Bézoutova matice - Bézout matrix

v matematika, a Bézoutova matice (nebo Bézoutian nebo Bezoutiant) je speciální čtvercová matice spojené s dvěma polynomy, představil James Joseph Sylvester  (1853 ) a Arthur Cayley  (1857 ) a pojmenoval podle Étienne Bézout. Bézoutian může také odkazovat na určující této matice, která se rovná výsledný dvou polynomů. Bézoutovy matice se někdy používají k testování stabilita daného polynomu.

Definice

Nechat ${ displaystyle f (z)}$ a ${ displaystyle g (z)}$ být maximálně dva složité polynomy stupně n,

${ displaystyle f (z) = součet _ {i = 0} ^ {n} u_ {i} z ^ {i}, quad quad g (z) = součet _ {i = 0} ^ {n } v_ {i} z ^ {i}.}$

(Všimněte si, že jakýkoli koeficient ${ displaystyle u_ {i}}$ nebo ${ displaystyle v_ {i}}$ může být nula.) Bézoutova matice řádu n spojené s polynomy F a G je

${ displaystyle B_ {n} (f, g) = left (b_ {ij} right) _ {i, j = 0, dots, n-1}}$

kde jsou záznamy ${ displaystyle b_ {ij}}$ výsledek z identity

${ displaystyle { frac {f (x) g (y) -f (y) g (x)} {xy}} = součet _ {i, j = 0} ^ {n-1} b_ {ij} , x ^ {i} , y ^ {j}.}$

To je v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n krát n}}$ a položky této matice jsou takové, že pokud to dovolíme ${ displaystyle m_ {ij} = min {i, n-1-j }}$ pro každého ${ displaystyle i, j = 0, tečky, n-1}$, pak:

${ displaystyle b_ {ij} = součet _ {k = 0} ^ {m_ {ij}} (u_ {j + k + 1} v_ {ik} -u_ {ik} v_ {j + k + 1}) .}$

Ke každé matici Bézout lze přiřadit následující bilineární forma, nazvaný Bézoutian:

${ displaystyle operatorname {Bez}: mathbb {C} ^ {n} times mathbb {C} ^ {n} to mathbb {C}: (x, y) mapsto operatorname {Bez} ( x, y) = x ^ {*} B_ {n} (f, g) y.}$

Příklady

• Pro n = 3, máme pro všechny polynomy F a G stupně (maximálně) 3:

${ displaystyle B_ {3} (f, g) = left [{ begin {matrix} u_ {1} v_ {0} -u_ {0} v_ {1} & u_ {2} v_ {0} -u_ { 0} v_ {2} & u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} u_ {2} v_ {0} -u_ {0} v_ {2} & u_ {2} v_ {1} -u_ {1} v_ {2} + u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} a u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} & u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} & u_ {3} v_ {2} -u_ {2} v_ {3} end { matice}} vpravo].}$

• Nechat ${ displaystyle f (x) = 3x ^ {3} -x}$ a ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {2} +1}$ být dva polynomy. Pak:

${ displaystyle B_ {4} (f, g) = left [{ begin {matrix} -1 & 0 & 3 & 0 0 & 8 & 0 & 0 3 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {matrix}} right].}$

Poslední řádek a sloupec jsou všechny nulové F a G mít titul přísně menší než n (rovná 4). Ostatní nulové položky jsou, protože pro každý ${ displaystyle i = 0, tečky, n}$, buď ${ displaystyle u_ {i}}$ nebo ${ displaystyle v_ {i}}$ je nula.

Vlastnosti

• ${ displaystyle B_ {n} (f, g)}$ je symetrický (jako matice);
• ${ displaystyle B_ {n} (f, g) = - B_ {n} (g, f)}$;
• ${ displaystyle B_ {n} (f, f) = 0}$;
• ${ displaystyle B_ {n} (f, g)}$ je bilineární v (F,G);
• ${ displaystyle B_ {n} (f, g)}$ je v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n krát n}}$ -li F a G mít skutečné koeficienty;
• ${ displaystyle B_ {n} (f, g)}$ je nesmyslný s ${ displaystyle n = max ( deg (f), deg (g))}$ kdyby a jen kdyby F a G nemají společné kořeny.
• ${ displaystyle B_ {n} (f, g)}$ s ${ displaystyle n = max ( deg (f), deg (g))}$ má určující který je výsledný z F a G.

Aplikace

Důležitou aplikaci Bézoutových matic lze najít v teorie řízení. Chcete-li to vidět, nechte F(z) být komplexní polynom stupně n a označit q a p skutečné polynomy takové F(tjy) = q(y) + ip(y) (kde y je skutečný). Také si povšimneme r pro hodnost a σ pro podpis ${ displaystyle B_ {n} (p, q)}$. Pak máme následující prohlášení:

• F(z) má n − r společné kořeny s jeho konjugátem;
• levá r kořeny F(z) jsou umístěny takovým způsobem, že:
  • (r + σ) / 2 z nich leží v otevřené levé polorovině a
  • (r − σ) / 2 leží v otevřené pravé polorovině;
• F je Hurwitz stabilní kdyby a jen kdyby ${ displaystyle B_ {n} (p, q)}$ je pozitivní určitý.

Třetí tvrzení uvádí nezbytnou a dostatečnou podmínku týkající se stability. Kromě toho první prohlášení vykazuje určité podobnosti s výsledkem týkajícím se Sylvesterové matice zatímco druhý může souviset s Routh – Hurwitzova věta.

Reference

• Cayley, Arthur (1857), „Note sur la methode d'elimination de Bezout“, J. Reine Angew. Matematika., 53: 366–367, doi:10,1515 / crll.1857,53,366
• Kreĭn, M. G .; Naĭmark, M. A. (1981) [1936], „Metoda symetrických a hermitovských forem v teorii oddělení kořenů algebraických rovnic“, Lineární a multilineární algebra, 10 (4): 265–308, doi:10.1080/03081088108817420, ISSN  0308-1087, PAN  0638124
• Pan, Victor; Bini, Dario (1994). Polynomiální a maticové výpočty. Basilej, Švýcarsko: Birkhäuser. ISBN  0-8176-3786-9.
• Pritchard, Anthony J .; Hinrichsen, Diederich (2005). Teorie matematických systémů I: modelování, analýza stavového prostoru, stabilita a robustnost. Berlín: Springer. ISBN  3-540-44125-5.
• Sylvester, James Joseph (1853), „O teorii syzygetických vztahů dvou racionálních integrálních funkcí, zahrnující aplikaci na teorii Sturmových funkcí a o největší společné algebraické míře“ (PDF), Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně Královská společnost 143: 407–548, doi:10.1098 / rstl.1853.0018, ISSN  0080-4614, JSTOR  108572