Involutory matice - Involutory matrix

v matematika, an involutory matice je matice to je jeho vlastní inverze. To znamená násobení maticí A je involuce kdyby a jen kdyby A² = Já. Involutorní matice jsou všechny odmocniny z matice identity. To je prostě důsledek skutečnosti, že jakýkoli nesingulární matice vynásobená jeho inverzí je identita.^[1]

Příklady

Skutečná matice 2 × 2 ${displaystyle {egin {pmatrix} a & b c & -aend {pmatrix}}}$ je involutory za předpokladu, že ${displaystyle a ^ {2} + bc = 1.}$^[2]

The Pauliho matice v M (2, C) jsou involutory:

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {1} = sigma _ {x} & = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}} sigma _ {2} = sigma _ {y} & = {egin {pmatrix } 0 & -i i & 0end {pmatrix}} sigma _ {3} = sigma _ {z} & = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}} ,. konec {zarovnáno}}}$

Jedna ze tří tříd elementární matice je involutorní, jmenovitě řádková výměna elementární matice. Zvláštní případ jiné třídy elementární matice, která představuje násobení řádku nebo sloupce o -1, je také involutární; je to ve skutečnosti triviální příklad a podpisová matice, z nichž všechny jsou involutory.

Níže jsou uvedeny některé jednoduché příklady involutorních matic.

${displaystyle {egin {array} {cc} mathbf {I} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}}; & mathbf {I} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}} mathbf {R} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0end {pmatrix}}; & mathbf {R} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0end {pmatrix}} mathbf {S} = {egin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {pmatrix}}; & mathbf {S} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {pmatrix}} end {pole}}}$

kde

Já je matice identity (což je triviálně involutivní);

R je matice identity s dvojicí zaměněných řádků;

S je podpisová matice.

Žádný blokové diagonální matice zkonstruované z involutorních matic budou také involutory v důsledku lineární nezávislosti bloků.

Symetrie

Involutární matice, která je také symetrický je ortogonální matice, a tak představuje izometrie (lineární transformace, která zachovává Euklidovská vzdálenost ). Naopak každá ortogonální involutární matice je symetrická.^[3]Jako zvláštní případ tohoto, každý odrazová matice je involutory.

Vlastnosti

The určující involutární matice přes jakékoli pole je ± 1.^[4]

Li A je n × n tedy matice A je involutorní právě tehdy, pokud ½ (A + Já) je idempotentní. Tento vztah dává a bijekce mezi involutními maticemi a idempotentními maticemi.^[4]

Li A je involutory matice v M (n, ℝ), a maticová algebra přes reálná čísla, pak subalgebra {X Já + y A: x, y ∈ ℝ} generováno uživatelem A je isomorfní s rozdělená komplexní čísla.

Li A a B jsou dvě involutární matice, které potom dojíždějí navzájem AB je také involutory.

Li A je involutory matice pak každý celočíselný výkon A je involutory. Ve skutečnosti, Aⁿ bude rovna A -li n je liché a Já -li n je sudý.

Viz také

• Afinní involuce

Reference