Rozšířená matice - Augmented matrix

v lineární algebra, an rozšířená matice je matice získáno připojením sloupců dvou daných matic, obvykle za účelem provedení stejné základní řádkové operace na každé z daných matic.

Vzhledem k maticím A a B,kde

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 3 & 2 2 & 0 & 1 5 & 2 & 2end {bmatrix}}, quad B = {egin {bmatrix} 4 3 1end {bmatrix}},}$

rozšířená matice (A|B) je psán jako

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 3 & 2 & 4 2 & 0 & 1 & 3 5 & 2 & 2 & 1end {array}} ight].}$

To je užitečné při řešení soustavy lineárních rovnic.

Pro daný počet neznámých závisí počet řešení soustavy lineárních rovnic pouze na hodnost matice představující systém a hodnost odpovídající rozšířené matice. Konkrétně podle Rouchova el 鈥 揅 apelliho věta, jakýkoli systém lineárních rovnic je nekonzistentní (nemá řešení), pokud hodnost rozšířené matice je větší než hodnost matice koeficientu; pokud jsou řady těchto matic stejné, systém musí mít alespoň jedno řešení. Řešení je jedinečné právě tehdy, když se pořadí rovná počtu proměnných. Jinak má obecné řešení k volné parametry kde k je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností; v takovém případě tedy existuje nekonečno řešení.

Rozšířená matice může být také použita k nalezení inverze matice kombinací s matice identity.

Najít inverzi matice

Nechat C být čtvercová matice 2 × 2

${displaystyle C = {egin {bmatrix} 1 & 3 -5 & 0end {bmatrix}}.}$

Abychom našli inverzi C, kterou vytvoříme (C|Já) kde I je 2 脳 2 matice identity. Poté zmenšíme část (C|Já) souhlasí s C do matice identity pouze pomocí základní řádkové operace na (C|Já).

${displaystyle (C | I) = left [{egin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 1 & 0 -5 & 0 & 0 & 1end {array}} ight]}$

${displaystyle (I | C ^ {- 1}) = left [{egin {array} {cc | cc} 1 & 0 & 0 & - {frac {1} {5}} 0 & 1 & {frac {1} {3}} & {frac {1} {15}} konec {pole}} vpravo]}$,

jehož pravá část je inverzní k původní matici.

Existence a počet řešení

Uvažujme soustavu rovnic

${displaystyle {egin {zarovnáno} x + y + 2z & = 2 x + y + z & = 3 2x + 2y + 2z & = 6.end {zarovnáno}}}$

Matice koeficientu je

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 end {bmatrix}},}$

a rozšířená matice je

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 & 3 2 & 2 & 2 & 6end {array}} ight].}$

Protože oba mají stejnou hodnost, jmenovitě 2, existuje alespoň jedno řešení; a protože jejich pořadí je menší než počet neznámých, přičemž druhý je 3, existuje nekonečné množství řešení.

Naproti tomu zvažte systém

${displaystyle {egin {zarovnáno} x + y + 2z & = 3 x + y + z & = 1 2x + 2y + 2z & = 5.end {zarovnáno}}}$

Matice koeficientu je

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 end {bmatrix}},}$

a rozšířená matice je

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 5end {array}} ight].}$

V tomto příkladu má matice koeficientu pozici 2, zatímco rozšířená matice má pozici 3; takže tento systém rovnic nemá řešení. Opravdu, nárůst počtu lineárně nezávislých řádků vytvořil systém rovnic nekonzistentní.

Řešení lineárního systému

Jak se používá v lineární algebře, rozšířená matice se používá k reprezentaci koeficienty a vektor řešení každé množiny rovnic. Pro množinu rovnic

${displaystyle {egin {zarovnáno} x + 2y + 3z & = 0 3x + 4y + 7z & = 2 6x + 5y + 9z & = 11end {zarovnáno}}}$

koeficienty a konstantní členy dávají matice

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 2 & 3 3 & 4 & 7 6 & 5 & 9end {bmatrix}}, quad B = {egin {bmatrix} 0 2 11end {bmatrix}},}$

a tedy dát rozšířené matice

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 3 & 0 3 & 4 & 7 & 2 6 & 5 & 9 & 11end {array}} ight]}$.

Všimněte si, že hodnost matice koeficientu, která je 3, se rovná hodnosti rozšířené matice, takže existuje alespoň jedno řešení; a protože se tato pozice rovná počtu neznámých, existuje právě jedno řešení.

Chcete-li získat řešení, lze na rozšířené matici provádět operace řádků, abyste získali matici identity na levé straně, čímž se získá

${displaystyle left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -2 end {array}} ight],}$

takže řešení systému je (X, y, z) = (4, 1, -2).

Reference

• Marvin Marcus a Henryk Minc, Přehled teorie matice a maticových nerovností, Dover Publications, 1992, ISBN  0-486-67102-X. Stránka 31.