Pascalova matice - Pascal matrix - Wikipedia

v matematika, zejména teorie matic a kombinatorika, Pascalova matice je nekonečná matice obsahující binomické koeficienty jako jeho prvky. Existují tři způsoby, jak toho dosáhnout: buď jako matice horního trojúhelníku, matice dolního trojúhelníku (trojúhelníkové matice ), nebo a symetrická matice. Níže je uvedeno 5 × 5 zkrácení.

Dolní trojúhelníkový: ${ displaystyle L_ {5} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 3 & 1 & 0 1 & 4 & 6 & 4 & 1 end {pmatrix}}; , , ,}$

Symetrický: ${ displaystyle S_ {5} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & 3 & 6 & 10 & 15 1 & 4 & 10 & 20 & 35 1 & 5 & 15 & 35 & 70 end {pmatrix}}.}$

Horní trojúhelníkový: ${ displaystyle U_ {5} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 1 & 3 & 6 0 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}; , , ,}$

Tyto matice mají příjemný vztah S_n = L_nU_n. Z toho je snadno vidět, že všechny tři matice mají determinant 1, protože determinant trojúhelníkové matice je jednoduše produktem jeho diagonálních prvků, které jsou všechny 1 pro obě L_n a U_n. Jinými slovy, matice S_n, L_n, a U_n jsou unimodulární, s L_n a U_n mít stopa n.

Prvky symetrické Pascalovy matice jsou binomické koeficienty, tj.

${ displaystyle S_ {ij} = {n zvolit r} = { frac {n!} {r! (nr)!}}, { text {kde}} n = i + j, quad r = i .}$

Jinými slovy,

${ displaystyle S_ {ij} = {} _ {i + j} mathbf {C} _ {i} = { frac {(i + j)!} {(i)! (j)!}}.}$

Tedy stopa po S_n darováno

${ displaystyle { text {tr}} (S_ {n}) = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac {[2 (i-1)]!} {[(i-1) !] ^ {2}}} = součet _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {(2k)!} {(K!) ^ {2}}}}$

s několika prvními pojmy danými posloupností 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… (posloupnost A006134 v OEIS ).

Konstrukce

Pascalova matice může být ve skutečnosti sestrojena pomocí exponenciální matice speciální subdiagonální nebo superdiagonální matice. Níže uvedený příklad vytváří matici Pascal 7 ku 7, ale metoda funguje pro všechny požadované n×n Pascalovy matice. (Pamatujte, že tečky v následujících maticích představují nulové prvky.)

${ displaystyle { begin {array} {lll} & L_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 2 &. &. &. &. &. . &. & 3 &. &. &. &. . &. &. & 4 &. &. &. . &. &. & 5 &. &. . &. &. &. &. & 6 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. & . &. &. & 1 & 1 &. &. &. &. &. 1 & 2 & 1 &. &. &. 1 & 3 & 3 & 1 &. &. &. 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &. &. 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 &. 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 end {smallmatrix}} right]; quad & U_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. & 1 &. &. &. &. &. .. . & 2 &. &. &. &. . &. &. & 3 &. &. &. . &. &. &. & 4 &. &. . &. &. &. &. & 5 &. . &. &. &. &. &. & 6 . &. &. &. &. &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 . & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 . &. & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 . &. &. & 1 & 4 & 10 & 20 . &. &. &. & 1 & 5 & 15 . &. &. &. &. & 1 & 6 . &. &. &. & . &. & 1 end {smallmatrix}} right]; \ proto & S_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 2 &. &. &. &. &. . &. & 3 &. &. &. &. . &. &. & 4 & . &. &. . &. &. & 5 &. &. . &. &. &. &. & 6 &. End {smallmatrix}} right] right) exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. & 1 &. &. &. &. &. . &. & 2 &. &. &. &. . &. &. & 3 &. &. &. . &. &. &. & 4 &. &. . &. &. &. &. & 5 &. . &. &. &. &. &. & 6 . &. &. &. &. . &. end {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 21 right]. end {pole}}}$

Je důležité si uvědomit, že nelze jednoduše předpokládat exp (A) exp (B) = exp (A + B), pro A a B n×n matice. Taková identita platí pouze tehdy, když AB = BA (tj. když matice A a B dojíždět ). Při konstrukci symetrických Pascalových matic, jako je ta výše, sub- a superdiagonální matice nedojíždí, takže (snad) lákavé zjednodušení zahrnující přidání matic nelze provést.

Užitečnou vlastností sub- a superdiagonálních matic použitých při konstrukci je, že obě jsou nilpotentní; to znamená, že když se zvýší na dostatečně vysokou celočíselnou moc, zvrhnou se do nulová matice. (Vidět posunovací matice pro další podrobnosti.) Jako n×n zobecněné matice posunu, které používáme, se při zvýšení na sílu stanou nulou n, při výpočtu maticového exponenciálu musíme brát v úvahu pouze první n + 1 výrazů nekonečné řady k získání přesného výsledku.

Varianty

Zajímavé varianty lze získat zřejmou modifikací maticovo-logaritmu PL₇ a poté aplikace exponenciálu matice.

