Persymetrická matice - Persymmetric matrix

v matematika, persymetrická matice může odkazovat se na:

1. A čtvercová matice který je symetrický vzhledem k úhlopříčce severovýchod-jih; nebo
2. čtvercová matice tak, aby hodnoty na každém řádku kolmém na hlavní úhlopříčku byly stejné pro daný řádek.

První definice je v současné literatuře nejběžnější. Označení „Hankelova matice „se často používá pro matice splňující vlastnost ve druhé definici.

Definice 1

Symetrický vzor persymetrické matice 5 × 5

Nechat A = (A_ij) být n × n matice. První definice persymetrický to vyžaduje

${displaystyle a_ {ij} = a_ {n-j + 1, n-i + 1}}$ pro všechny i, j.^[1]

Například persymetrické matice 5 x 5 jsou ve formě

${displaystyle A = {egin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} & a_ {15} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} & a_ {14} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {23} & a_ {13} a_ {41} & a_ {42} & a_ {32} & a_ {22} & a_ {12} a_ {51} & a_ {41 } & a_ {31} & a_ {21} & a_ {11} end {bmatrix}}.}$

To lze ekvivalentně vyjádřit jako AJ = JA^T kde J je výměnná matice.

A symetrická matice je matice, jejíž hodnoty jsou symetrické v úhlopříčce severozápad-jihovýchod. Pokud se symetrická matice otočí o 90 °, stane se z ní persymetrická matice. Symetrické persymetrické matice se někdy nazývají bisymetrické matice.

Definice 2

Druhá definice je způsobena Thomas Muir.^[2] Říká se, že čtvercová matice A = (A_ij) je persymetrický, pokud A_ij záleží jen na i + j. Persymetrické matice v tomto smyslu nebo Hankelovy matice, jak se jim často říká, mají formu

${displaystyle A = {egin {bmatrix} r_ {1} & r_ {2} & r_ {3} & cdots & r_ {n} r_ {2} & r_ {3} & r_ {4} & cdots & r_ {n + 1} r_ {3 } & r_ {4} & r_ {5} & cdots & r_ {n + 2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots r_ {n} & r_ {n + 1} & r_ {n + 2} & cdots & r_ {2n-1} end {bmatrix} }.}$

A persymetrický determinant je určující persymetrické matice.^[2]

Matice, pro kterou jsou hodnoty na každém řádku rovnoběžném s hlavní úhlopříčkou konstantní, se nazývá a Toeplitzova matice.

Viz také

• Centrosymmetrická matice

Reference