Glosář teorie kategorií - Glossary of category theory

Toto je glosář vlastností a konceptů v teorie kategorií v matematika. (viz také Obrys_kategorie_teorie.)

• Poznámky k základům: V mnoha expozicích (např. Vistoli) jsou množinově-teoretické problémy ignorovány; to například znamená, že člověk nerozlišuje mezi malými a velkými kategoriemi a že může libovolně vytvořit lokalizaci kategorie.^[1] Stejně jako tyto expozice i tento glosář obecně ignoruje teoreticko-teoretické problémy, kromě případů, kdy jsou relevantní (např. Diskuse o přístupnosti).

Zejména pro vyšší kategorie se v teorii kategorií používají také pojmy z algebraické topologie. K tomu viz také glosář algebraické topologie.

Zápisy a konvence použité v tomto článku jsou:

• [n] = {0, 1, 2, …, n}, která je zobrazena jako kategorie (psaním ${ Displaystyle i to j Leftrightarrow i leq j}$.)
• Kočka, kategorie (malých) kategorií, kde objekty jsou kategorie (které jsou malé vzhledem k nějakému vesmíru) a morfismy funktory.
• Fct(C, D), kategorie funktorů: kategorie funktory z kategorie C do kategorie D.
• Soubor, kategorie (malých) sad.
• sSouborkategorie jednoduché sady.
• „slabý“ místo „přísný“ dostane výchozí stav; např. „n-category "znamená" slabý n-category “, nikoli přísná, ve výchozím nastavení.
• Podle ∞-kategorie, myslíme a kvazi-kategorie, nejoblíbenější model, pokud nejsou diskutovány jiné modely.
• Číslo nula 0 je přirozené číslo.

A

abelian

Kategorie je abelian pokud má nulový objekt, má všechna zpětná a vyřazení a všechny monomorfismy a epimorfismy jsou normální.

přístupné

1. Vzhledem k a základní číslovka κ, objekt X v kategorii je κ-přístupné (nebo κ-kompaktní nebo κ-prezentovatelné), pokud ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, -)}$ dojíždí s κ filtrovanými kolimity.

2. Vzhledem k tomu, a řádný kardinál κ, kategorie je κ-přístupné pokud má κ filtrované kolimity a existuje malá sada S κ-kompaktních objektů, které generují kategorii pod kolimity, což znamená, že každý objekt může být zapsán jako kolimit diagramů objektů v S.

přísada

Kategorie je přísada pokud je preadditive (abych byl přesný, má nějakou pre-aditivní strukturu) a připouští vše konečné koprodukty. Ačkoli „preadditive“ je další struktura, lze ukázat, že „aditive“ je a vlastnictví kategorie; tj. lze se zeptat, zda je daná kategorie aditivní nebo ne.^[2]

přídavné jméno

An přídavné jméno (nazývaný také adjointový pár) je dvojice funktorů F: C → D, G: D → C takové, že existuje „přirozená“ bijekce

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {D} (F (X), Y) simeq operatorname {Hom} _ {C} (X, G (Y))}$;

F se říká, že je ponechán v sousedství G a G doprava sousedit s F. Zde „přirozený“ znamená, že existuje přirozený izomorfismus ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {D} (F (-), -) simeq operatorname {Hom} _ {C} (-, G (-))}$ bifunktorů (které jsou v první proměnné v rozporu).

algebra pro monad

Vzhledem k tomu, monad T v kategorii X, an algebra pro T nebo a T-algebra je objekt v X s monoidní akce z T („algebra“ je zavádějící a „T-object "je možná lepší termín.) Například vzhledem ke skupině G který určuje monad T v Soubor standardním způsobem, a T-algebra je sada s akce z G.

amnestický

Funktor je amnestický, pokud má vlastnost: if k je izomorfismus a F(k) je tedy identita k je identita.

B

vyrovnaný

Kategorie je vyvážená, pokud je každý bimorfismus izomorfismem.

Beckova věta

Beckova věta charakterizuje kategorii algebry pro danou monadu.

dvoukategorie

A dvoukategorie je model slabého 2-kategorie.

bifunktor

A bifunktor z dvojice kategorií C a D do kategorie E je funktor C × D → E. Například pro jakoukoli kategorii C, ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, -)}$ je bifunktor z C^op a C na Soubor.

bimorfismus

A bimorfismus je morfismus, který je epimorfismem i monomorfismem.

Bousfieldova lokalizace

Vidět Bousfieldova lokalizace.

C

počet funktorů

The počet funktorů je technika studia funktorů podobným způsobem jako a funkce je studován prostřednictvím jeho Taylor série expanze; odtud termín „kalkul“.

kartézský zavřený

Kategorie je kartézský zavřený pokud má koncový objekt a že jakékoli dva objekty mají součin a exponenciál.

kartézský funktor

Vzhledem k relativním kategoriím ${ displaystyle p: F až C, q: G až C}$ ve stejné základní kategorii C, funktor ${ displaystyle f: F až G}$ přes C je kartézský, pokud posílá kartézské morfismy kartézským morfismům.

kartézský morfismus

1. Vzhledem k funktoru π: C → D (např předbalení přes schémata), morfismus F: X → y v C je π-kartézská pokud pro každý objekt z v Ckaždý morfismus G: z → y v C a každý morfismus proti: π (z) → π (X) v D takové, že π (G) = π (F) ∘ protiexistuje jedinečný morfismus u: z → X takový, že π (u) = proti a G = F ∘ u.

2. Vzhledem k funktoru π: C → D (např předbalení přes prsteny), morfismus F: X → y v C je π-co kartézská pokud pro každý objekt z v Ckaždý morfismus G: X → z v C a každý morfismus proti: π (y) → π (z) v D takový, že π (G) = proti ∘ π (F), existuje jedinečný morfismus u: y → z takový, že π (u) = proti a G = u ∘ F. (Ve zkratce, F je duálem π-kartézského morfismu.)

Kartézské náměstí

Komutativní diagram, který je izomorfní k diagramu danému jako vláknový produkt.

kategorická logika

Kategorická logika je přístup k matematická logika který používá teorii kategorií.

kategorizace

Kategorizace je proces nahrazování sad a teoreticko-teoretických konceptů kategoriemi a teoreticko-teoretickými koncepty nějakým netriviálním způsobem, jak zachytit kategorické chutě. Dekategorizace je opakem kategorizace.

kategorie

A kategorie sestává z následujících údajů

1. Třída předmětů,
2. Pro každou dvojici objektů X, Y, sada ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, Y)}$, jehož prvky se nazývají morfismy z X na Y,
3. Pro každou trojici předmětů X, Y, Z, mapa (zvaná kompozice)

   ${ displaystyle circ: operatorname {Hom} (Y, Z) krát operatorname {Hom} (X, Y) na operatorname {Hom} (X, Z), , (g, f) mapsto g circ f}$,

4. Pro každý objekt Xmorfismus identity ${ displaystyle operatorname {id} _ {X} v operatorname {Hom} (X, X)}$

za podmínek: pro jakékoli morfismy ${ displaystyle f: X až Y}$, ${ displaystyle g: Y až Z}$ a ${ displaystyle h: Z až W}$,

• ${ displaystyle (h circ g) circ f = h circ (g circ f)}$ a ${ displaystyle operatorname {id} _ {Y} circ f = f circ operatorname {id} _ {X} = f}$.

