Shift matrix - Shift matrix - Wikipedia
v matematika, a posunovací matice je binární matice pouze s těmi na superdiagonální nebo subdiagonální a nuly jinde. Posunovací matice U s těmi na superdiagonální je matice horního posunu. Alternativní subdiagonální matice L je nepřekvapivě známý jako matice nižšího posunu. (i,j): th složka U a L jsou
kde je Kroneckerova delta symbol.
Například 5×5 posuvné matice jsou
Je zřejmé, že přemístit matice dolního řazení je matice horního řazení a naopak.
Jako lineární transformace posune matice nižšího posunu komponenty vektoru sloupce o jednu pozici dolů, přičemž na první pozici se objeví nula. Matice horního posunu posune komponenty vektoru sloupce o jednu pozici nahoru, přičemž na poslední pozici se objeví nula.[1]
Premultiplying matice A výsledkem matice nižšího posunu jsou prvky A byl posunut o jednu pozici směrem dolů a v horním řádku se objevily nuly. Postmultiplikace pomocí matice s nižším posunem má za následek posun doleva. Podobné operace zahrnující matici s horním posunem vedou k opačnému posunu.
Je zřejmé, že všechny matice posunutí konečných rozměrů jsou nilpotentní; an n podle n posunovací matice S se stává nulová matice když se zvedne k síle své dimenze n.
Shift matice působí mezery posunu. Matice nekonečně dimenzionálního posunu jsou zvláště důležité pro studium ergodické systémy. Důležitými příklady nekonečně-dimenzionálních posunů jsou Bernoulliho posun, který funguje jako posun Cantorův prostor a Gaussova mapa, který působí jako posun v prostoru pokračující zlomky (tj. na Baireův prostor.)
Vlastnosti
Nechat L a U být n podle n dolní a horní posunovací matice. Následující vlastnosti platí pro obě U a LUveďme proto pouze seznam vlastností pro U:
- det (U) = 0
- stopa (U) = 0
- hodnost (U) = n − 1
- The charakteristické polynomy z U je
- Un = 0. To vyplývá z předchozí vlastnosti Cayley-Hamiltonova věta.
- The trvalý z U je 0.
Následující vlastnosti ukazují, jak U a L souvisejí:
- LT = U; UT = L
- The nulové mezery z U a L jsou
- The spektrum z U a L je . The algebraická multiplicita z 0 je n, a jeho geometrická multiplicita je 1. Z výrazů pro nulové mezery vyplývá, že (až do měřítka) je jediným vlastním vektorem pro U je a jediný vlastní vektor pro L je .
- Pro LU a UL my máme
- Tyto matice jsou idempotentní, symetrické a mají stejnou hodnost jako U a L
- Ln - aUn - a + LAUA = Un - aLn - a + UALA = Já (dále jen matice identity ), pro jakékoli celé číslo A mezi 0 a n včetně.
Li N je jakýkoli nilpotentní matice, pak N je podobný do a bloková diagonální matice formuláře
kde každý z bloků S1, S2, ..., Sr je posunovací matice (možná různých velikostí).[2][3]
Příklady
Pak,
Je zřejmé, že existuje mnoho možných obměny. Například, se rovná matici A posunul nahoru a doleva podél hlavní úhlopříčky.
Viz také
Poznámky
- ^ Beauregard & Fraleigh (1973, str. 312)
- ^ Beauregard & Fraleigh (1973 312 313)
- ^ Herstein (1964, str. 250)
Reference
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), První kurz v lineární algebře: s volitelným úvodem do skupin, prstenů a polí, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
- Herstein, I.N. (1964), Témata v algebřeWaltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016