Kvartérní matice - Quaternionic matrix
A kvaternionová matice je matice jejichž prvky jsou čtveřice.
Maticové operace
Čtverce tvoří a nekomutativní prsten, a proto přidání a násobení lze definovat pro kvaternionové matice stejně jako pro matice nad jakýmkoli prstencem.
Přidání. Součet dvou kvaternionových matic A a B je definován obvyklým způsobem přidáním po prvcích:
Násobení. Produkt dvou kvaternionových matic A a B také následuje obvyklou definici pro násobení matic. Aby bylo možné definovat, počet sloupců A musí se rovnat počtu řádků B. Poté položka v ith řádek a jtým sloupcem produktu je Tečkovaný produkt z ith řádek první matice s jsloupec druhé matice. Konkrétně:
Například pro
výrobek je
Vzhledem k tomu, že kvartérní násobení je nekomutativní, je třeba při výpočtu součinu matic dbát na zachování pořadí faktorů.
The identita pro toto násobení je podle očekávání úhlopříčná matice I = diag (1, 1, ..., 1). Násobení se řídí obvyklými zákony asociativita a distribučnost. Stopa matice je definována jako součet diagonálních prvků, ale obecně
Levé skalární násobení a pravé skalární násobení jsou definovány
Opět platí, že protože násobení není komutativní, je třeba věnovat pozornost pořadí faktorů.[1]
Determinanty
Neexistuje žádný přirozený způsob, jak definovat a určující pro (čtvercové) kvaternionové matice, takže hodnoty determinantu jsou čtveřice.[2] Lze však definovat komplexní hodnotné determinanty.[3] Čtveřice A + bi + cj + dk lze reprezentovat jako komplexní matici 2 × 2
To definuje mapu Ψmn z m podle n kvaternionové matice k 2m o 2n složité matice nahrazením každé položky v kvaternionové matici její komplexní reprezentací 2 x 2. Komplexní oceňovaný determinant čtvercové kvaternionové matice A je pak definováno jako det (Ψ (A)). Mnoho obvyklých zákonů pro determinanty platí; zejména an n podle n matice je invertibilní právě tehdy, je-li jeho determinant nenulový.
Aplikace
Kvaternionové matice se používají v kvantová mechanika[4] a při léčbě vícetělové problémy.[5]
Reference
- ^ Tapp, Kristopher (2005). Maticové skupiny pro vysokoškoláky. AMS Bookstore. s. 11 ff. ISBN 0-8218-3785-0.
- ^ Helmer Aslaksen (1996). "Kvartérní determinanty". Matematický zpravodaj. 18 (3): 57–65. doi:10.1007 / BF03024312.
- ^ E. Study (1920). „Zur Theorie der linearen Gleichungen“. Acta Mathematica (v němčině). 42 (1): 1–61. doi:10.1007 / BF02404401.
- ^ N. Rösch (1983). „Časově obrácená symetrie, Kramersova degenerace a problém algebraické vlastní hodnoty“. Chemická fyzika. 80 (1–2): 1–5. doi:10.1016/0301-0104(83)85163-5.
- ^ Klaus Gürlebeck; Wolfgang Sprössig (1997). "Kvartérní matice". Kvaternionový a Cliffordův počet pro fyziky a inženýry. Wiley. str.32 –34. ISBN 978-0-471-96200-7.