Wronskian - Wronskian

v matematika, Wronskian (nebo Wrońskian) je určující představil Józef Hoene-Wroński (1812 ) a pojmenoval Thomas Muir (1882, Kapitola XVIII). Používá se při studiu diferenciální rovnice, kde se to někdy může ukázat lineární nezávislost v sadě řešení.

Definice

Wronskian dvou odlišitelných funkcí $F$ a $G$ je $Ž (F, G) = f g' - g f'$ .

Obecněji pro $n$ nemovitý - nebo komplex -hodnotené funkce $F 1, . . . , F n$ , což jsou $n - 1$ krát rozlišitelný na interval $Já$ , Wronskian $Ž (F 1, . . . , F n)$ jako funkce na $Já$ je definováno

{ displaystyle W (f_ {1}, ldots, f_ {n}) (x) = { begin {vmatrix} f_ {1} (x) & f_ {2} (x) & cdots & f_ {n} ( x) f_ {1} '(x) & f_ {2}' (x) & cdots & f_ {n} '(x) vdots & vdots & ddots & vdots f_ {1} ^ {(n-1)} (x) & f_ {2} ^ {(n-1)} (x) & cdots & f_ {n} ^ {(n-1)} (x) end {vmatrix}} , qquad x v I.}

To znamená, že je určující z matice zkonstruováno umístěním funkcí do prvního řádku, první derivace každé funkce do druhého řádku atd. prostřednictvím $(n - 1)$ th derivát, čímž se vytvoří a čtvercová matice.

Když funkce $F i$ jsou řešení a lineární diferenciální rovnice, Wronskian lze najít výslovně pomocí Ábelova identita, i když funkce $F i$ nejsou výslovně známy.

Wronskianská a lineární nezávislost

Pokud funkce $F i$ jsou lineárně závislé, pak jsou to také sloupce Wronskiana, protože diferenciace je lineární operace, takže Wronskian zmizí. Wronskian lze tedy použít k ukázání, že množina diferencovatelných funkcí je lineárně nezávislé v intervalu ukázáním, že nezmizí stejně. Může však zmizet v izolovaných bodech.^[1]

Běžná mylná představa je to $Ž = 0$ všude znamená lineární závislost, ale Peano (1889) poukázal na to, že funkce $X 2$ a $| X | \cdot X$ mají spojité deriváty a jejich Wronskian zmizí všude, přesto nejsou lineárně závislí v žádném sousedství $0$ .^[A] Existuje několik dalších podmínek, které zajišťují, že zmizení Wronskiana v intervalu znamená lineární závislost.Maxime Bôcher poznamenal, že pokud jsou funkce analytický, pak zmizení Wronskiana v intervalu znamená, že jsou lineárně závislé.^[3] Bôcher (1901) dal několik dalších podmínek, aby zmizení Wronskiana znamenalo lineární závislost; například pokud Wronskian z $n$ funkce je identicky nulová a $n$ Wronskians of $n - 1$ z nich všechny nezmizí v žádném bodě, pak jsou funkce lineárně závislé. Wolsson (1989a) dal obecnější podmínku, která spolu s mizením Wronskiana znamená lineární závislost.

Přes pole s pozitivní charakteristikou p Wronskian může zmizet i pro lineárně nezávislé polynomy; například Wronskian z X^p a 1 je shodně 0.^{[Citace je zapotřebí ]}

Aplikace na lineární diferenciální rovnice

Obecně platí, že pro ${ displaystyle n}$ lineární diferenciální rovnice tého řádu, pokud ${ displaystyle (n-1)}$ řešení jsou známá, poslední lze určit pomocí Wronskian.

Uvažujme diferenciální rovnici druhého řádu v Lagrangeova notace

{ displaystyle y '' = a (x) y '+ b (x) y}

kde ${ displaystyle a (x), b (x)}$ jsou známy. Zavolejme ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$ dvě řešení rovnice a tvoří jejich Wronskian

{ displaystyle W (x) = y_ {1} y '_ {2} -y_ {2} y' _ {1}}

Pak rozlišování ${ displaystyle W (x)}$ a s využitím skutečnosti, že ${ displaystyle y_ {i}}$ dodržování výše uvedené diferenciální rovnice to ukazuje

{ displaystyle W '(x) = aW (x)}

Wronskian se proto řídí jednoduchou diferenciální rovnicí prvního řádu a lze ji přesně vyřešit:

{ displaystyle W (x) = e ^ {A (x)}}

kde ${ displaystyle A '(x) = a (x)}$

Nyní předpokládejme, že známe jedno z řešení ${ displaystyle y_ {2}}$ . Poté, podle definice Wronskian, ${ displaystyle y_ {1}}$ dodržuje diferenciální rovnici prvního řádu:

{ displaystyle y '_ {1} - { frac {y' _ {2}} {y_ {2}}} y_ {1} = - W (x) / y_ {2}}

a lze je vyřešit přesně (alespoň teoreticky).