Například a částečně objednaná sada lze zobrazit jako kategorii: objekty jsou prvky sady a pro každou dvojici objektů X, yexistuje jedinečný morfismus ${ displaystyle x to y}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle x leq y}$; asociativita složení znamená tranzitivitu.

kategorie kategorií

The kategorie (malých) kategorií, označeno Kočka, je kategorie, kde objekty jsou všechny kategorie, které jsou malé vzhledem k určitému fixovanému vesmíru a morfismy jsou všechny funktory.

třídicí prostor

The klasifikační prostor kategorie C je geometrická realizace nervu C.

spolu-

Často se používá jako synonymum pro op-; například a colimit označuje op-limit v tom smyslu, že se jedná o limit v opačné kategorii. Ale může existovat rozdíl; například op-fibrace není totéž jako a cofibration.

coend

Kontext funktoru ${ displaystyle F: C ^ { text {op}} krát C až X}$ je dvojí z konec z F a je označen

${ displaystyle int ^ {c v C} F (c, c)}$.

Například pokud R je prsten, M právo R-modul a N vlevo R-modul, pak tenzorový produkt z M a N je

${ displaystyle M otimes _ {R} N = int ^ {R} M otimes _ { mathbb {Z}} N}$

kde R je považována za kategorii s jedním objektem, jehož morfismy jsou prvky R.

ekvalizér

The ekvalizér dvojice morfismů ${ displaystyle f, g: A až B}$ je colimit páru. Je to duál ekvalizéru.

věta o koherenci

A věta o koherenci je věta o formě, která uvádí, že slabá struktura je ekvivalentní přísné struktuře.

coimage

The coimage morfismu F: X → Y je ekvalizér ${ displaystyle X times _ {Y} X rightrightarrows X}$.

barevný operad

Další výraz pro více kategorií, zobecněná kategorie, kde morfismus může mít několik domén. Pojem „barevný operad“ je primitivnější než pojem operad: ve skutečnosti lze operad definovat jako barevný operad s jediným objektem.

čárka

Vzhledem k funktorům ${ displaystyle f: C až B, g: D až B}$, kategorie čárky ${ displaystyle (f downarrow g)}$ je kategorie, kde (1) jsou objekty morfismy ${ displaystyle f (c) až g (d)}$ a (2) morfismus z ${ displaystyle alpha: f (c) až g (d)}$ na ${ displaystyle beta: f (c ') až g (d')}$ skládá se z ${ displaystyle c až c '}$ a ${ displaystyle d až d '}$ takhle ${ displaystyle f (c) to f (c ') { přesahující { beta} { to}} g (d')}$ je ${ displaystyle f (c) { přesahující { alpha} { to}} g (d) až g (d ').}$ Například pokud F je funktor identity a G je konstantní funktor s hodnotou b, pak je to kategorie řezu B nad objektem b.

Comonad

A Comonad v kategorii X je komonoid v monoidní kategorii endofunktorů z X.

kompaktní

Pravděpodobně synonymum pro # přístupné.

kompletní

Kategorie je kompletní pokud existují všechny malé limity.

složení

1. Složení morfismů v kategorii je součástí základny definující kategorii.

2. Pokud ${ displaystyle f: C až D, , g: D až E}$ jsou funktory, pak skladba ${ displaystyle g circ f}$ nebo ${ displaystyle gf}$ je funktor definovaný: pro objekt X a morfismus u v C, ${ Displaystyle (g circ f) (x) = g (f (x)), , (g circ f) (u) = g (f (u))}$.

3. Přirozené transformace jsou složeny bodově: pokud ${ displaystyle varphi: f až g, , psi: g až h}$ jsou tedy přirozené transformace ${ displaystyle psi circ varphi}$ je přirozená transformace daná ${ displaystyle ( psi circ varphi) _ {x} = psi _ {x} circ varphi _ {x}}$.

beton

A konkrétní kategorie C je kategorie taková, že existuje věrný funktor z C na Soubor; např., Vec, Grp a Horní.

kužel

A kužel je způsob, jak vyjádřit univerzální vlastnictví kolimitu (nebo duálně limitu). Jeden může ukázat^[3] že kolimit ${ displaystyle varinjlim}$ je levý adjoint k diagonálnímu funktoru ${ displaystyle Delta: C to operatorname {Fct} (I, C)}$, který odesílá objekt X do konstantního funktoru s hodnotou X; to znamená pro všechny X a jakýkoli funktor ${ displaystyle f: I to C}$,

${ displaystyle operatorname {Hom} ( varinjlim f, X) simeq operatorname {Hom} (f, Delta _ {X}),}$

za předpokladu, že dotyčná kolimita existuje. Na pravé straně je pak sada kuželů s vrcholem X.^[4]

připojeno

Kategorie je připojeno pokud pro každou dvojici objektů X, y, existuje konečná posloupnost objektů z_i takhle ${ displaystyle z_ {0} = x, z_ {n} = y}$ a buď ${ displaystyle operatorname {Hom} (z_ {i}, z_ {i + 1})}$ nebo ${ displaystyle operatorname {Hom} (z_ {i + 1}, z_ {i})}$ je pro všechny neprázdné i.

konzervativní funktor

A konzervativní funktor je funktor, který odráží izomorfismy. Mnoho zapomnětlivých funktorů je konzervativních, ale zapomnětlivý funktor z Horní na Soubor není konzervativní.

konstantní

Funktor je konstantní pokud mapuje každý objekt v kategorii na stejný objekt A a každý morfismus na identitu A. Jinak řečeno, funktor ${ displaystyle f: C až D}$ je konstantní, pokud se zohlední jako: ${ displaystyle C to {A } { přesahující {i} { to}} D}$ pro nějaký objekt A v D, kde i je zahrnutí diskrétní kategorie { A }.

kontravariantní funktor

A kontravariantní funktor F z kategorie C do kategorie D je (kovariantní) funktor z C^op na D. Někdy se mu také říká a předheaf zvláště když D je Soubor nebo varianty. Například pro každou sadu S, nechť ${ displaystyle { mathfrak {P}} (S)}$ být výkonová sada S a pro každou funkci ${ displaystyle f: S až T}$, definovat

${ displaystyle { mathfrak {P}} (f): { mathfrak {P}} (T) do { mathfrak {P}} (S)}$

odesláním podmnožiny A z T na předobraz ${ displaystyle f ^ {- 1} (A)}$. S tím, ${ displaystyle { mathfrak {P}}: mathbf {Set} to mathbf {Set}}$ je kontravariantní funktor.

koprodukt

The koprodukt rodiny předmětů X_i v kategorii C indexováno množinou Já je indukční limit ${ displaystyle varinjlim}$ funktoru ${ displaystyle I až C, , i mapsto X_ {i}}$, kde Já je považována za samostatnou kategorii. Jedná se o dvojí produkt rodiny. Například koprodukt v Grp je produkt zdarma.

jádro

The jádro kategorie je maximální grupoid obsažený v kategorii.

