Shift matrix - Shift matrix - Wikipedia

v matematika, a posunovací matice je binární matice pouze s těmi na superdiagonální nebo subdiagonální a nuly jinde. Posunovací matice U s těmi na superdiagonální je matice horního posunu. Alternativní subdiagonální matice L je nepřekvapivě známý jako matice nižšího posunu. (i,j): th složka U a L jsou

{ displaystyle U_ {ij} = delta _ {i + 1, j}, quad L_ {ij} = delta _ {i, j + 1},}

kde ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta symbol.

Například 5×5 posuvné matice jsou

{ displaystyle U_ {5} = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} quad L_ {5} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 end {pmatrix}}.}

Je zřejmé, že přemístit matice dolního řazení je matice horního řazení a naopak.

Jako lineární transformace posune matice nižšího posunu komponenty vektoru sloupce o jednu pozici dolů, přičemž na první pozici se objeví nula. Matice horního posunu posune komponenty vektoru sloupce o jednu pozici nahoru, přičemž na poslední pozici se objeví nula.^[1]

Premultiplying matice A výsledkem matice nižšího posunu jsou prvky A byl posunut o jednu pozici směrem dolů a v horním řádku se objevily nuly. Postmultiplikace pomocí matice s nižším posunem má za následek posun doleva. Podobné operace zahrnující matici s horním posunem vedou k opačnému posunu.

Je zřejmé, že všechny matice posunutí konečných rozměrů jsou nilpotentní; an n podle n posunovací matice S se stává nulová matice když se zvedne k síle své dimenze n.

Shift matice působí mezery posunu. Matice nekonečně dimenzionálního posunu jsou zvláště důležité pro studium ergodické systémy. Důležitými příklady nekonečně-dimenzionálních posunů jsou Bernoulliho posun, který funguje jako posun Cantorův prostor a Gaussova mapa, který působí jako posun v prostoru pokračující zlomky (tj. na Baireův prostor.)

Vlastnosti

Nechat L a U být n podle n dolní a horní posunovací matice. Následující vlastnosti platí pro obě U a LUveďme proto pouze seznam vlastností pro U:

det (U) = 0
stopa (U) = 0
hodnost (U) = n − 1
The charakteristické polynomy z U je
${ displaystyle p_ {U} ( lambda) = (- 1) ^ {n} lambda ^ {n}.}$
Uⁿ = 0. To vyplývá z předchozí vlastnosti Cayley-Hamiltonova věta.
The trvalý z U je 0.

Následující vlastnosti ukazují, jak U a L souvisejí:

L^T = U; U^T = L
The nulové mezery z U a L jsou
${ displaystyle N (U) = operatorname {span} left {(1,0, ldots, 0) ^ { mathsf {T}} right },}$
${ displaystyle N (L) = operatorname {span} left {(0, ldots, 0,1) ^ { mathsf {T}} right }.}$
The spektrum z U a L je ${ displaystyle {0 }}$ . The algebraická multiplicita z 0 je n, a jeho geometrická multiplicita je 1. Z výrazů pro nulové mezery vyplývá, že (až do měřítka) je jediným vlastním vektorem pro U je ${ displaystyle (1,0, ldots, 0) ^ { mathsf {T}}}$ a jediný vlastní vektor pro L je ${ displaystyle (0, ldots, 0,1) ^ { mathsf {T}}}$ .
Pro LU a UL my máme
${ displaystyle UL = I- operatorname {diag} (0, ldots, 0,1),}$
${ displaystyle LU = I- operatorname {diag} (1,0, ldots, 0).}$
Tyto matice jsou idempotentní, symetrické a mají stejnou hodnost jako U a L
L^{n - a}U^{n - a} + L^AU^A = U^{n - a}L^{n - a} + U^AL^A = Já (dále jen matice identity ), pro jakékoli celé číslo A mezi 0 a n včetně.

Li N je jakýkoli nilpotentní matice, pak N je podobný do a bloková diagonální matice formuláře

{ displaystyle { begin {pmatrix} S_ {1} & 0 & ldots & 0 0 & S_ {2} & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & ldots & S_ {r} konec {pmatrix}}}

kde každý z bloků S₁, S₂, ..., S_r je posunovací matice (možná různých velikostí).^[2]^[3]

Příklady

{ displaystyle S = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 end {pmatrix}}; quad A = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 1 & 2 & 2 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 1 end {pmatrix}}.}

Pak,

{ displaystyle SA = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 & 1 1 & 2 & 3 & 2 & 1 1 & 2 & 2 & 2 & 1 end {pmatrix}}; quad AS = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 0 end {pmatrix}}.}

Je zřejmé, že existuje mnoho možných obměny. Například, ${ displaystyle S ^ { mathsf {T}} AS}$ se rovná matici A posunul nahoru a doleva podél hlavní úhlopříčky.