Hankelova matice - Hankel matrix
v lineární algebra, a Hankelova matice (nebo kataklektikant matice), pojmenoval podle Hermann Hankel, je čtvercová matice ve kterém je každá vzestupná šikmá úhlopříčka zleva doprava konstantní, např .:
Obecněji, a Hankelova matice je jakýkoli matice formuláře
Pokud jde o komponenty, pokud prvek je označen a za předpokladu , pak máme pro všechny .
Některé vlastnosti a fakta
- Hankelova matice je a symetrická matice.
- Nechat být výměnná matice řádu . Li je Hankelova matice, tedy , kde je Toeplitzova matice.
- Li je tedy skutečně symetrický bude mít stejná vlastní čísla jako až podepsat.[1]
- The Hilbertova matice je příkladem Hankelovy matice.
Operátor Hankel
Hankel operátor na Hilbertův prostor je matice, jejíž matice je (možná nekonečná) Hankelova matice vzhledem k an ortonormální základ. Jak je uvedeno výše, Hankelova matice je matice s konstantními hodnotami podél jejích antidiagonálů, což znamená, že Hankelova matice musí vyhovovat pro všechny řádky a sloupce , . Všimněte si, že každý záznam záleží jen na .
Nechť odpovídající Operátor Hankel být . Vzhledem k Hankelově matici , poté je odpovídající Hankelův operátor definován jako .
Často se zajímáme o operátory Hankel přes Hilbertův prostor , prostor čtvercových integrovatelných bilaterálních komplexních sekvencí. Pro všechny , my máme
Často nás zajímají aproximace Hankelových operátorů, možná operátory nižšího řádu. Abychom mohli aproximovat výstup operátoru, můžeme k měření chyby naší aproximace použít spektrální normu (operátor 2-norma). To naznačuje Rozklad singulární hodnoty jako možnou techniku k přiblížení činnosti operátora.
Všimněte si, že matice nemusí být konečný. Pokud je nekonečný, tradiční metody výpočtu jednotlivých singulárních vektorů nebudou přímo fungovat. Rovněž požadujeme, aby aproximací byla Hankelova matice, kterou lze ukázat pomocí teorie AAK.
Determinant Hankelovy matice se nazývá a kataklektikant.
Hankelova transformace
The Hankelova transformace je název, který se někdy dává transformaci a sekvence, kde transformovaná sekvence odpovídá determinantu Hankelovy matice. To je sekvence je Hankelova transformace sekvence když
Tady, je Hankelova matice sekvence . Hankelova transformace je neměnná pod binomická transformace sekvence. Tedy pokud někdo píše
jako binomická transformace sekvence , pak jeden má
Aplikace Hankelových matic
Hankelovy matice se tvoří, když, vzhledem k posloupnosti výstupních dat, realizace podkladového stavového prostoru nebo skrytý Markovův model je žádoucí.[2] The rozklad singulární hodnoty Hankelovy matice poskytuje prostředky pro výpočet matic A, B a C, které definují realizaci stavového prostoru.[3] Bylo zjištěno, že Hankelova matice vytvořená ze signálu je užitečná pro rozklad nestacionárních signálů a časově-frekvenční reprezentaci.
Metoda momentů pro polynomiální rozdělení
The metoda momentů aplikovaný na polynomiální distribuce vede k Hankelově matici, kterou je třeba převrátit, aby se získaly váhové parametry aproximace polynomického rozdělení.[4]
Pozitivní Hankelovy matice a hamburgerové momentové problémy
Viz také
Poznámky
- ^ Yasuda, M. (2003). „Spektrální charakterizace Hermitian Centrosymmetric a Hermitian Skew-Centrosymmetric K-matice“. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 25 (3): 601–605. doi:10.1137 / S0895479802418835.
- ^ Aoki, Masanao (1983). "Predikce časových řad". Poznámky k ekonomické analýze časových řad: Systémové teoretické perspektivy. New York: Springer. 38–47. ISBN 0-387-12696-1.
- ^ Aoki, Masanao (1983). "Určení Hankelovy matice". Poznámky k ekonomické analýze časových řad: Systémové teoretické perspektivy. New York: Springer. str. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.
- ^ J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) „Polynomial odhad pravděpodobnosti distribuce pomocí metody momentů“. PLoS ONE 12 (4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573
Reference
- Brent R.P. (1999), „Stabilita rychlých algoritmů pro strukturované lineární systémy“, Rychlé spolehlivé algoritmy pro matice se strukturou (redaktoři - T. Kailath, A.H. Sayed), kap.4 (SIAM ).
- Victor Y. Pan (2001). Strukturované matice a polynomy: jednotné superrychlé algoritmy. Birkhäuser. ISBN 0817642404.
- J.R.Partington (1988). Úvod do provozovatelů Hankel. Studentské texty LMS. 13. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36791-3.
- P. Jain a R.B. Pachori, Iterativní přístup k rozkladu vícesložkových nestacionárních signálů založený na rozkladu vlastních čísel Hankelovy matice, Journal of the Franklin Institute, sv. 352, číslo 10, s. 4017--4044, říjen 2015.
- P. Jain a R.B. Pachori, Metoda založená na událostech pro okamžitý odhad základní frekvence z hlasové řeči na základě vlastního čísla rozkladu Hankelovy matice, IEEE / ACM Transaction on Audio, Speech and Language Processing, sv. 22. číslo 10, str. 1467-1482, říjen 2014.
- R.R. Sharma a R.B. Pachori, Časově-frekvenční reprezentace pomocí IEVDHM-HT s aplikací na klasifikaci epileptických EEG signálů, IET Science, Measurement & Technology, sv. 12, číslo 01, s. 72-82, leden 2018.