Naprosto pozitivní matice - Totally positive matrix

v matematika, a zcela pozitivní matice je čtverec matice ve kterém všechny nezletilí jsou pozitivní: tj určující každého čtverce submatice je kladné číslo.^[1] Úplně pozitivní matice má všechny položky pozitivní, takže je také a pozitivní matice; a má všechno hlavní nezletilí pozitivní (a pozitivní vlastní čísla ). A symetrický naprosto pozitivní matice je tedy také pozitivní-definitivní. A zcela nezáporná matice je definován podobně, kromě toho, že všichni nezletilí musí být nezáporní (kladní nebo nulový). Někteří autoři používají „zcela pozitivní“ k zahrnutí všech zcela nezáporných matic.

Definice

Nechat ${ displaystyle mathbf {A} = (A_ {ij}) _ {ij}}$ být n × n matice. Zvažte jakékoli ${ displaystyle p in {1,2, ldots, n }}$ a jakékoli p × p submatice formuláře ${ displaystyle mathbf {B} = (A_ {i_ {k} j _ { ell}}) _ {k ell}}$ kde:

{ displaystyle 1 leq i_ {1} < ldots

Pak A je zcela pozitivní matice li:^[2]

{ displaystyle det ( mathbf {B})> 0}

pro všechny dílčí matice ${ displaystyle mathbf {B}}$ které lze formovat tímto způsobem.

Dějiny

Mezi témata, která historicky vedla k rozvoji teorie totální pozitivity, patří studium:^[2]

the spektrální vlastnosti jádra a matice, které jsou naprosto pozitivní,
obyčejné diferenciální rovnice jehož Greenova funkce je naprosto pozitivní (M. G. Kerin a někteří kolegové v polovině 30. let),
the vlastnosti snižující odchylky (zahájen I. J. Schoenbergem v roce 1930),
Pólya frekvenční funkce (I. J. Schoenberg na konci 40. a počátku 50. let).

Příklady

Například a Vandermondeova matice jejichž uzly jsou kladné a zvětšující se je zcela pozitivní matice.

Viz také

Složená matice

Reference

^ George M. Phillips (2003), „Celková pozitivita“, Interpolace a aproximace polynomy, Springer, str. 274, ISBN 9780387002156
^ ^A ^b Spektrální vlastnosti zcela pozitivních jader a matic, Allan Pinkus

Další čtení

Allan Pinkus (2009), Zcela pozitivní matice, Cambridge University Press, ISBN 9780521194082

externí odkazy

Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] George M. Phillips (2003), „Celková pozitivita“, Interpolace a aproximace polynomy, Springer, str. 274, ISBN 9780387002156

[AP-2] A ^b Spektrální vlastnosti zcela pozitivních jader a matic, Allan Pinkus

[1]

[2]