Základní matice (lineární diferenciální rovnice) - Fundamental matrix (linear differential equation)

V matematice, a základní matice systému n homogenní lineární obyčejné diferenciální rovnice

${displaystyle {dot {mathbf {x}}} (t) = A (t) mathbf {x} (t)}$

je funkce s hodnotou matice ${displaystyle Psi (t)}$ jejichž sloupce jsou lineárně nezávislé řešení systému.^[1]Pak lze každé řešení systému napsat jako ${displaystyle mathbf {x} (t) = Psi (t) mathbf {c}}$, pro nějaký konstantní vektor ${displaystyle mathbf {c}}$ (psáno jako sloupcový vektor výšky n).

Lze ukázat, že funkce s hodnotou matice ${displaystyle Psi}$ je základní matice ${displaystyle {dot {mathbf {x}}} (t) = A (t) mathbf {x} (t)}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle {dot {Psi}} (t) = A (t) Psi (t)}$ a ${displaystyle Psi}$ je ne-singulární matice pro všechny ${displaystyle t}$.^[2]

Teorie řízení

Základní matice se používá k vyjádření matice přechodu stavu, základní součást řešení soustavy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic.^[3]

Viz také

• Lineární diferenciální rovnice
• Liouvilleův vzorec
• Systémy obyčejných diferenciálních rovnic

Reference