Hamiltonova matice - Hamiltonian matrix
v matematika, a Hamiltonova matice je 2n-podle-2n matice A takhle JA je symetrický, kde J je šikmo symetrická matice
a Ján je n-podle-n matice identity. Jinými slovy, A je Hamiltonian právě tehdy (JA)T = JA kde ()T označuje přemístit.[1]
Vlastnosti
Předpokládejme, že 2n-podle-2n matice A je psán jako bloková matice
kde A, b, C, a d jsou n-podle-n matice. Pak podmínka, že A být Hamiltonian je ekvivalent vyžadující matice b a C jsou symetrické, a to A + dT = 0.[1][2] Další rovnocennou podmínkou je to A je ve formě A = JS s S symetrický.[2]:34
Z definice snadno vyplývá, že transpozice Hamiltonovské matice je Hamiltonovská. Kromě toho součet (a jakýkoli lineární kombinace ) dvou Hamiltonianových matic je opět Hamiltonian, stejně jako jejich komutátor. Z toho vyplývá, že prostor všech hamiltonovských matic je a Lež algebra, označeno sp (2n). Rozměr sp (2n) je 2n2 + n. Korespondence Lež skupina je symplektická skupina Sp (2n). Tuto skupinu tvoří: symplektické matice ty matice A které uspokojí ATJA = J. To znamená, že exponenciální matice Hamiltonovské matice je symplektická. Logaritmus symplektické matice však nemusí být nutně hamiltoniánský, protože exponenciální mapa od Lieovy algebry ke skupině není surjektivní.[2]:34–36[3]
The charakteristický polynom skutečné Hamiltonovské matice je dokonce. Pokud tedy má hamiltoniánská matice λ jako vlastní číslo, pak −λ, λ* a −λ* jsou také vlastní čísla.[2]:45 Z toho vyplývá, že stopa Hamiltonovské matice je nula.
Čtverec Hamiltonovské matice je skew-Hamiltonian (matice A je skew-Hamiltonian, pokud (JA)T = −JA). Naopak každá šikmo-hamiltonovská matice vzniká jako čtverec hamiltonovské matice.[4]
Rozšíření na složité matice
Definici hamiltonovských matic lze rozšířit na složité matice dvěma způsoby. Jednou z možností je říci, že matice A je Hamiltonian pokud (JA)T = JA, jak je uvedeno výše.[1][4] Další možností je použít podmínku (JA)* = JA kde ()* označuje konjugovat transponovat.[5]
Hamiltonovští operátoři
Nechat PROTI být vektorovým prostorem vybaveným symplektickou formou Ω. Lineární mapa je nazýván Hamiltonovský operátor s ohledem na Ω pokud je formulář je symetrický. Rovněž by to mělo uspokojit
Vyberte základnu E1, …, E2n v PROTI, takový, že Ω je psán jako . Lineární operátor je Hamiltonian vzhledem k Ω právě když je jeho matice na tomto základě hamiltonovská.[4]
Reference
- ^ A b C Ikramov, Khakim D. (2001), „Hamiltonovské druhé odmocniny zešikmené-Hamiltonovské matice znovu navštíveny“, Lineární algebra a její aplikace, 325: 101–107, doi:10.1016 / S0024-3795 (00) 00304-9.
- ^ A b C d Meyer, K. R .; Hall, G. R. (1991), Úvod do Hamiltonovských dynamických systémů a N- problém s tělem, Springer, ISBN 0-387-97637-X.
- ^ Dragt, Alex J. (2005), „Symlektická skupina a klasická mechanika“, Annals of the New York Academy of Sciences, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196 / annals.1350.025, PMID 15980319.
- ^ A b C Waterhouse, William C. (2005), „Struktura střídavě-hamiltonovských matic“, Lineární algebra a její aplikace, 396: 385–390, doi:10.1016 / j.laa.2004.10.003.
- ^ Paige, Chris; Van Loan, Charles (1981), „Schurův rozklad pro hamiltonovské matice“, Lineární algebra a její aplikace, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0.