Matice jedniček - Matrix of ones
v matematika, a matice jedniček nebo matice všeho druhu je matice kde se každý prvek rovná jeden.[1] Níže jsou uvedeny příklady standardní notace:
Některé zdroje nazývají matici všech jednotková matice,[2] ale tento výraz může také odkazovat na matice identity, jiná matice.
A vektor jedniček nebo vše-jeden vektor je matice těch, které mají řádek nebo sloupec.
Vlastnosti
Pro n × n matice jedniček J, platí následující vlastnosti:
- The stopa z J je n,[3] a určující je 1, pokud n je 1 nebo 0 jinak.
- The charakteristický polynom z J je .
- Hodnost J je 1 a vlastní čísla jsou n s multiplicita 1 a 0 s multiplicitou n − 1.[4]
- pro [5]
- J je neutrální prvek z Produkt Hadamard.[6]
Když J je považován za matici nad reálná čísla, platí následující další vlastnosti:
- J je pozitivní semitečná matice.
- Matice je idempotentní.[5]
- The exponenciální matice z J je
Aplikace
Matice všeho druhu vzniká v matematickém poli kombinatorika, zejména zahrnující použití algebraických metod na teorie grafů. Například pokud A je matice sousedství a n-vrchol neorientovaný graf G, a J je tedy matice všeho stejného rozměru G je běžný graf kdyby a jen kdyby AJ = JA.[7] Jako druhý příklad se matice objevuje v některých lineárně-algebraických důkazech o Cayleyův vzorec, což udává počet klenout se nad stromy a kompletní graf, za použití věta o maticovém stromu.
Viz také
- Nulová matice, matice, kde jsou všechny prvky nulové
- Jednoduchá matice
Reference
- ^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2012), „0.2.8 The all-ones matrix and vector“, Maticová analýza, Cambridge University Press, str. 8, ISBN 9780521839402.
- ^ Weisstein, Eric W. „Unit Matrix“. MathWorld.
- ^ Stanley, Richard P. (2013), Algebraická kombinatorika: Procházky, stromy, tabla a další, Springer, Lemma 1.4, s. 4, ISBN 9781461469988.
- ^ Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), str. 65.
- ^ A b Timm, Neil H. (2002), Aplikovaná vícerozměrná analýza, Springer texty ve statistikách, Springer, s. 30, ISBN 9780387227719.
- ^ Smith, Jonathan D. H. (2011), Úvod do abstraktní algebry, CRC Press, str. 77, ISBN 9781420063721.
- ^ Godsil, Chris (1993), Algebraická kombinatorika, CRC Press, Lemma 4.1, str. 25, ISBN 9780412041310.
Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |