Smyková matice - Shear matrix

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Smyková matice"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (prosinec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a smyková matice nebo transvekce je elementární matice který představuje přidání násobku jednoho řádku nebo sloupce do druhého. Takovou matici lze odvodit pomocí matice identity a nahrazení jednoho z nulových prvků nenulovou hodnotou.

Typická smyková matice je uvedena níže:

${displaystyle S = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & lambda & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1end {pmatrix}}.}$

Název stříhat odráží skutečnost, že matice představuje a smyková transformace. Geometricky, taková transformace trvá dvojice bodů v lineárním prostoru, které jsou čistě axiálně odděleny podél osy, jejichž řada v matici obsahuje smykový prvek, a účinně nahradí tyto páry dvojicemi, jejichž oddělení již není čistě axiální, ale má dva vektor komponenty. Osa smyku je tedy vždy vlastní vektor z S.

Smyk rovnoběžný s X výsledky osy v ${displaystyle x '= x + lambda y}$ a ${displaystyle y '= y}$. V maticové formě:

${displaystyle {egin {pmatrix} x ' y'end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 1 & lambda 0 & 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} x yend {pmatrix}}.}$

Podobně smyk rovnoběžný s y osa má ${displaystyle x '= x}$ a ${displaystyle y '= y + lambda x}$. V maticové formě:

${displaystyle {egin {pmatrix} x ' y'end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 1 & 0 lambda & 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} x yend {pmatrix}}.}$

Je zřejmé, že determinant bude vždy 1, protože bez ohledu na to, kde je smykový prvek umístěn, bude to člen šikmé úhlopříčky, který také obsahuje nulové prvky (protože všechny šikmé úhlopříčky mají délku alespoň dvě), proto její produkt zůstane nula a nepřispěje k determinantu. Každá smyková matice má tedy inverzi a inverze je jednoduše smyková matice s negovaným smykovým prvkem, což představuje smykovou transformaci v opačném směru. Ve skutečnosti je to součást snadno odvozitelného obecnějšího výsledku: if S je smyková matice se smykovým prvkem ${displaystyle lambda}$, pak Sⁿ je smyková matice, jejíž smykový prvek je jednoduše n${displaystyle lambda}$. Z tohoto důvodu zvyšování smykové matice na sílu n znásobuje jeho smykový faktor podle n.

Vlastnosti

Li S je n × n smyková matice, pak:

• S má hodnost n a proto je invertibilní
• 1 je jediný vlastní číslo z S, takže det S = 1 a trasování S = n
• the vlastní prostor z S má n-1 rozměry.
• S je asymetrický
• S mohou být vyrobeny do a bloková matice maximálně 1 výměnou sloupců a 1 výměnou řádků
• the plocha, objem, nebo jakákoli vnitřní kapacita vyššího řádu a polytop je invariantní pod smykovou transformací vrcholů mnohostěnu.

Aplikace

• Střihové matice se často používají v počítačová grafika.^[1]

Viz také

• Transformační matice

Poznámky

Reference

• Foley, James D .; van Dam, Andries; Feiner, Steven K .; Hughes, John F. (1991), Počítačová grafika: Zásady a praxe (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, ISBN  0-201-12110-7