v matematika (konkrétně lineární algebra ), Identita matice Woodburyho, pojmenovaná po Maxi A. Woodburym[1][2]říká, že inverzní hodnotak oprava některých matice lze vypočítat provedením hodnoceník korekce na inverzní k původní matici. Alternativní názvy pro tento vzorec jsou lema inverze matice, Sherman – Morrison – Woodburyův vzorec nebo prostě Woodburyův vzorec. Identita se však objevila v několika dokumentech před zprávou Woodburyho.[3]
kde A, U, C a PROTI všechny označují matice správné (přizpůsobivý ) velikosti. Konkrétně A je n-podle-n, U je n-podle-k, C je k-podle-k a PROTI je k-podle-n. To lze odvodit pomocí bloková inverze matice.
Zatímco identita se primárně používá na maticích, platí obecně prsten nebo v Ab-kategorie.
Abychom tento výsledek dokázali, začneme tím, že ukážeme jednodušší. Výměna A a C s maticí identity Já, získáme další identitu, která je o něco jednodušší:
Z toho obnovit původní rovnici snížená identita, nastavit a .
Tuto identitu lze považovat za kombinaci dvou jednodušších identit. První identitu získáváme od
Ve skalárním případě je to (redukovaná verze) jednoduše
Inverzní součet
Li str = q a U = PROTI = Jástr je tedy matice identity
Pokračování ve slučování podmínek krajní pravé strany výše uvedené rovnice má za následek Identita Hua
Další užitečná forma stejné identity je
který má rekurzivní strukturu, která poskytuje
Tuto formu lze použít v rušivých expanzích, kde B je narušení A.
Variace
Binomická inverzní věta
Li A, U, B, PROTI jsou matice velikostí str×str, str×q, q×q, q×strpak
pokud A a B + BVA−1UB jsou nesmyslní. Nesmyslnost toho druhého to vyžaduje B−1 existují, protože se rovná B(Já + VA−1UB) a jeho hodnost nesmí překročit hodnost B.[5]
Od té doby B je invertibilní, dva B výrazy ohraničující závorkovou veličinu inverzní na pravé straně lze nahradit (B−1)−1, což má za následek původní identitu Woodburyho.
Varianta pro kdy B je singulární a možná i nepravidelný:[5]
Pro určité případy existují vzorce A je singulární.[6]
Odvození
Přímý důkaz
Vzorec lze prokázat kontrolou krát její údajná inverze na pravé straně identity Woodburyho dává matici identity:
Alternativní důkazy
Algebraický důkaz
Nejprve zvažte tyto užitečné identity,
Nyní,
Odvození pomocí blokové eliminace
Odvození identity Woodburyho matice se snadno provádí řešením následujícího problému inverze blokové matice
Při rozšiřování vidíme, že výše uvedené se redukuje na
což odpovídá . Když odstraníme první rovnici, zjistíme to , který lze nahradit druhým, aby se našel . Rozšiřování a přeskupování máme nebo . Nakonec dosadíme do našeho a máme . Tím pádem,
Odvozili jsme identitu Woodburyho matice.
Odvození od rozkladu LDU
Začneme maticí
Vyloučením záznamu pod A (vzhledem k tomu A je invertibilní) dostaneme
Stejně tak eliminace výše uvedeného záznamu C dává
Kombinací výše uvedených dvou dostaneme
Pohyb na pravou stranu dává
což je rozklad LDU blokové matice na horní trojúhelníkové, diagonální a spodní trojúhelníkové matice.
Nyní obrácení obou stran dává
Stejně dobře jsme to mohli udělat i jinak (za předpokladu, že C je invertibilní), tj.
Nyní opět obrácení obou stran,
Nyní porovnání prvků (1, 1) RHS z (1) a (2) výše dává Woodburyův vzorec
Aplikace
Tato identita je užitečná v určitých numerických výpočtech, kde A−1 již byla vypočítána a je žádoucí vypočítat (A + UCV)−1. S inverzí A k dispozici, je pouze nutné najít inverzní C−1 + VA−1U za účelem získání výsledku pomocí pravé strany identity. Li C má mnohem menší rozměr než A, je to efektivnější než invertování A + UCV přímo. Běžným případem je nalezení inverze k aktualizaci s nízkým hodnocením A + UCV z A (kde U má pouze několik sloupců a PROTI pouze několik řádků) nebo nalezení aproximace inverzní funkce matice A + B kde matice B lze aproximovat maticí nízkého řádu UCV, například pomocí rozklad singulární hodnoty.
To se uplatňuje např. V Kalmanův filtr a rekurzivní nejmenší čtverce metody, nahradit parametrické řešení, vyžadující inverzi matice velikosti stavového vektoru, s řešením založeným na podmínkových rovnicích. V případě Kalmanova filtru má tato matice rozměry vektoru pozorování, tj. Je malá jako 1, pokud je současně zpracováno pouze jedno nové pozorování. To výrazně zrychluje často výpočty filtru v reálném čase.
^Kurt S. Riedel, „Sherman – Morrison – Woodburyho identita pro matice rozšiřující hodnost s aplikací na centrování“, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 13 (1992)659-662, doi:10.1137/0613040předtiskPAN1152773
Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 2.7.3. Woodburyho vzorec“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN978-0-521-88068-8