Metodu lze snadno zobecnit na rovnice vyššího řádu.

Zobecnění Wronskians

Pro $n$ funkce několika proměnných, a zobecněný Wronskian je určující pro $n$ podle $n$ matice se záznamy $D i (F j)$ (s $0 \leq i < n$ ), kde každý $D i$ je nějaký lineární parciální diferenciální operátor řádu s konstantním koeficientem $i$ . Pokud jsou funkce lineárně závislé, pak všechny zobecněné Wronskians zmizí. Stejně jako v případě proměnné 1 není obrácení obecně pravdivé: pokud zmizí všechny zobecněné Wronskians, neznamená to, že funkce jsou lineárně závislé. Opak je však pravdou v mnoha zvláštních případech. Například pokud jsou funkce polynomy a všechny zobecněné Wronskians zmizí, pak jsou funkce lineárně závislé. Roth použil tento výsledek o zobecněných Wronskianech ve svém důkazu o Rothova věta. Více obecných podmínek, za kterých platí konverzace, viz Wolsson (1989b).

Viz také

Variace parametrů
Mooreova matice, analogický s Wronskianem s diferenciací nahrazenou Frobeniova endomorfismus přes konečné pole.
Alternativní matice
Vandermondeova matice

Poznámky

^ Peano zveřejnil svůj příklad dvakrát, protože ho poprvé publikoval editor, Paul Mansion, který nesprávně napsal učebnici a tvrdil, že mizení Wronskianů znamená lineární závislost, přidal poznámku pod čarou k Peanově práci s tvrzením, že tento výsledek je správný, pokud žádná z funkcí není identicky nulová. Peanova druhá práce poukázala na to, že tato poznámka pod čarou je nesmysl.^[2]

Citace

^ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999) [1978], Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, New York: Springer, str. 9, ISBN 978-0-387-98931-0
^ Engdahl, Susannah; Parker, Adam (duben 2011). „Peano on Wronskians: Překlad“. Konvergence. Mathematical Association of America. doi:10,4169 / loci003642. Citováno 2020-10-08.
^ Engdahl, Susannah; Parker, Adam (duben 2011). „Peano on Wronskians: Překlad“. Konvergence. Mathematical Association of America. Sekce "Na Wronskian determinant". doi:10,4169 / loci003642. Citováno 2020-10-08. Nejslavnější věta je přičítána Bocherovi a uvádí, že pokud je Wronskian z ${ displaystyle n}$ analytický funkce je nula, pak jsou funkce lineárně závislé ([B2], [BD]). [Citace „B2“ a „BD“ odkazují na Bôcher (1900–1901 ) a Bostan a Dumas (2010 ), v uvedeném pořadí.]

Reference

Bôcher, Maxime (1900–1901). "Teorie lineární závislosti". Annals of Mathematics. Univerzita Princeton. 2 (1/4): 81–96. doi:10.2307/2007186. ISSN 0003-486X. JSTOR 2007186.
Bôcher, Maxime (1901), „Určité případy, kdy zmizení Wronskiana je dostatečnou podmínkou pro lineární závislost“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 2 (2): 139–149, doi:10.2307/1986214, ISSN 0002-9947, JFM 32.0313.02, JSTOR 1986214
Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). "Wronskians a lineární nezávislost". Americký matematický měsíčník. Taylor & Francis. 117 (8): 722–727. doi:10,4169 / 000298910x515785. ISSN 0002-9890. JSTOR 10,4169 / 000298910x515785.
Hartman, Philip (1964), Obyčejné diferenciální rovnice, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-89871-510-1, PAN 0171038, Zbl 0125.32102
Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange, Paříž
Muir, Thomas (1882), Pojednání o teorii determinantů., Macmillan, JFM 15.0118.05
Peano, Giuseppe (1889), „Sur le déterminant wronskien.“, Matematika (francouzsky), IX: 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01
Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Wronskian", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Wolsson, Kenneth (1989a), „Podmínka ekvivalentní lineární závislosti pro funkce s mizejícím Wronskianem“, Lineární algebra a její aplikace, 116: 1–8, doi:10.1016/0024-3795(89)90393-5, ISSN 0024-3795, PAN 0989712, Zbl 0671.15005
Wolsson, Kenneth (1989b), „Lineární závislost souboru funkcí z $m$ proměnné s mizejícími zobecněnými Wronskians ", Lineární algebra a její aplikace, 117: 73–80, doi:10.1016 / 0024-3795 (89) 90548-X, ISSN 0024-3795, PAN 0993032, Zbl 0724.15004

