

(A * A) ii = (AA *) ii

,

pomocí dolního zápisu lze napsat ekvivalentní výraz pomocí

i

vektor té jednotky (

{ displaystyle , { hat { mathrm {e}}} _ {i} ,}

) vyberte

i

th řádek a

i

th sloupec:

{ displaystyle { hat { mathrm {e}}} _ {i} ^ { mathsf {T}} vlevo (A ^ {*} A vpravo) { hat { mathrm {e}}} _ {i} = { hat { mathrm {e}}} _ {i} ^ { mathsf {T}} vlevo (AA ^ {*} vpravo) { hat { mathrm {e}}} _ {i} ,.}

Výraz

{ displaystyle left (A { hat { mathrm {e}}} _ {i} right) ^ {*} left (A { hat { mathrm {e}}} _ {i} right ) = left (A ^ {*} { hat { mathrm {e}}} _ {i} right) ^ {*} left (A ^ {*} { hat { mathrm {e}} } _ {i} vpravo) ,}

je ekvivalentní, a tak je

{ displaystyle left | A { hat { mathrm {e}}} _ {i} right | ^ {2} = left | A ^ {*} { hat { mathrm {e} }} _ {i} doprava | ^ {2} ,,}

což ukazuje, že

i

tento řádek musí mít stejnou normu jako

i

th sloupec.

Zvážit

i = 1

. První položka řádku 1 a sloupce 1 je stejná (z důvodu normality) a zbytek sloupce 1 je nula (z důvodu trojúhelníkovosti). To znamená, že první řádek musí být nulový pro položky 2 až

n

. Pokračování tohoto argumentu pro páry řádek – sloupec 2 až

n

ukazuje

A

je úhlopříčka.◻

Koncept normality je důležitý, protože normální matice jsou přesně ty, ke kterým spektrální věta platí:

Tvrzení. Matice

A

je normální, pokud a pouze pokud existuje a diagonální matice

Λ

a a unitární matice

U

takhle

A = U Λ U *

.

Diagonální položky $Λ$ jsou vlastní čísla z $A$ a sloupce $U$ jsou vlastní vektory z $A$ . Odpovídající vlastní čísla v $Λ$ přicházejí ve stejném pořadí, ve kterém jsou vlastní vektory řazeny jako sloupce $U$ .

Další způsob vyjádření spektrální věta znamená, že normální matice jsou přesně ty matice, které mohou být reprezentovány diagonální maticí s ohledem na správně zvolenou ortonormální základ z $C n$ . Frázováno jinak: matice je normální právě tehdy, je-li její vlastní prostory rozpětí $C n$ a jsou párové ortogonální s ohledem na standardní vnitřní produkt $C n$ .

Spektrální věta pro normální matice je speciální případ obecnější Schurův rozklad který platí pro všechny čtvercové matice. Nechat $A$ být čtvercová matice. Pak je Schurův rozklad jednotný, podobně jako horní trojúhelníková matice, řekněme, $B$ . Li $A$ je normální, tak je $B$ . Ale pak $B$ musí být diagonální, protože jak je uvedeno výše, normální horní trojúhelníková matice je diagonální.

Spektrální věta umožňuje klasifikaci normálních matic z hlediska jejich spekter, například:

Tvrzení. Normální matice je jednotná právě tehdy, když všechny její vlastní hodnoty (její spektrum) leží na jednotkové kružnici komplexní roviny.

Tvrzení. Normální matice je samoadjung právě když je jeho spektrum obsaženo v

{ displaystyle mathbb {R}}

. Jinými slovy: Normální matice je Hermitian právě když jsou všechny jeho vlastní hodnoty nemovitý.

Obecně nemusí být součet nebo součin dvou normálních matic normální. Platí však následující:

Tvrzení. Li

A

a

B

jsou normální s

AB = BA

, pak oba

AB

a

A + B

jsou také normální. Dále existuje jednotná matice

U

takhle

UAU *

a

UBU *

jsou diagonální matice. Jinými slovy

A

a

B

jsou současně diagonalizovatelný.

