Jádro (teorie kategorií) - Kernel (category theory)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Teorie kategorie „jádro“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie kategorií a její aplikace na další odvětví matematika, jádra jsou zevšeobecněním jader systému skupinové homomorfismy, jádra homomorfismy modulu a některé další jádra z algebry. Intuitivně jádro morfismus F : X → Y je „nejobecnější“ morfismus k : K. → X který dává nulu, když je složen z (následovaný) F.

Všimněte si, že páry jader a rozdílová jádra (také známý jako binární ekvalizéry ) někdy se jmenuje „kernel“; i když souvisejí, nejde o úplně totéž a tento článek o nich nehovoří.

Definice

Nechat C být kategorie Aby bylo možné definovat jádro v obecném teoreticko-teoretickém smyslu, C potřebuje mít nulové morfismy V takovém případě, pokud F : X → Y je libovolný morfismus v C, pak jádro F je ekvalizér z F a nulový morfismus z X na YV symbolech:

ker (F) = ekv (F, 0_XY)

Abychom byli přesnější, následující univerzální vlastnictví může být použito. Jádro F je objekt K. spolu s morfismem k : K. → X takové, že:

• F ∘k je nulový morfismus z K. na Y;

• Vzhledem k jakémukoli morfismu k′ : K.′ → X takhle F ∘k′ Je nulový morfismus, existuje jedinečný morfismus u : K.′ → K. takhle k∘u = k '.

Všimněte si, že v mnoha beton kontexty, dalo by se odkazovat na objekt K. jako „jádro“, spíše než morfismus kV těchto situacích K. by bylo podmnožina z X, a to by stačilo na rekonstrukci k jako mapa zařazení; v konkrétním případě naopak potřebujeme morfismus k popsat jak K. je třeba vykládat jako a podobjekt z X. V každém případě to lze ukázat k je vždy a monomorfismus (v kategorickém smyslu). Jeden může raději myslet na jádro jako na pár (K., k) spíše než jednoduše K. nebo k sama.

Ne každý morfismus musí mít jádro, ale pokud ano, pak jsou všechna jeho jádra v silném smyslu izomorfní: pokud k : K. → X a ℓ : L → X jsou jádra F : X → Y, pak existuje jedinečný izomorfismus φ: K. → L takhle ℓ∘φ = k.

Příklady

Jádra jsou známá v mnoha kategoriích z abstraktní algebra, například kategorie skupiny nebo kategorie (vlevo) moduly přes pevnou prsten (počítaje v to vektorové prostory přes pevnou pole ). Být explicitní, pokud F : X → Y je homomorfismus v jedné z těchto kategorií a K. je jeho jádro v obvyklém algebraickém smyslu, pak K. je subalgebra z X a inkluzní homomorfismus z K. na X je jádro v kategorickém smyslu.

Všimněte si, že v kategorii monoidy „Teoretická jádra kategorie existují stejně jako pro skupiny, ale tato jádra neobsahují dostatečné informace pro algebraické účely. Proto je pojem jádra studovaný v teorii monoidů mírně odlišný (viz #Vztah k algebraickým jádrům níže).

V kategorie unital prstenů, neexistují žádná jádra v teoreticko-teoretickém smyslu; tato kategorie skutečně nemá ani nulové morfismy. Přesto stále existuje pojem jádra studovaného v prstencové teorii, který odpovídá jádrům v kategorie neunitálních prstenů.

V kategorii špičaté topologické prostory, pokud F : X → Y je spojitá špičatá mapa, pak preimage rozlišovacího bodu, K., je podprostorem X. Mapa začlenění K. do X je kategorické jádro F.

Vztah k dalším kategorickým pojmům

Duální koncept k jádru je koncept koksovna To znamená, že jádro morfismu je jeho jádro v opačná kategorie a naopak.

Jak již bylo zmíněno výše, jádro je typ binárního ekvalizéru nebo rozdílové jádro Naopak v preadditive kategorie, každý binární ekvalizér může být konstruován jako jádro. Konkrétně ekvalizér morfismů F a G je jádro rozdíl G − FV symbolech:

eq (F, G) = ker (G − F).

Je to kvůli této skutečnosti, že binární ekvalizéry se nazývají „rozdílová jádra“, a to i v nepreadditivních kategoriích, kde morfismy nelze odečíst.

Každé jádro, jako každý jiný ekvalizér, je monomorfismus Naopak se nazývá monomorfismus normální pokud jde o jádro nějakého morfismu. Nazývá se kategorie normální pokud je každý monomorfismus normální.

Abelianské kategorie Zejména jsou vždy normální. V této situaci jádro koksovna jakéhokoli morfismu (který vždy existuje v abelianské kategorii) se ukazuje jako obraz toho morfismu; v symbolech:

im F = ker koks F (v kategorii abelian)

Když m je monomorfismus, musí to být jeho vlastní obraz; tedy nejen že jsou abelianské kategorie normální, takže každý monomorfismus je jádro, ale také to víme který morfismus je monomorfismus jádrem jeho jádra. Symboly:

m = ker (koks m) (pro monomorfismy v abelianské kategorii)

Vztah k algebraickým jádrům

Univerzální algebra definuje a pojem jádra pro homomorfismy mezi dvěma algebraické struktury stejného druhu. Tento koncept jádra měří, jak daleko je daný homomorfismus od bytí injekční Mezi touto algebraickou představou a kategorickým pojmem jádra existuje určité překrývání, protože oba zobecňují situaci výše zmíněných skupin a modulů. Obecně však platí, že univerzálně-algebraický pojem jádra se spíše podobá teoreticko-teoretickému konceptu pár jádra Zejména páry jader lze použít k interpretaci jader v teorii monoidů nebo prstenů z teoreticko-teoretického hlediska.

Zdroje

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Teorie kategorie (PDF). Oxford Logic Guides. 49 (2. vyd.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-923718-0.
• Jádro v nLab