První níže uvedený příklad používá druhou mocninu hodnot log matice a konstruuje matici 7-by-7 „Laguerre“ (nebo matici koeficientů Laguerrovy polynomy

${ displaystyle { begin {array} {lll} & LAG_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 1 &. & &. &. &. &. . & 4 &. &. &. &. &. . &. & 9 &. &. &. &. . &. &. & 16 &. &. &. . &. &. &. & 25 &. &. . &. &. &. &. & 36 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. & . &. &. & 1 & 1 &. &. &. &. &. 2 & 4 & 1 &. &. &. 6 & 18 & 9 & 1 &. &. . 24 & 96 & 72 & 16 & 1 &. &. 120 & 600 & 600 & 200 & 25 & 1 & 720 & 4320 & 5400 & 2400 & 1 end {smallmatrix}} right]; quad end {pole}}}$

Laguerreova matice se ve skutečnosti používá s nějakým jiným škálováním a / nebo schématem střídavých znaků. (Literatura o zobecnění na vyšší mocnosti zatím nebyla nalezena)

Druhý příklad níže používá produkty proti(proti + 1) hodnot log-matice a vytvoří matici 7 x 7 „Lah“ (nebo matici koeficientů Lah čísla )

${ displaystyle { begin {array} {lll} & LAH_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 2 &. &. &. &. &. &. . & 6 &. &. &. &. &. . &. & 12 &. &. &. &. . &. &. & 20 &. &. &. . &. &. &. & 30 &. &. . &. &. &. &. & 42 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. & . &. &. &. &. 2 & 1 &. &. &. &. &. &. 6 & 6 & 1 &. &. &. &. &. 24 & 36 & 12 & 1 &. &. &. &. 120 & 240 & 120 & 20 & 1 &. & . &. 720 & 1800 & 1200 & 300 & 30 & 1 &. &. 5040 & 15120 & 12600 & 4200 & 630 & 42 & 1 &. 40320 & 141120 & 141120 & 58800 & 11760 & 1176 & 56 & 1 end {smallmatrix}} right]; quad end {array}}}$

Použitím proti(proti - 1) místo toho poskytuje diagonální posun doprava dole.

Třetí příklad níže používá čtverec originálu PL₇-matice dělená 2, jinými slovy: binomické řády prvního řádu (binomické (k, 2)) ve druhém subdiagonálním a konstruuje matici, která se vyskytuje v kontextu derivací a integrálů Gaussian chybová funkce:

${ displaystyle { begin {array} {lll} & GS_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. . &. & . &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 3 &. &. &. &. &. . &. & 6 &. &. &. &. . &. &. & 10 &. &. &. . &. &. &. & 15 &. &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. & . &. &. &. &. . & 1 &. &. &. &. &. 1 &. & 1 &. &. &. &. . & 3 &. & 1 &. &. &. 3 &. & 6 & . & 1 &. &. . & 15 &. & 10 &. & 1 &. 15 &. & 45 &. & 15 &. & 1 end {smallmatrix}} right]; quad end {array}}}$

Pokud je tato matice obrácená (například pomocí záporného maticového logaritmu), má tato matice střídavé znaky a dává koeficientům derivátů (a rozšířením) integrály Gaussovy chybové funkce. (Literatura o zobecnění na vyšší mocnosti zatím nebyla nalezena.)

Další variantu lze získat rozšířením původní matice na záporné hodnoty:

${ displaystyle { begin {pole} {lll} & exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. - 5 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. . & - 4 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. . &. & - 3 &. &. &. &. &. &. &. &. &. . &. &. & - 2 &. &. &. &. &. &. &. &. . &. &. &. & - 1 &. &. &. &. &. &. &. . &. &. &. &. & 0 &. &. &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. &. . &. &. &. &. &. &. & 2 &. &. &. &. . &. & . &. &. &. &. &. & 3 &. &. &. . &. &. &. &. &. &. &. &. & 4 &. &. . &. &. &. & . &. &. &. &. &. & 5 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. &. &. &. &. &. &. & . &. &. &. - 5 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. 10 & -4 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. - 10 & 6 & -3 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. 5 & -4 & 3 & -2 & 1 &. &. &. &. &. &. &. - 1 & 1 & -1 & 1 & - 1 & 1 &. &. &. &. &. &. . &. &. &. & 0 & 1 &. &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 & 1 &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 & 2 & 1 &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 & 3 & 3 & 1 &. &. . &. &. & . &. & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &. . &. &. &. &. & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 end {smallmatrix}} right]. End {array}}}$

Viz také

• Pascalův trojúhelník
• LU rozklad

Reference

• G. S. Call a D. J. Velleman, „Pascalovy matice“, Americký matematický měsíčník, svazek 100, (duben 1993), strany 372–376
• Edelman, Alan; Strang, Gilbert (Březen 2004), „Pascalovy matice“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 111 (3): 361–385, doi:10.2307/4145127, archivovány z originál (PDF) dne 04.07.2010

externí odkazy

• G. Helms Pascalmatrix v projektu kompilace faktů o Počet teoretických matic
• G. Helms Gaussova matice
• Weisstein, Eric W. Gaussova funkce
• Weisstein, Eric W. Erf-funkce
• Weisstein, Eric W. „Hermitův polynom“. Hermitovy polynomy
• Endl, Kurt „über eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems“. In: PERIODICKÝ OBJEM 65 Mathematische Zeitschrift Kurt Endl
• OEIS posloupnost A066325 (Koeficienty jednotných Hermitových polynomů He_n(X)) (Souvisí s Gaussovou maticí).