D

Denní konvoluce

Vzhledem k tomu, skupina nebo monoid M, Denní konvoluce je tenzorový produkt v ${ displaystyle mathbf {Fct} (M, mathbf {Set})}$.^[5]

věta o hustotě

The věta o hustotě říká, že každý presheaf (set-oceněný kontravariantní funktor) je kolimitem reprezentativních presheaves. Yonedovo lemma vloží kategorii C do kategorie předvoleb na C. Věta o hustotě pak říká, že obraz je takřka „hustý“. Název „hustota“ je dán analogií s Jacobsonova věta o hustotě (nebo jiné varianty) v abstraktní algebře.

diagonální funktor

Dané kategorie Já, C, diagonální funktor je funktor

${ displaystyle Delta: C až mathbf {Fct} (I, C), , A mapsto Delta _ {A}}$

který posílá každý objekt A do konstantního funktoru s hodnotou A a každý morfismus ${ displaystyle f: A až B}$ k přirozené transformaci ${ displaystyle Delta _ {f, i}: Delta _ {A} (i) = A až Delta _ {B} (i) = B}$ to je F u každého i.

diagram

Vzhledem k kategorii C, a diagram v C je funktor ${ displaystyle f: I to C}$ z malé kategorie Já.

diferenciálně odstupňovaná kategorie

A diferenciálně odstupňovaná kategorie je kategorie, jejíž Hom soupravy jsou vybaveny strukturami diferenciálně odstupňované moduly. Zejména pokud má kategorie pouze jeden objekt, je stejná jako modul s diferenciálním odstupňováním.

přímý limit

A přímý limit je colimit a přímý systém.

oddělený

Kategorie je oddělený pokud je každý morfismus morfismem identity (nějakého předmětu). Na sadu lze například nahlížet jako na samostatnou kategorii.

distributor

Další výraz pro „profunctor“.

Ekvivalence Dwyer – Kan

A Ekvivalence Dwyer – Kan je zobecněním rovnocennosti kategorií se zjednodušujícím kontextem.^[6]

E

Kategorie Eilenberg – Moore

Jiný název pro kategorii algebry pro danou monadu.

prázdný

The prázdná kategorie je kategorie bez objektu. Je to totéž jako prázdná sada když je prázdná množina považována za samostatnou kategorii.

konec

The konec funktora ${ displaystyle F: C ^ { text {op}} krát C až X}$ je limit

${ displaystyle int _ {c v C} F (c, c) = varprojlim (F ^ { #}: C ^ { #} až X)}$

kde ${ displaystyle C ^ { #}}$ je kategorie (tzv kategorie dělení z C), jejichž objekty jsou symboly ${ displaystyle c ^ { #}, u ^ { #}}$ pro všechny objekty C a všechny morfismy u v C a jejichž morfismy jsou ${ displaystyle b ^ { #} do u ^ { #}}$ a ${ displaystyle u ^ { #} do c ^ { #}}$ -li ${ displaystyle u: b až c}$ a kde ${ displaystyle F ^ { #}}$ je vyvolána F aby ${ displaystyle c ^ { #}}$ půjde do ${ displaystyle F (c, c)}$ a ${ displaystyle u ^ { #}, u: b až c}$ půjde do ${ displaystyle F (b, c)}$. Například pro funktory ${ displaystyle F, G: C až X}$,

${ displaystyle int _ {c v C} operatorname {Hom} (F (c), G (c))}$

je soubor přirozených transformací z F na G. Další příklady viz toto vlákno mathoverflow. Dvojí konec je coend.

endofunctor

Funktor mezi stejnou kategorií.

obohacená kategorie

Vzhledem k monoidní kategorii (C, ⊗, 1), a kategorie obohacena přes C je neformálně kategorie, jejíž Hom sady jsou C. Přesněji řečeno, kategorie D obohacený C jsou data skládající se z

1. Třída předmětů,
2. Pro každou dvojici objektů X, Y v D, objekt ${ displaystyle operatorname {Map} _ {D} (X, Y)}$ v C, nazvaný mapovací objekt z X na Y,
3. Pro každou trojici předmětů X, Y, Z v D, morfismus v C,

   ${ displaystyle circ: operatorname {Map} _ {D} (Y, Z) otimes operatorname {Map} _ {D} (X, Y) na operatorname {Map} _ {D} (X, Z)}$,

   nazval složení,

4. Pro každý objekt X v Dmorfismus ${ displaystyle 1_ {X}: 1 to operatorname {Map} _ {D} (X, X)}$ v C, nazývaný jednotkový morfismus X

za podmínek, že (zhruba) jsou kompozice asociativní a jednotkové morfismy fungují jako multiplikativní identita. Například kategorie obohacená o množiny je běžná kategorie.

epimorfismus

Morfismus F je epimorfismus -li ${ displaystyle g = h}$ kdykoli ${ displaystyle g circ f = h circ f}$. Jinými slovy, F je duál monomorfismu.

ekvalizér

The ekvalizér dvojice morfismů ${ displaystyle f, g: A až B}$ je limit páru. Je to duál koekvalizátoru.

rovnocennost

1. Funktor je rovnocennost pokud je věrný, plný a v zásadě surjektivní.

2. Morfismus v ∞-kategorii C je ekvivalence, pokud dává izomorfismus v kategorii homotopie C.

ekvivalent

Kategorie odpovídá jiné kategorii, pokud existuje rovnocennost mezi nimi.

v podstatě surjektivní

Funktor F je nazýván v podstatě surjektivní (nebo izomorfismus hustý), pokud pro každý objekt B existuje objekt A takhle F(A) je izomorfní s B.

hodnocení

Dané kategorie C, D a objekt A v C, hodnocení na A je funktor

${ displaystyle mathbf {Fct} (C, D) až D, , , F mapsto F (A).}$

Například Eilenberg – Steenrodovy axiomy uveďte instanci, když je funktor ekvivalence.

F

věřící

Funktor je věřící pokud je to injekční, když je omezeno na každého domovská sada.

základní kategorie

The funktor základní kategorie ${ displaystyle tau _ {1}: s mathbf {Nastavit} na mathbf {Kočka}}$ je levý adjoint k nervovému funktoru N. Pro každou kategorii C, ${ displaystyle tau _ {1} NC = C}$.

základní grupoid

The základní grupoid ${ displaystyle Pi _ {1} X}$ komplexu Kan X je kategorie, kde je objekt 0-simplex (vrchol) ${ displaystyle Delta ^ {0} až X}$, morphism je homotopy třída 1-simplex (cesta) ${ displaystyle Delta ^ {1} až X}$ a složení je určeno vlastností Kan.

vláknitá kategorie

Funktor π: C → D údajně vystavuje C jako kategorie přeplátovaná D pokud pro každý morfismus G: X → π (y) v D, existuje π-kartézský morfismus F: X' → y v C takový, že π (F) = G. Li D je kategorie afinních schémat (řekněme konečného typu nad nějakým polem), pak π se běžněji nazývá a předbalení. Poznámka: π je často zapomnětlivý funktor a ve skutečnosti Grothendieckova konstrukce znamená, že každou kategorii vláken lze považovat za formu (až do ekvivalentů ve vhodném smyslu).

