Výměnná matice - Exchange matrix

v matematika, zvláště lineární algebra, výměnná matice (nazývané také reverzní matice, zpětná identitanebo standardní involutární permutace) je zvláštní případ a permutační matice, kde 1 prvek je umístěn na protiběžníku a všechny ostatní prvky jsou nulové. Jinými slovy se jedná o verzi „obráceného řádku“ nebo „obráceného sloupce“ matice identity.^[1]

${displaystyle J_ {2} = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}}; quad J_ {3} = {egin {pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0end {pmatrix}}; quad J_ {n} = {egin { pmatrix} 0 a 0 & cdots & 0 & 0 & 1 0 & 0 & cdots & 0 & 1 & 0 0 & 0 & cdots & 1 & 0 & 0 vdots & vdots && vdots & vdots & vdots 0 & 1 & cdots & 0 & 0 & 0 1 & 0 & cdots & 0 & 0 & 0end {pmatrix}}.$

Definice

Li J je n × n výměnná matice, pak prvky J jsou definovány tak, že:

${displaystyle J_ {i, j} = {egin {cases} 1, & j = n-i + 1 0, & jeq n-i + 1 end {cases}}}$

Vlastnosti

• J^T = J.
• Jⁿ = Já dokonce n; Jⁿ = J pro liché n, kde n je jakékoli celé číslo. Zejména, J je involutory matice; to je J⁻¹ = J.
• The stopa z J je 1 -li n je zvláštní, a 0 -li n je dokonce.
• The charakteristický polynom z J je ${displaystyle det (lambda I-J_ {n}) = {ig (} (1-lambda) (1 + lambda) {ig)} ^ {n / 2}}$ pro ${displaystyle n}$ dokonce, a ${displaystyle (1-lambda) ^ {(n + 1) / 2} (1 + lambda) ^ {(n-1) / 2}}$ pro ${displaystyle n}$ zvláštní.
• The adjugovaná matice z J je ${displaystyle operatorname {adj} (J_ {n}) = operatorname {sgn} (pi _ {n}) J_ {n}}$.

Vztahy

• Výměnná matice je nejjednodušší anti-diagonální matice.
• Libovolná matice A splnění podmínky AJ = JA se říká, že je centrosymmetrický.
• Libovolná matice A splnění podmínky AJ = JA^T se říká, že je persymetrický.

Viz také

• Pauliho matice (první Pauliho matice je výměnná matice 2 x 2)

Reference

Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.