Sylvesterova matice - Sylvester matrix

v matematika, a Sylvesterova matice je matice spojené se dvěma jednorozměrné polynomy s koeficienty v a pole nebo a komutativní prsten. Položky Sylvestrovy matice dvou polynomů jsou koeficienty polynomů. The určující Sylvestrovy matice dvou polynomů je jejich výsledný, což je nula, když mají dva polynomy společný kořen (v případě koeficientů v poli) nebo nekonstantní společný dělitel (v případě koeficientů v integrální doména ).

Matice Sylvester jsou pojmenovány po James Joseph Sylvester.

Definice

Formálně, pojďme p a q být dva nenulové polynomy, respektive stupně m an. Tím pádem:

${ displaystyle p (z) = p_ {0} + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + cdots + p_ {m} z ^ {m}, ; q (z) = q_ {0} + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + cdots + q_ {n} z ^ {n}.}$

The Sylvesterova matice spojené s p a q je pak ${ displaystyle (n + m) krát (n + m)}$ matice konstruována následovně:

• -li n > 0, první řádek je:

${ displaystyle { begin {pmatrix} p_ {m} & p_ {m-1} & cdots & p_ {1} & p_ {0} & 0 & cdots & 0 end {pmatrix}}.}$

• druhý řádek je první řádek, posunul jeden sloupec doprava; první prvek řádku je nula.
• následující n - 2 řádky se získají stejným způsobem, přičemž se posunou koeficienty vždy o jeden sloupec doprava a ostatní položky v řádku se nastaví na 0.
• -li m > 0 (n + 1) ten řádek je:

${ displaystyle { begin {pmatrix} q_ {n} & q_ {n-1} & cdots & q_ {1} & q_ {0} & 0 & cdots & 0 end {pmatrix}}.}$

• následující řádky jsou získány stejným způsobem jako dříve.

Pokud tedy m = 4 a n = 3, matice je:

${ displaystyle S_ {p, q} = { begin {pmatrix} p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 & 0 0 & p_ {4} & p_ {3} & p_ {2 } & p_ {1} & p_ {0} & 0 0 & 0 & p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 & 0 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 0 & 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} end {pmatrix}}.}$

Pokud je jeden ze stupňů nula (tj. Odpovídající polynom je nenulová konstanta), pak existují nulové řádky skládající se z koeficientů druhého polynomu a Sylvesterova matice je diagonální matice dimenze stupeň nekonstantního polynomu se všemi úhlopříčnými koeficienty rovnými konstantnímu polynomu. Li m = n = 0, pak je Sylvesterova matice prázdná matice s nulovými řádky a nulovými sloupci.

Varianta

Výše definovaná Sylvestrova matice se objevuje v Sylvesterském článku z roku 1840. V příspěvku z roku 1853 představil Sylvester následující matici, která je až do permutace řádků Sylvestrova matice p a q, které jsou považovány za mající stupeň max (m, n).^[1]Jedná se tedy o ${ Displaystyle 2 , max (n, m) krát 2 , max (n, m)}$-matice obsahující ${ displaystyle max (n, m)}$ páry řádků. Za předpokladu ${ displaystyle m> n,}$ získá se takto:

• první pár je:

${ displaystyle { begin {pmatrix} p_ {m} & p_ {m-1} & cdots & p_ {n} & cdots & p_ {1} & p_ {0} & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & q_ {n} & cdots & q_ {1} & q_ {0} & 0 & cdots & 0 end {pmatrix}}.}$

• druhý pár je první pár, posunul jeden sloupec doprava; první prvky ve dvou řádcích jsou nulové.
• zbývající ${ displaystyle max (n, m) -2}$ páry řádků se získávají stejným způsobem jako výše.

Pokud tedy m = 4 a n = 3, matice je:

${ displaystyle { begin {pmatrix} p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 & 0 & 0 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 & 0 0 & p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 & 0 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 0 & 0 & p_ {4} & p_ {3 } & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 0 & 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 0 & 0 & 0 & p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1 } & p_ {0} 0 & 0 & 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} end {pmatrix}}.}$

Determinant matice 1853 je až do podpisu produkt determinantu Sylvestrovy matice (která se nazývá výsledný z p a q) od ${ displaystyle p_ {m} ^ {m-n}}$ (stále předpokládám ${ displaystyle m geq n}$).

Aplikace

Tyto matice se používají v komutativní algebra, např. otestovat, zda dva polynomy mají (nekonstantní) společný faktor. V takovém případě určující přidruženého Sylvesterova matice (který se jmenuje výsledný dvou polynomů) se rovná nule. Opak je také pravdivý.

Řešení simultánních lineárních rovnic

${ displaystyle {S_ {p, q}} ^ { mathrm {T}} cdot { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 0 end {pmatrix}}}$

kde ${ displaystyle x}$ je vektor velikosti ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle y}$ má velikost ${ displaystyle m}$, obsahují vektory koeficientů těchto a pouze těchto párů ${ displaystyle x, y}$ polynomů (stupňů ${ displaystyle n-1}$ a ${ displaystyle m-1}$), které splňují

${ Displaystyle x (z) cdot p (z) + y (z) cdot q (z) = 0,}$

kde se používá polynomiální násobení a sčítání. To znamená jádro transponované matice Sylvester poskytuje všechna řešení Bézoutova rovnice kde ${ displaystyle deg x < deg q}$ a ${ displaystyle deg y < deg p}$.

V důsledku toho hodnost Sylvestrovy matice určuje stupeň největší společný dělitel z p a q:

${ displaystyle deg ( gcd (p, q)) = m + n- operatorname {hodnost} S_ {p, q}}$

Kromě toho lze koeficienty tohoto největšího společného dělitele vyjádřit jako determinanty dílčích matic Sylvestrovy matice (viz Subresultant ).

Viz také

• Přenosová matice
• Bézoutova matice

Reference

• Weisstein, Eric W. „Sylvester Matrix“. MathWorld.