vláknitý výrobek

Vzhledem k kategorii C a sada Já, vláknitý výrobek nad objektem S rodiny předmětů X_i v C indexováno podle Já je produktem rodiny v kategorie plátek ${ displaystyle C _ {/ S}}$ z C přes S (za předpokladu, že existují ${ displaystyle X_ {i} do S}$). Produkt z vláken dvou předmětů X a Y nad objektem S je označen ${ displaystyle X times _ {S} Y}$ a také se nazývá a Kartézské náměstí.

filtrovaný

1. A filtrovaná kategorie (také nazývaná kategorie filtrantů) je neprázdná kategorie s danými objekty (1) i a j, existuje objekt k a morfismy i → k a j → k a (2) dané morfismy u, proti: i → j, existuje objekt k a morfismus w: j → k takhle w ∘ u = w ∘ proti. Kategorie Já je filtrováno tehdy a jen tehdy, pro každou konečnou kategorii J a funktor F: J → Já, sada ${ displaystyle varprojlim operatorname {Hom} (f (j), i)}$ je pro nějaký objekt neprázdné i v Já.

2. Vzhledem k základnímu číslu π je kategorie považována za π-filtrant, pokud pro každou kategorii J jehož soubor morfismů má základní číslo přísně menší než π, množina ${ displaystyle varprojlim operatorname {Hom} (f (j), i)}$ je pro nějaký objekt neprázdné i v Já.

konečná monáda

A konečná monáda nebo algebraická monáda je monáda na Soubor jehož podkladový endofunktor dojíždí s filtrovanými kolimity.

konečný

Kategorie je konečná, pokud má pouze konečně mnoho morfismů.

zapomnětlivý funktor

The zapomnětlivý funktor je zhruba funktor, který ztrácí některá data objektů; například funktor ${ displaystyle mathbf {Grp} to mathbf {Set}}$ který posílá skupinu do své základní množiny a skupinový homomorfismus k sobě samému je zapomnětlivý funktor.

volný funktor

A volný funktor je levým adjungem zapomnětlivého funktoru. Například pro prsten R, funktor, který posílá množinu X do volný, uvolnit R-modul generováno uživatelem X je bezplatný funktor (odtud název).

Kategorie Frobenius

A Kategorie Frobenius je přesná kategorie který má dostatek injektivů a dost projektivů a takový, že třída injektivních objektů se shoduje s třídou projektivních objektů.

Kategorie Fukaya

Vidět Kategorie Fukaya.

úplný

1. Funktor je úplný pokud je to surjektivní, když je omezeno na každého domovská sada.

2. Kategorie A je celá podkategorie kategorie B pokud je funktor zařazení z A na B je plný.

funktor

Dané kategorie C, D, a funktor F z C na D je mapa zachovávající strukturu z C na D; tj. sestává z objektu F(X) v D pro každý objekt X v C a morfismus F(F) v D pro každý morfismus F v C splňující podmínky: (1) ${ displaystyle F (f circ g) = F (f) circ F (g)}$ kdykoli ${ displaystyle f circ g}$ je definován a (2) ${ displaystyle F ( operatorname {id} _ {x}) = operatorname {id} _ {F (x)}}$. Například,

${ displaystyle { mathfrak {P}}: mathbf {Set} to mathbf {Set}, , S mapsto { mathfrak {P}} (S)}$,

kde ${ displaystyle { mathfrak {P}} (S)}$ je napájecí sada z S je funktor, pokud definujeme: pro každou funkci ${ displaystyle f: S až T}$, ${ displaystyle { mathfrak {P}} (f): { mathfrak {P}} (S) až { mathfrak {P}} (T)}$ podle ${ displaystyle { mathfrak {P}} (f) (A) = f (A)}$.

kategorie funktorů

The kategorie funktorů Fct(C, D) nebo ${ displaystyle D ^ {C}}$ z kategorie C do kategorie D je kategorie, ze které jsou objekty všechny funktory C na D a morfismy jsou všechny přirozené transformace mezi funktory.

G

Věta Gabriel – Popescu

The Věta Gabriel – Popescu říká, že abelianská kategorie je kvocient kategorie modulů.

generátor

V kategorii C, rodina předmětů ${ displaystyle G_ {i}, i in I}$ je systém generátorů z C pokud funktor ${ displaystyle X mapsto prod _ {i in I} operatorname {Hom} (G_ {i}, X)}$ je konzervativní. Jeho duální se nazývá systém kogenerátorů.

Grothendieckova Galoisova teorie

Kategorie-teoretické zobecnění Galoisova teorie; vidět Grothendieckova Galoisova teorie.

Kategorie Grothendieck

A Kategorie Grothendieck je určitý dobře vychovaný druh abelianské kategorie.

Grothendieckova konstrukce

Vzhledem k tomu, funktor ${ displaystyle U: C to mathbf {kočka}}$, nechť D_U být kategorií, kde jsou objekty páry (X, u) sestávající z objektu X v C a objekt u v kategorii U(X) a morfismus z (X, u) do (y, proti) je dvojice sestávající z morfismu F: X → y v C a morfismus U(F)(u) → proti v U(y). Přechod z U na D_U se pak nazývá Grothendieckova konstrukce.

Grothendieckova fibrace

A vláknitá kategorie.

grupoid

1. Kategorie se nazývá a grupoid jestliže každý morfismus v něm je izomorfismus.

2. ∞-kategorie se nazývá Group -grupoid pokud každý morfismus v něm je rovnocennost (nebo ekvivalentně, pokud je to Kan komplex.)

H

Hallova algebra kategorie

Vidět Ringel – Hallova algebra.

srdce

The srdce a t-struktura (${ displaystyle D ^ { geq 0}}$, ${ displaystyle D ^ { leq 0}}$) na trojúhelníkové kategorii je křižovatka ${ displaystyle D ^ { geq 0} čepice D ^ { leq 0}}$. Je to abelianská kategorie.

Teorie vyšších kategorií

Teorie vyšších kategorií je podpole teorie kategorií, která se týká studia n-Kategorie a ∞-kategorie.

homologická dimenze

The homologická dimenze abelianské kategorie s dostatečným množstvím injekčních látek je nejméně nezáporné celé číslo n tak, že každý objekt v kategorii připouští maximálně injektivní rozlišení délky n. Dimenze je ∞, pokud takové celé číslo neexistuje. Například homologická dimenze Mod_R s hlavní ideální doménou R je nanejvýš jeden.

kategorie homotopy

Vidět kategorie homotopy. Úzce souvisí s a lokalizace kategorie.

homotopická hypotéza

The homotopická hypotéza uvádí Group -grupoid je prostor (méně jednoznačně, an n-groupoid lze použít jako homotopii n-typ.)

Já

identita

1. The morfismus identity F objektu A je morfismus z A na A tak, že pro všechny morfismy G s doménou A a h s codomain A, ${ displaystyle g circ f = g}$ a ${ displaystyle f circ h = h}$.