V tomto zvláštním případě sloupce $U *$ jsou vlastní vektory obou $A$ a $B$ a tvoří ortonormální základ v $C n$ . Toto následuje kombinací vět, které přes algebraicky uzavřené pole dojíždějící matice jsou současně triangularizovatelné a normální matice je diagonalizovatelná - výsledkem je, že je lze provést současně.

Ekvivalentní definice

Je možné poskytnout poměrně dlouhý seznam ekvivalentních definic normální matice. Nechat $A$ být $n \times n$ komplexní matice. Pak jsou ekvivalentní následující:

$A$ je normální.
$A$ je úhlopříčně jednotkovou maticí.
Existuje sada vlastních vektorů $A$ který tvoří ortonormální základ pro $C n$ .
${ displaystyle left | Axe right | = left | A ^ {*} x right |}$ pro každého $X$ .
The Frobeniova norma z $A$ lze vypočítat pomocí vlastních čísel $A$ : ${ displaystyle operatorname {tr} left (A ^ {*} A right) = sum nolimits _ {j} left | lambda _ {j} right | ^ {2}}$ .
The Hermitian část $1 / 2 (A + A *)$ a šikmo-poustevník část $1 / 2 (A - A *)$ z $A$ dojíždět.
$A *$ je polynom (stupně $\leq n - 1$ ) v $A$ .^[1]
$A * = AU$ pro nějakou jednotnou matici $U$ .^[2]
$U$ a $P$ dojíždět, kde máme polární rozklad $A = NAHORU$ s unitární maticí $U$ a nějaký pozitivní semidefinitní matice $P$ .
$A$ dojíždí s nějakou normální maticí $N$ s odlišnými vlastními hodnotami.
$σ i = | λ i |$ pro všechny $1 \leq i \leq n$ kde $A$ má singulární hodnoty $σ 1 \geq \dots \geq σ n$ a vlastní čísla $| λ 1 | \geq \dots \geq | λ n |$ .^[3]

Některé, ale ne všechny výše uvedené, se zobecňují na normální operátory v nekonečně dimenzionálních Hilbertových prostorech. Například omezený operátor vyhovující (9) je pouze kvazinormální.

Analogie

Je občas užitečné (ale někdy zavádějící) uvažovat o vztazích různých druhů normálních matic jako o analogii se vztahy mezi různými druhy komplexních čísel:

Invertibilní matice jsou analogické nenulové komplexní čísla
The konjugovat transponovat je analogický s komplexní konjugát
Unitární matice jsou analogické k komplexní čísla na jednotkový kruh
Hermitovské matice jsou analogické k reálná čísla
Hermitian pozitivní určité matice jsou analogické k kladná reálná čísla
Šikmé hermitovské matice jsou obdobou čistě imaginární čísla

Jako speciální případ mohou být komplexní čísla vložena do normálních 2 × 2 reálných matic mapováním

{ displaystyle a + bi mapsto { begin {bmatrix} a & b - b & a end {bmatrix}} = a , { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + b , { begin {bmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {bmatrix}} ,.}

který zachovává sčítání a množení. Je snadné zkontrolovat, zda toto vložení respektuje všechny výše uvedené analogie.

Viz také

Poznámky

^ Důkaz: Kdy $A$ je normální, použijte Lagrangeova interpolace vzorec pro konstrukci polynomu $P$ takhle $λ j = P (λ j)$ , kde $λ j$ jsou vlastní čísla z $A$ .
^ Horn, s. 109
^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Témata maticové analýzy. Cambridge University Press. p.157. ISBN 978-0-521-30587-7.

Reference

Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

[1] Důkaz: Kdy $A$ je normální, použijte Lagrangeova interpolace vzorec pro konstrukci polynomu $P$ takhle $λ j = P (λ j)$ , kde $λ j$ jsou vlastní čísla z $A$ .

[2] Horn, s. 109

[book-3] Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Témata maticové analýzy. Cambridge University Press. p.157. ISBN 978-0-521-30587-7.

[1]

[2]

[3]