Cauchyova matice - Cauchy matrix
v matematika, a Cauchyova matice, pojmenoval podle Augustin Louis Cauchy, je m×n matice s prvky Aij ve formě
kde a jsou prvky a pole , a a jsou injekční sekvence (obsahují odlišný elementy).
The Hilbertova matice je speciální případ Cauchyovy matice, kde
Každý submatice Cauchyho matice je sama o sobě Cauchyova matice.
Cauchyho determinanty
Determinant Cauchyho matice je jasně a racionální zlomek v parametrech a . Pokud by sekvence nebyly injektivní, determinant by zmizel a má tendenci k nekonečnu, pokud nějaké byly má sklony k . Podskupina jeho nul a pólů je tak známá. Faktem je, že už neexistují žádné nuly a póly:
Determinant čtvercové Cauchyovy matice A je známý jako Cauchyho determinant a lze je výslovně uvést jako
- (Schechter 1959, ekv. 4; Cauchy 1841, str. 154, ekv. 10).
Vždy je nenulová, a tedy všechny čtvercové Cauchyovy matice jsou invertibilní. Inverzní A−1 = B = [bij] darováno
- (Schechter 1959, Věta 1)
kde Ai(x) a Bi(x) jsou Lagrangeovy polynomy pro a , resp. To znamená
s
Zobecnění
Matice C je nazýván Jako Cauchy pokud je ve formě
Definování X= diag (xi), Y= diag (ri), jeden vidí, že jak Cauchyova, tak Cauchyova matice splňují rovnice posunutí
(s pro Cauchyho). Proto mají Cauchyho podobné matice společné struktura posunutí, které lze zneužít při práci s maticí. Například v literatuře jsou známé algoritmy pro
- přibližné množení Cauchyova matice-vektor s ops (např rychlá vícepólová metoda ),
- (otočený ) Faktorizace LU s ops (algoritmus GKO), a tedy řešení lineárního systému,
- přibližné nebo nestabilní algoritmy pro řešení lineárního systému v systému Windows .
Tady označuje velikost matice (obvykle se jedná o čtvercové matice, ačkoli všechny algoritmy lze snadno zobecnit na obdélníkové matice).
Viz také
Reference
- Cauchy, Augustin Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Sv. 2 (francouzsky). Bachelier.
- A. Gerasoulis (1988). „Rychlý algoritmus pro množení zobecněných Hilbertových matic s vektory“ (PDF). Matematika výpočtu. 50 (181): 179–188. doi:10.2307/2007921. JSTOR 2007921.
- I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). "Rychlá Gaussova eliminace s částečným otočením pro matice se strukturou posunutí" (PDF). Matematika výpočtu. 64 (212): 1557–1576. Bibcode:1995MaCom..64.1557G. doi:10.1090 / s0025-5718-1995-1312096-x.
- P. G. Martinsson; M. Tygert; V. Rokhlin (2005). „An algoritmus pro inverzi obecných Toeplitzových matic " (PDF). Počítače a matematika s aplikacemi. 50 (5–6): 741–752. doi:10.1016 / j.camwa.2005.03.011.
- S. Schechter (1959). „O inverzi určitých matic“ (PDF). Matematické tabulky a další pomůcky k výpočtu. 13 (66): 73–77. doi:10.2307/2001955. JSTOR 2001955.