2. The funktor identity na kategorii C je funktor z C na C který k sobě posílá objekty a morfismy.

3. Vzhledem k tomu, funktor F: C → D, přirozená transformace identity z F na F je přirozená transformace skládající se z morfismů identity F(X) v D pro objekty X v C.

obraz

The obraz morfismu F: X → Y je ekvalizér ${ displaystyle Y rightrightarrows Y sqcup _ {X} Y}$.

ind-limit

Kolimit (nebo indukční limit) v ${ displaystyle mathbf {Fct} (C ^ { text {op}}, mathbf {Set})}$.

indukční limit

Jiný název pro colimit.

∞-kategorie

An ∞-kategorie C je zjednodušená sada splňující následující podmínku: pro každou 0 < i < n,

• každá mapa jednoduchých množin ${ displaystyle f: Lambda _ {i} ^ {n} do C}$ sahá až k n-jednodušší ${ displaystyle f: Delta ^ {n} do C}$

kde Δⁿ je standard n-jednodušší a ${ displaystyle Lambda _ {i} ^ {n}}$ se získá z Δⁿ odstraněním i-tá tvář a interiér (viz Kan fibration # Definice ). Například nerv kategorie splňuje podmínku a lze jej tedy považovat za ∞ kategorii.

počáteční

1. Objekt A je počáteční pokud existuje přesně jeden morfismus z A ke každému objektu; např., prázdná sada v Soubor.

2. Objekt A v kategorii ∞ C je počáteční, pokud ${ displaystyle operatorname {Map} _ {C} (A, B)}$ je smluvní pro každý objekt B v C.

injekční

1. Objekt A v abelianské kategorii je injekční pokud funktor ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, A)}$ je přesný. Je to duál projektivního objektu.

2. Pojem „injective limit“ je jiný název pro a přímý limit.

interní Hom

Vzhledem k tomu, monoidní kategorie (C, ⊗), interní Hom je funktor ${ displaystyle [-, -]: C ^ { text {op}} krát C až C}$ takhle ${ displaystyle [Y, -]}$ je správný adjoint ${ displaystyle - mnohokrát Y}$ pro každý objekt Y v C. Například kategorie modulů přes komutativní kruh R má vnitřní Hom dané jako ${ displaystyle [M, N] = operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$, soubor R-lineární mapy.

inverzní

1. Morfismus F je inverzní morfismu G -li ${ displaystyle g circ f}$ je definován a rovná se morfismu identity na codomainu G, a ${ displaystyle f circ g}$ je definován a shodný s morfismem identity v doméně G. Inverzní z G je jedinečný a je označen G⁻¹. F je levá inverzní funkce k G -li ${ displaystyle f circ g}$ je definován a rovná se morfismu identity v doméně G, a podobně pro pravou inverzi.

2. An inverzní limit je limit inverzní systém.

izomorfní

1. Objekt je izomorfní k jinému objektu, pokud mezi nimi existuje izomorfismus.

2. Kategorie je izomorfní s jinou kategorií, pokud mezi nimi existuje izomorfismus.

izomorfismus

Morfismus F je izomorfismus pokud existuje inverzní z F.

K.

Kan komplex

A Kan komplex je vláknitý předmět v kategorii jednoduchých sad.

Kan rozšíření

1. Daná kategorie C, levá Kan rozšíření funktor spolu s funktorem ${ displaystyle f: I to J}$ je levý adjoint (pokud existuje) k ${ displaystyle f ^ {*} = - circ f: operatorname {Fct} (J, C) to operatorname {Fct} (I, C)}$ a je označen ${ displaystyle f_ {!}}$. Pro všechny ${ displaystyle alpha: já do C}$, funktor ${ displaystyle f _ {!} alfa: J až C}$ se nazývá levé Kan rozšíření α podél F.^[7] Lze ukázat:

${ displaystyle (f _ {!} alfa) (j) = varinjlim _ {f (i) až j} alfa (i)}$

kde kolimit běží přes všechny objekty ${ Displaystyle f (i) až j}$ v kategorii čárka.

2. Správný funktor rozšíření Kan je pravým adjunktem (pokud existuje) k ${ displaystyle f ^ {*}}$.

Lemma Kena Browna

Lemma Kena Browna je lema v teorii modelových kategorií.

Kategorie Kleisli

Vzhledem k tomu, monad T, Kategorie Kleisli z T je úplná podkategorie kategorie T-algebry (nazývané Eilenberg – Mooreova kategorie), které se skládají z bezplatných T-algebry.

L

laxní

Termín "laxní funktor „je v podstatě synonymem pro“pseudofunktor ".

délka

Objekt v kategorii abelian se říká, že má konečná délka, pokud má a kompoziční série. Maximální počet správných podobjektů v každé takové kompoziční řadě se nazývá délka z A.^[8]

omezit

1. The omezit (nebo projektivní limit ) funktora ${ displaystyle f: I ^ { text {op}} to mathbf {Set}}$ je

${ displaystyle varprojlim _ {i in I} f (i) = {(x_ {i} | i) v prod _ {i} f (i) | f (s) (x_ {j}) = x_ {i} { text {pro libovolné}} s: i to j }.}$

2. Limit ${ displaystyle varprojlim _ {i in I} f (i)}$ funktora ${ displaystyle f: I ^ { text {op}} do C}$ je objekt, pokud existuje, v C který splňuje: pro jakýkoli objekt X v C, ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, varprojlim _ {i in I} f (i)) = varprojlim _ {i in I} operatorname {Hom} (X, f (i))}$; tj. je to objekt představující funktor ${ displaystyle X mapsto varprojlim _ {i} operatorname {Hom} (X, f (i)).}$

3. The colimit (nebo indukční limit ) ${ displaystyle varinjlim _ {i in I} f (i)}$ je duál limitu; tj. daný funktor ${ displaystyle f: I to C}$, uspokojí: pro všechny X, ${ displaystyle operatorname {Hom} ( varinjlim f (i), X) = varprojlim operatorname {Hom} (f (i), X)}$. Výslovně, dát ${ displaystyle varinjlim f (i) až X}$ je dát rodinu morfismů ${ displaystyle f (i) až X}$ takový, že pro každého ${ displaystyle i to j}$, ${ displaystyle f (i) až X}$ je ${ Displaystyle f (i) až f (j) až X}$. Snad nejjednodušším příkladem kolimitu je a ekvalizér. Jako další příklad si vezměte F být funktorem identity C a předpokládejme ${ displaystyle L = varinjlim _ {X v C} f (X)}$ existuje; pak morfismus identity dál L odpovídá kompatibilní rodině morfismů ${ displaystyle alpha _ {X}: X až L}$ takhle ${ displaystyle alpha _ {L}}$ je identita. Li ${ displaystyle f: X až L}$ je tedy jakýkoli morfismus ${ displaystyle f = alpha _ {L} circ f = alpha _ {X}}$; tj., L je konečným předmětem C.

