Algebraický prvek splňující některá kritéria inverze
„Pseudoinverze“ přeadresuje tady. Pro inverzi Moore-Penrose, někdy označovanou jako „pseudoinverze“, viz
Moore – Penrose inverzní.
v matematika, a zejména algebra, a generalizovaná inverze prvku X je prvek y který má některé vlastnosti inverzní prvek ale ne nutně všechny. Zobecněné inverze lze definovat v libovolném matematická struktura to zahrnuje asociativní násobení, tedy v a poloskupina. Tento článek popisuje zobecněné inverze a matice .
Formálně, vzhledem k matici a matice , je zobecněná inverzní funkce k pokud splňuje podmínku [1][2][3]
Účelem konstrukce zobecněné inverze matice je získat matici, která může v určitém smyslu sloužit jako inverze pro širší třídu matic než pro invertibilní matice. Zobecněná inverze existuje pro libovolnou matici, a když má matice a pravidelná inverze, tato inverze je její jedinečná generalizovaná inverze.[4]
Motivace
Zvažte lineární systém
kde je matice a the sloupcový prostor z . Li je nesmyslný (což znamená ) pak bude řešením systému. Všimněte si, že pokud je tedy nesmyslná
Nyní předpokládejme je obdélníkový () nebo čtvercový a singulární. Pak potřebujeme správného kandidáta řádu takové, že pro všechny
- [5]
To znamená je řešení lineárního systému . Ekvivalentně potřebujeme matici řádu takhle
Proto můžeme definovat generalizovaná inverze nebo g-inverzní takto: Vzhledem k matice , an matice se říká, že je generalizovanou inverzní funkcí k -li [6][7][8] Matice byl nazván a pravidelná inverze z některými autory.[9]
Typy
Penrosovy podmínky definují různé generalizované inverze pro a
kde označuje transpozici konjugátu. Li splňuje první podmínku, pak je a generalizovaná inverze z . Pokud splňuje první dvě podmínky, pak je to a reflexivní generalizovaná inverze z . Pokud splňuje všechny čtyři podmínky, pak je to pseudoinverze z .[10][11][12][13] Pseudoinverze se někdy nazývá Moore – Penrose inverzní, poté, co průkopnická díla vytvořil E. H. Moore a Roger Penrose.[14][15][16][17][18]
Když není singulární, jakýkoli zobecněný inverzní a je jedinečný, ale ve všech ostatních případech existuje nekonečné množství matic, které splňují podmínku (1). Inverze Moore-Penrose je však jedinečná.[19]
Existují i jiné druhy generalizované inverze:
- Jednostranný inverzní (pravý inverzní nebo levý inverzní)
- Pravá inverze: Pokud je matice má rozměry a pak existuje matice volal pravý inverzní z takhle kde je matice identity.
- Levá inverze: Pokud je matice má rozměry a , pak existuje matice volal vlevo inverzní z takhle kde je matice identity.[20]
Příklady
Reflexní generalizovaná inverze
Nechat
Od té doby , je singulární a nemá žádnou pravidelnou inverzi. Nicméně, a splňují podmínky (1) a (2), ale ne (3) nebo (4). Proto, je reflexivní generalizovaná inverze k .
Jednostranný inverzní
Nechat
Od té doby není čtvercový, nemá pravidelnou inverzi. Nicméně, je pravá inverzní funkce k . Matice nemá inverzní funkci vlevo.
Inverzní vůči jiným poloskupinám (nebo kruhům)
Prvek b je zobecněná inverzní hodnota prvku A kdyby a jen kdyby , v jakékoli poloskupině (nebo prsten, protože násobení funkce v libovolném kruhu je poloskupina).
Zobecněné inverze prvku 3 v prstenci jsou 3, 7 a 11, protože jsou v kruhu :
Zobecněné inverze prvku 4 v prstenci jsou 1, 4, 7 a 10, protože jsou v kruhu :
Pokud prvek A v poloskupině (nebo kruhu) má inverzi, inverze musí být jedinou generalizovanou inverzí tohoto prvku, stejně jako prvky 1, 5, 7 a 11 v kruhu .
V ringu , jakýkoli prvek je generalizovanou inverzí 0, nicméně 2 nemá žádnou generalizovanou inverzi, protože neexistuje b v takové, že 2 *b*2 = 2.
Konstrukce
Následující charakterizace lze snadno ověřit:
- Pravá inverzní funkce a ne čtvercová matice darováno , za předpokladu A má celou řadu.[21]
- Levá inverze non-čtvercové matice darováno , za předpokladu A má celé pořadí sloupců.[22]
- Li je faktorizace pořadí, pak je g-inverzní z , kde je pravá inverzní funkce k a je vlevo inverzní k .
- Li