Anti-diagonální matice - Anti-diagonal matrix - Wikipedia

v matematika, an anti-diagonální matice je čtvercová matice kde jsou všechny položky nulové, kromě těch na diagonále, které přecházejí z levého dolního rohu do pravého horního rohu (↗), známého jako anti-diagonální.

Formální definice

An n-podle-n matice A je anti-diagonální matice, pokud (i, j) prvek je nula ${ displaystyle forall já, j in left {1, ldots, n right } (i + j neq n + 1).}$

Příklad

Příkladem anti-diagonální matice je

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 5 & 0 & 0 0 & 7 & 0 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

Vlastnosti

Všechny anti-diagonální matice jsou také persymetrický.

Produktem dvou anti-diagonálních matic je a diagonální matice. Dále je produkt anti-diagonální matice s diagonální maticí anti-diagonální, stejně jako produkt diagonální matice s anti-diagonální maticí.

Antiagonální matice je invertibilní právě tehdy, pokud jsou položky na úhlopříčce od levého dolního rohu k pravému hornímu rohu nenulové. Inverzní inverzní matice anti-diagonální je také anti-diagonální, jak je patrné z výše uvedeného odstavce. The určující anti-diagonální matice má absolutní hodnota dané produkt položek na úhlopříčce od levého dolního rohu k pravému hornímu rohu. Znaménko tohoto determinantu se však bude lišit, protože ten nenulový podepsaný elementární produkt z antiagonální matice bude mít jiný znak v závislosti na tom, zda permutace související s tím je liché nebo sudé:

Přesněji, znaménko elementárního součinu potřebné k výpočtu determinantu anti-diagonální matice souvisí s tím, zda odpovídající trojúhelníkové číslo je sudé nebo liché. Je to proto, že počet inverzí v permutaci pro jediný nenulový podepsaný elementární produkt libovolného n × n anti-diagonální matice se vždy rovná ntoto číslo.

Viz také

• Hlavní úhlopříčka
• Výměnná matice, anti-diagonální matice s 1 s podél proti-úhlopříčky.

externí odkazy

• "Anti-diagonal matrix". PlanetMath.