M

Mittag-Lefflerův stav

An inverzní systém ${ displaystyle cdots až X_ {2} až X_ {1} až X_ {0}}$ prý uspokojuje Mittag-Lefflerův stav pokud pro každé celé číslo ${ displaystyle n geq 0}$, existuje celé číslo ${ displaystyle m geq n}$ takové, že pro každého ${ displaystyle l geq m}$, obrázky uživatele ${ displaystyle X_ {m} až X_ {n}}$ a ${ displaystyle X_ {l} až X_ {n}}$ jsou stejní.

monad

A monad v kategorii X je monoidní objekt v monoidní kategorii endofunktorů z X s monoidní strukturou danou složením. Například daná skupina G, definujte endofunktor T na Soubor podle ${ displaystyle T (X) = G krát X}$. Poté definujte násobení μ na T jako přirozená transformace ${ Displaystyle mu: T Circ T to T}$ dána

${ displaystyle mu _ {X}: G krát (G krát X) až G krát X, , , (g, (h, x)) mapsto (gh, x)}$

a také definovat mapu identity η analogickým způsobem. Pak (T, μ, η) představuje monad v Soubor. Více podstatně, adjunkce mezi funktory ${ displaystyle F: X rightleftarrows A: G}$ určuje monad v X; jmenovitě jeden bere ${ displaystyle T = G circ F}$, mapa identity η na T být jednotkou adjunktu a také definuje μ pomocí přídavného jména.

monadický

1. Přídavné jméno se říká monadický pokud pochází z monády, kterou určuje pomocí Kategorie Eilenberg – Moore (kategorie algeber pro monadu).

2. Říká se, že funktor je monadický pokud se jedná o součást monadického přídavku.

monoidní kategorie

A monoidní kategorie, nazývaná také kategorie tenzorů, je kategorie C vybavené (1) a bifunktor ${ displaystyle otimes: C krát C až C}$, (2) objekt identity a (3) přirozené izomorfismy, díky nimž je ⊗ asociativní a objekt identity identitou pro ⊗, za určitých podmínek koherence.

monoidní objekt

A monoidní objekt v monoidní kategorii je objekt spolu s mapou násobení a mapou identity, které splňují očekávané podmínky, jako je asociativita. Například monoidní objekt v Soubor je obvyklý monoid (unital semigroup) a monoid objekt v R-mod je asociativní algebra přes komutativní kruh R.

monomorfismus

Morfismus F je monomorfismus (nazývané také monické), pokud ${ displaystyle g = h}$ kdykoli ${ displaystyle f circ g = f circle h}$; např injekce v Soubor. Jinými slovy, F je duál epimorfismu.

více kategorií

A více kategorií je zobecnění kategorie, ve které morfismus může mít více než jednu doménu. Je to totéž jako a barevný operad.^[9]

N

n-kategorie

[T] problém komparace definic slabého n-kategorie je kluzká, protože je těžké říci, co to dokonce je prostředek aby dvě takové definice byly rovnocenné. [...] Všeobecně se má za to, že strukturu tvoří slabé n-kategorie a funktory, transformace, ... mezi nimi by měly být slabé (n + 1) -kategorie; a pokud tomu tak je, pak je otázkou, zda vaše slabá (n + 1) - kategorie slabých n-kategorie odpovídá mému - ale jehož definice slabého (n + 1) -kategorii, kterou zde používáme ...?

Tom Leinster, Přehled definic n-kategorie

1. A přísný n-kategorie je definována indukčně: přísná 0-kategorie je množina a přísná n-category je kategorie, jejíž Hom sady jsou přísné (n-1) -kategorie. Přesně, přísně n-category je kategorie obohacená o přísné (n-1) -kategorie. Například přísná 1 kategorie je běžná kategorie.

2. Pojem a slabý n-kategorie se získává z přísného oslabením podmínek, jako je asociativita složení, aby se udržel pouze na koherentní izomorfismy ve slabém smyslu.

3. Lze definovat ∞ kategorii jako druh kolimu n-Kategorie. Naopak, pokud člověk má pojem (slabé) ∞ kategorie (řekněme a kvazi-kategorie ) na začátku, pak slabý n-kategorii lze definovat jako typ zkrácené ∞-kategorie.

přírodní

1. Přirozenou transformací je zhruba mapa mezi funktory. Přesně, vzhledem k dvojici funktorů F, G z kategorie C do kategorie D, a přirozená transformace φ z F na G je soubor morfismů v D

${ displaystyle { phi _ {x}: F (x) až G (x) mid x v operatorname {Ob} (C) }}$

splnění podmínky: pro každý morfismus F: X → y v C, ${ displaystyle phi _ {y} cirkus F (f) = G (f) cirkus phi _ {x}}$. Například psaní ${ displaystyle GL_ {n} (R)}$ pro skupinu invertibilních n-podle-n matice s koeficienty ve komutativním kruhu R, můžeme zobrazit ${ displaystyle GL_ {n}}$ jako funktor z kategorie CRing komutativních kroužků do kategorie Grp skupin. Podobně, ${ displaystyle R mapsto R ^ {*}}$ je funktor z CRing na Grp. Pak určující det je přirozená transformace z ${ displaystyle GL_ {n}}$ do -^*.

2. A přirozený izomorfismus je přirozená transformace, která je izomorfismem (tj. připouští inverzní funkci).

Skladba je kódována jako 2-simplexní.

nerv

The nervový funktor N je funktor z Kočka na sSoubor dána ${ displaystyle N (C) _ {n} = operatorname {Hom} _ { mathbf {Cat}} ([n], C)}$. Například pokud ${ displaystyle varphi}$ je funktor v ${ displaystyle N (C) _ {2}}$ (nazývané 2-simplex), let ${ displaystyle x_ {i} = varphi (i), , 0 leq i leq 2}$. Pak ${ displaystyle varphi (0 až 1)}$ je morfismus ${ displaystyle f: x_ {0} až x_ {1}}$ v C a také ${ displaystyle varphi (1 až 2) = g: x_ {1} až x_ {2}}$ pro některé G v C. Od té doby ${ displaystyle 0 až 2}$ je ${ displaystyle 0 až 1}$ následován ${ displaystyle 1 až 2}$ a od té doby ${ displaystyle varphi}$ je funktor, ${ displaystyle varphi (0 až 2) = g circ f}$. Jinými slovy, ${ displaystyle varphi}$ kóduje F, G a jejich složení.

normální

Monomorfismus je normální, pokud je jádrem nějakého morfismu, a epimorfismus je běžný, pokud je to jádro nějakého morfismu. Kategorie je normální pokud je každý monomorfismus normální.

Ó

objekt

1. Objekt je součástí dat definujících kategorii.

2. [Přídavné jméno] objekt v kategorii C je kontravariantní funktor (nebo presheaf) z určité pevné kategorie odpovídající „adjektivu“ k C. Například a zjednodušený objekt v C je kontravariantní funktor z kategorie zjednodušených do C a a Object objekt je špičatý kontravariantní funktor z Γ (zhruba špičatá kategorie špičatých konečných množin) až C pokud C je špičatý.

op-fibrace

Funktor π:C → D je op-fibrace pokud pro každý objekt X v C a každý morfismus G : π (X) → y v D, existuje alespoň jeden π-coCartesian morphism F: X → y ' v C takové, že π (F) = G. Jinými slovy, π je duál a Grothendieckova fibrace.

naproti

The opačná kategorie kategorie se získá obrácením šipek. Například pokud je částečně seřazená sada zobrazena jako kategorie, její opačná částka je obrácením pořadí.