[3] Peano zveřejnil svůj příklad dvakrát, protože ho poprvé publikoval editor, Paul Mansion, který nesprávně napsal učebnici a tvrdil, že mizení Wronskianů znamená lineární závislost, přidal poznámku pod čarou k Peanově práci s tvrzením, že tento výsledek je správný, pokud žádná z funkcí není identicky nulová. Peanova druhá práce poukázala na to, že tato poznámka pod čarou je nesmysl.^[2]

[BenderAndOrszag-1] Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999) [1978], Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, New York: Springer, str. 9, ISBN 978-0-387-98931-0

[PeanoOnWronskians-2] Engdahl, Susannah; Parker, Adam (duben 2011). „Peano on Wronskians: Překlad“. Konvergence. Mathematical Association of America. doi:10,4169 / loci003642. Citováno 2020-10-08.

[PeanoOnWronskians-BocherAnalytic-4] Engdahl, Susannah; Parker, Adam (duben 2011). „Peano on Wronskians: Překlad“. Konvergence. Mathematical Association of America. Sekce "Na Wronskian determinant". doi:10,4169 / loci003642. Citováno 2020-10-08. Nejslavnější věta je přičítána Bocherovi a uvádí, že pokud je Wronskian z ${ displaystyle n}$ analytický funkce je nula, pak jsou funkce lineárně závislé ([B2], [BD]). [Citace „B2“ a „BD“ odkazují na Bôcher (1900–1901 ) a Bostan a Dumas (2010 ), v uvedeném pořadí.]

[1]

[A]

[3]

[2]

Matice třídy
Výslovně omezené položky	(0,1) Alternativní Anti-diagonální Anti-Hermitian Anti-symetrický hrot šípu Kapela Obousměrný Binární Bisymetrické Bloková úhlopříčka Blok Blok třístranný Booleovský Cauchy Centrosymmetrické Konference Složitý Hadamard Kopozitivní Diagonálně dominantní Úhlopříčka Diskrétní Fourierova transformace Základní Ekvivalent Frobenius Zobecněná permutace Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Dutý Celé číslo Logický Markov Metzler Monomiální Moore Nezáporné Rozděleny Parisi Pentadiagonální Permutace Persymetrické Polynomiální Pozitivní Kvartérní Podepsat Podpis Skew-Hermitian Šikmo symetrické Panoráma Řídké Sylvester Symetrický Toeplitz Trojúhelníkový Tridiagonální Unitary Vandermonde Walsh Z
Konstantní	Výměna Hilbert Identita Lehmer Z těch Pascal Pauli Redheffer Posun Nula
Podmínky na vlastní čísla nebo vlastní vektory	Společník Konvergentní Vadný Diagonalizovatelné Hurwitz Pozitivní-definitivní Stabilita Stieltjes
Uspokojivé podmínky zapnuty produkty nebo inverze	Shodný Idempotentní nebo Projekce Invertibilní Involutory Nilpotentní Normální Ortogonální Ortonormální Jednotné číslo Unimodulární Unipotentní Zcela unimodulární Vážení
Se specifickými aplikacemi	Adjugovat Střídavé znamení Rozšířené Bézout Carleman Cartan Oběžník Kofaktor Komutace Zmatek Coxeter Odchylka Vzdálenost Zdvojení Odstranění Euklidovská vzdálenost Základní (lineární diferenciální rovnice) Generátor Gramian Hesián Držitel domácnosti Jacobian Okamžik Vyplatit Výběr Náhodný Otáčení Seifert Stříhat Podobnost Symplektický Naprosto pozitivní Proměna Wedderburn X – Y – Z
Použito v statistika	Bernoulli Centrování Korelace Kovariance Design Rozptyl Dvojnásobně stochastický Fisher informace Čepice Přesnost Stochastický Přechod
Použito v teorie grafů	Sousedství Biadjacency Stupeň Edmonds Incidence Laplacian Seidel sousedství Šikmý soused Tutte
Používá se ve vědě a strojírenství	Cabibbo – Kobayashi – Maskawa Hustota Základní (počítačové vidění) Fuzzy asociativní Gama Gell-Mann Hamiltonian Nepravidelný Překrytí S Přechod státu Střídání Z (chemie)
Související pojmy	Jordan kanonická forma Lineární nezávislost Exponenciální matice Maticová reprezentace kuželoseček Perfektní matice Pseudoinverze Kvartérní matice Řádkový sled Wronskian
Seznam matic Kategorie: Matice