Rovnocennost řádků - Row equivalence

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v lineární algebra, dva matice jsou ekvivalent řádku pokud lze jeden změnit na druhý posloupností základní řádkové operace. Alternativně dva m × n matice jsou ekvivalentní řádky právě tehdy, pokud mají stejné řádkový prostor. Koncept se nejčastěji aplikuje na matice, které představují soustavy lineárních rovnic, v takovém případě jsou dvě matice stejné velikosti ekvivalentní řádkům právě tehdy, pokud jsou odpovídající homogenní systémy mají stejnou sadu řešení, nebo ekvivalentně matice mají stejné prázdný prostor.

Protože základní operace s řádky jsou reverzibilní, ekvivalence řádků je vztah ekvivalence. Běžně se označuje a vlkodlak (~).^{[Citace je zapotřebí ]}

Existuje podobná představa ekvivalence sloupců, definovaný elementárními sloupcovými operacemi; dvě matice jsou ekvivalentní sloupci právě tehdy, když jejich transponované matice jsou ekvivalentní řádkům. Jednoduše se nazývají dvě obdélníkové matice, které lze převést na druhou, což umožňuje jak základní řádkové, tak sloupcové operace ekvivalent.

Základní řádkové operace

An základní řádková operace je některý z následujících tahů:

1. Zaměnit: Zaměňte dva řádky matice.
2. Měřítko: Vynásobte řádek matice nenulovou konstantou.
3. Pivot: Přidejte násobek jednoho řádku matice do jiného řádku.

Dvě matice A a B jsou ekvivalent řádku pokud je možné transformovat A do B posloupností operací základních řádků.

Prostor řádků

Řádkový prostor matice je množina všeho možného lineární kombinace jejích řádkových vektorů. Pokud řádky matice představují a soustava lineárních rovnic, pak se prostor řádků skládá ze všech lineárních rovnic, které lze algebraicky odvodit od rovnic v systému. Dva m × n matice jsou ekvivalentní řádky právě tehdy, pokud mají stejný prostor řádků.

Například matice

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1end {pmatrix}} ;;;; {ext {and}} ;;;;; {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1end {pmatrix}}}$

jsou ekvivalentní řádky, přičemž řádkový prostor jsou všechny vektory formuláře ${displaystyle {egin {pmatrix} a & b & bend {pmatrix}}}$. Odpovídající systémy homogenních rovnic sdělují stejné informace:

${displaystyle {egin {matrix} x = 0 y + z = 0end {matrix}} ;;;; {ext {and}} ;;;; {egin {matrix} x = 0 x + y + z = 0 .end {matrix}}}$

Zejména oba tyto systémy implikují každou rovnici formy ${displaystyle ax + by + bz = 0.,}$

Rovnocennost definic

Skutečnost, že dvě matice jsou ekvivalentní řádky právě tehdy, když mají stejný prostor řádků, je důležitá věta v lineární algebře. Důkaz je založen na následujících pozorováních:

1. Základní operace řádků neovlivňují prostor řádků matice. Zejména jakékoli dvě řádkové ekvivalentní matice mají stejný prostor řádků.
2. Může být libovolná matice snížena základními operacemi řádků do matice v snížená řada echelon forma.
3. Dvě matice ve formě zmenšeného řádku mají stejný řádkový prostor právě tehdy, když jsou stejné.

Tato úvaha také dokazuje, že každá matice je řádek ekvivalentní jedinečné matici se sníženou formou řady.

Další vlastnosti

• Protože prázdný prostor matice je ortogonální doplněk z řádkový prostor, dvě matice jsou ekvivalentní řádky právě tehdy, pokud mají stejný prázdný prostor.
• The hodnost matice se rovná dimenze prostoru řádků, takže ekvivalentní matice řádků musí mít stejné hodnocení. To se rovná počtu čepy ve formě redukovaného řádku.
• Matice je invertibilní právě když je to řádek ekvivalentní k matice identity.
• Matice A a B jsou ekvivalentní řádky právě tehdy, pokud existuje invertibilní matice P takhle A = PB.^[1]

Viz také

• Základní řádkové operace
• Prostor řádků
• Základ (lineární algebra)
• Redukce řádků
• (Zmenšený) řádkový sled

Reference

• Axler, Sheldon Jay (1997), Lineární algebra Hotovo správně (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Lay, David C. (22. srpna 2005), Lineární algebra a její aplikace (3. vyd.), Addison Wesley, ISBN  978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15. února 2001), Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, archivovány z originál 1. března 2001
• Poole, David (2006), Lineární algebra: moderní úvod (2. vyd.), Brooks / Cole, ISBN  0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementární lineární algebra (verze aplikace) (9. vydání), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Lineární algebra s aplikacemi (7. vydání), Pearson Prentice Hall
• Roman, Steven (2008). Pokročilá lineární algebra. Postgraduální texty z matematiky. 135 (3. vyd.). Springer Science + Business Media, LLC. ISBN  978-0-387-72828-5.

externí odkazy