P

perfektní

Někdy synonymem pro „kompaktní“. Vidět dokonalý komplex.

špičatý

Kategorie (nebo ∞-kategorie) se nazývá špičatá, pokud má nulový objekt.

polynomiální

Funktor z kategorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů pro sebe se nazývá a polynomiální funktor if, for each pair of vector spaces PROTI, Ž, F: Hom (PROTI, Ž) → Hom (F(PROTI), F(Ž)) je polynomiální mapa mezi vektorovými prostory. A Schurův funktor je základní příklad.

předem připravený

Kategorie je předem připravený Pokud to je obohacený přes monoidní kategorie z abelianské skupiny. Obecněji to tak je R-lineární pokud je obohacen o monoidní kategorii R- moduly, pro R A komutativní prsten.

reprezentativní

Vzhledem k tomu, řádný kardinál κ, kategorie je κ-prezentovatelné pokud připouští všechny malé kolimity a je κ-přístupné. Kategorie je prezentovatelná, pokud je κ-prezentovatelná pro některého běžného kardinála κ (tedy prezentovatelná pro libovolného většího kardinála). Poznámka: Někteří autoři nazývají prezentovatelnou kategorii a místně prezentovatelná kategorie.

předheaf

Další výraz pro kontravariantní funktor: funktor z kategorie C^op na Soubor je předskokan sad C a funktor z C^op na sSoubor je předkrm zjednodušených množin nebo simplefic presheaf atd topologie na C, pokud existuje, řekne, který presheaf je snop (s ohledem na tuto topologii).

produkt

1. The produkt rodiny předmětů X_i v kategorii C indexováno množinou Já je projektivní limit ${ displaystyle varprojlim}$ funktoru ${ displaystyle I až C, , i mapsto X_ {i}}$, kde Já je považována za samostatnou kategorii. Označuje to ${ displaystyle prod _ {i} X_ {i}}$ a je duálem koproduktu rodiny.

2. The produkt skupiny kategorií C_ije indexován množinou Já je kategorie označená ${ displaystyle prod _ {i} C_ {i}}$ jehož třída předmětů je součinem tříd předmětů C_ia jejichž homosady jsou ${ displaystyle prod _ {i} operatorname {Hom} _ { operatorname {C_ {i}}} (X_ {i}, Y_ {i})}$; morfismy jsou složeny po jednotlivých složkách. Je to duál disjunktní unie.

profesor

Dané kategorie C a D, a profesor (nebo distributor) z C na D je funktor formuláře ${ displaystyle D ^ { text {op}} krát C to mathbf {Set}}$.

projektivní

1. Objekt A v abelianské kategorii je projektivní pokud funktor ${ displaystyle operatorname {Hom} (A, -)}$ je přesný. Je to duál injekčního objektu.

2. Pojem „projektivní limit“ je jiný název pro inverzní limit.

PODPĚRA

A PODPĚRA je symetrická přísná monoidní kategorie, jejíž objekty jsou přirozená čísla a jejichž tenzorový součin přidání přirozených čísel.

pseudoalgebra

A pseudoalgebra is a 2-category-version of an algebra for a monad (with a monad replaced by a 2-monad).

Q

Quillen

Quillen’s theorem A provides a criterion for a functor to be a weak equivalence.

R

reflect

1. A functor is said to reflect identities if it has the property: if F(k) is an identity then k is an identity as well.

2. A functor is said to reflect isomorphisms if it has the property: F(k) is an isomorphism then k is an isomorphism as well.

representable

A set-valued contravariant functor F na kategorii C se říká, že je representable if it belongs to the essential image of the Yoneda embedding ${displaystyle C o mathbf {Fct} (C^{ ext{op}},mathbf {Set} )}$; tj., ${displaystyle Fsimeq operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$ for some object Z. Objekt Z is said to be the representing object of F.

odvolání

F is a retraction of G. G je část F.

A morphism is a odvolání if it has a right inverse.

S

sekce

A morphism is a sekce if it has a left inverse. Například axiom volby says that any surjective function admits a section.

Segal space

Segal spaces were certain simplicial spaces, introduced as models for (∞, 1)-categories.

polojednoduchý

An abelian category is polojednoduchý if every short exact sequence splits. For example, a ring is polojednoduchý if and only if the category of modules over it is semisimple.

Serre functor

Vzhledem k tomu, k-linear category C přes pole k, a Serre functor ${displaystyle f:C o C}$ is an auto-equivalence such that ${displaystyle operatorname {Hom} (A,B)simeq operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$ for any objects A, B.

simple object

A simple object in an abelian category is objekt A that is not isomorphic to the zero object and whose every podobjekt is isomorphic to zero or to A. Například a jednoduchý modul is precisely a simple object in the category of (say left) modules.

kategorie simplex

The kategorie simplex Δ is the category where an object is a set [n] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0, totally ordered in the standard way and a morphism is an order-preserving function.

simplicial category

A category enriched over simplicial sets.

Simplicial localization

Simplicial localization is a method of localizing a category.

simplicial object

A simplicial object in a category C is roughly a sequence of objects ${displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},dots }$ v C that forms a simplicial set. In other words, it is a covariant or contravariant functor Δ → C. Například a simplefic presheaf is a simplicial object in the category of presheaves.

zjednodušená sada

A zjednodušená sada je kontravariantní funktor od Δ do Soubor, where Δ is the kategorie simplex, a category whose objects are the sets [n] = { 0, 1, …, n } and whose morphisms are order-preserving functions. One writes ${displaystyle X_{n}=X([n])}$ and an element of the set ${ displaystyle X_ {n}}$ se nazývá n-simplex. Například, ${displaystyle Delta ^{n}=operatorname {Hom} _{Delta }(-,[n])}$ is a simplicial set called the standard n-simplex. By Yoneda's lemma, ${displaystyle X_{n}simeq operatorname {Nat} (Delta ^{n},X)}$.

stránky

A category equipped with a Grothendieckova topologie.

kosterní

1. A category is kosterní if isomorphic objects are necessarily identical.

2. A (not unique) kostra of a category is a full subcategory that is skeletal.

slice

Vzhledem k kategorii C a objekt A v něm je slice category C_/A z C přes A is the category whose objects are all the morphisms in C with codomain A, whose morphisms are morphisms in C takové, že pokud F is a morphism from ${displaystyle p_{X}:X o A}$ na ${displaystyle p_{Y}:Y o A}$, pak ${displaystyle p_{Y}circ f=p_{X}}$ v C and whose composition is that of C.

malý

1. A malá kategorie is a category in which the class of all morphisms is a soubor (i.e., not a správná třída ); v opačném případě velký. A category is locally small if the morphisms between every pair of objects A a B form a set. Some authors assume a foundation in which the collection of all classes forms a "conglomerate", in which case a quasicategory is a category whose objects and morphisms merely form a konglomerát.^[10] (NB: some authors use the term "quasicategory" with a different meaning.^[11])

2. An object in a category is said to be malý if it is κ-compact for some regular cardinal κ. The notion prominently appears in Quiilen's small object argument (srov. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument )

druh

A (combinatorial) species is an endofunctor on the groupoid of finite sets with bijections. It is categorically equivalent to a symmetric sequence.

stabilní

An ∞-category is stabilní if (1) it has a zero object, (2) every morphism in it admits a fiber and a cofiber and (3) a triangle in it is a fiber sequence if and only if it is a cofiber sequence.

přísný

Morfismus F in a category admitting finite limits and finite colimits is přísný if the natural morphism ${displaystyle operatorname {Coim} (f) o operatorname {Im} (f)}$ je izomorfismus.

přísný n-kategorie

A strict 0-category is a set and for any integer n > 0, a přísný n-kategorie is a category enriched over strict (n-1)-categories. For example, a strict 1-category is an ordinary category. Poznámka: the term "n-category" typically refers to "slabý n-kategorie "; not strict one.

subkanonický

A topology on a category is subkanonický if every representable contravariant functor on C is a sheaf with respect to that topology.^[12] Generally speaking, some plochá topologie may fail to be subcanonical; but flat topologies appearing in practice tend to be subcanonical.

podkategorie

A category A je podkategorie of a category B if there is an inclusion functor from A na B.

podobjekt

Given an object A in a category, a podobjekt z A is an equivalence class of monomorphisms to A; two monomorphisms F, G jsou považovány za rovnocenné, pokud F faktory G a G faktory F.

subquotient

A subquotient is a quotient of a subobject.

subterminální objekt

A subterminální objekt je objekt X such that every object has at most one morphism into X.

symmetric monoidal category

A symmetric monoidal category je monoidní kategorie (i.e., a category with ⊗) that has maximally symmetric braiding.

symmetric sequence

A symmetric sequence is a sequence of objects with actions of symetrické skupiny. It is categorically equivalent to a (combinatorial) species.

T

t-struktura

A t-struktura is an additional structure on a trojúhelníková kategorie (more generally stable ∞-category ) that axiomatizes the notions of complexes whose cohomology concentrated in non-negative degrees or non-positive degrees.

Tannakian duality

The Tannakian duality states that, in an appropriate setup, to give a morphism ${ displaystyle f: X až Y}$ is to give a pullback functor ${displaystyle f^{*}}$ along it. In other words, the Hom set ${displaystyle operatorname {Hom} (X,Y)}$ can be identified with the functor category ${displaystyle operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$, perhaps in the derived sense, kde ${ displaystyle D (X)}$ is the category associated to X (e.g., the derived category).^[13][14]

kategorie tenzorů

Usually synonymous with monoidní kategorie (though some authors distinguish between the two concepts.)

tensor triangulated category

A tensor triangulated category is a category that carries the structure of a symmetric monoidal category and that of a triangulated category in a compatible way.

tenzorový produkt

Given a monoidal category B, tensor product of functors ${displaystyle F:C^{ ext{op}} o B}$ a ${displaystyle G:C o B}$ is the coend:

${displaystyle Fotimes _{C}G=int ^{cin C}F(c)otimes G(c).}$

2. An object A in an ∞-category C is terminal if ${displaystyle operatorname {Map} _{C}(B,A)}$ je contractible for every object B v C.

U

univerzální

1. Given a functor ${displaystyle f:C o D}$ a objekt X v D, a univerzální morfismus z X na F is an initial object in the kategorie čárky ${displaystyle (Xdownarrow f)}$. (Its dual is also called a universal morphism.) For example, take F to be the forgetful functor ${displaystyle mathbf {Vec} _{k} o mathbf {Set} }$ a X a set. An initial object of ${displaystyle (Xdownarrow f)}$ is a function ${displaystyle j:X o f(V_{X})}$. That it is initial means that if ${displaystyle k:X o f(W)}$ is another morphism, then there is a unique morphism from j na k, which consists of a linear map ${displaystyle V_{X} o W}$ který se prodlužuje k přes j; to znamená, ${displaystyle V_{X}}$ je volný vektorový prostor generováno uživatelem X.

2. Stated more explicitly, given F as above, a morphism ${displaystyle X o f(u_{X})}$ v D is universal if and only if the natural map

${displaystyle operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c) o operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),,alpha mapsto (X o f(u_{x}){overset {f(alpha )}{ o }}f(c))}$

is bijective. Zejména pokud ${displaystyle operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)simeq operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$, then taking C být u_X one gets a universal morphism by sending the identity morphism. In other words, having a universal morphism is equivalent to the representability of the functor ${displaystyle operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$.

Ž

Waldhausen category

A Waldhausen category is, roughly, a category with families of cofibrations and weak equivalences.

wellpowered

A category is wellpowered if for each object there is only a set of pairwise non-isomorphic podobjekty.

Y

Yoneda

1.  

Yoneda’s Lemma asserts ... in more evocative terms, a mathematical object X is best thought of in the context of a category surrounding it, and is determined by the network of relations it enjoys with all the objects of that category. Moreover, to understand X it might be more germane to deal directly with the functor representing it. This is reminiscent of Wittgenstein’s ’language game’; i.e., that the meaning of a word is—in essence—determined by, in fact is nothing more than, its relations to all the utterances in a language.

Barry Mazur, Thinking about Grothendieck

The Yoneda lemma says: for each set-valued contravariant functor F na C a objekt X v C, there is a natural bijection

${displaystyle F(X)simeq operatorname {Nat} (operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

where Nat means the set of natural transformations. In particular, the functor

${displaystyle y:C o mathbf {Fct} (C^{ ext{op}},mathbf {Set} ),,Xmapsto operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

is fully faithful and is called the Yoneda embedding.^[15]

2. Pokud ${ displaystyle F: C až D}$ is a functor and y is the Yoneda embedding of C, pak Yoneda extension z F is the left Kan extension of F along y.

Z

nula

A nulový objekt is an object that is both initial and terminal, such as a triviální skupina v Grp.

Poznámky

Reference

• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 1. Přednášky z matematiky (ve francouzštině). 269. Berlín; New York: Springer-Verlag. xix + 525. doi:10.1007 / BFb0081551. ISBN  978-3-540-05896-0.
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Kategorie a svazky.
• A. Joyal, The theory of quasi-categories II (Volume I is missing??)
• Lurie, J., Higher Algebra
• Lurie, J., Higher Topos Theory
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (2. vyd.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.
• Vistoli, Angelo (2004-12-28). "Poznámky k Grothendieckovým topologiím, vláknitým kategoriím a teorii původu". arXiv:matematika / 0412512.

Další čtení

• Groth, M., Krátký kurz o categories kategoriích
• Cisinského poznámky
• Historie teorie topos
• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
• Leinster, Tom (2014). Teorie základní kategorie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 143. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375. Bibcode:2016arXiv161209375L.
• Emily Riehl, Pohodlný úvod do jednoduchých sad
• Kategorická logika poznámky k přednášce od Steve Awodey
• Street, Ross (20. března 2003). "Kategorické a kombinatorické aspekty teorie sestupu". arXiv:matematika / 0303175. (podrobná diskuse o 2 kategorii)