Bousfieldova lokalizace - Bousfield localization

v teorie kategorií, obor matematiky, a (vlevo) Bousfieldova lokalizace a kategorie modelu nahradí strukturu modelu jinou strukturou modelu se stejnými kofibracemi, ale se slabšími ekvivalencemi.

Lokalizace Bousfield je pojmenována po Aldridge Bousfield, který tuto techniku ​​poprvé představil v kontextu lokalizace topologické prostory a spektra.^[1][2]

Struktura modelové kategorie lokalizace Bousfield

Vzhledem k třída C morfismů v a kategorie modelu M levá lokalizace Bousfield je nová modelová struktura ve stejné kategorii jako dříve. Jeho ekvivalence, kofibrace a fibrace, respektive, jsou

• the C-místní ekvivalence
• původní kofibrace M

a (nutně, protože kofibrace a slabé ekvivalence určují fibrace)

• mapy s správné zvedání majetku s ohledem na kofibrace v M které jsou také C-místní ekvivalence.

V této definici a C-místní ekvivalence je mapa ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ což zhruba řečeno nedělá rozdíl při mapování na a C-místní objekt. Přesněji, ${ displaystyle f ^ {*} colon operatorname {mapa} (Y, W) na operatorname {mapa} (X, W)}$ je vyžadována slabá rovnocennost (z jednoduché sady ) pro všechny C-místní objekt Ž. Objekt Ž je nazýván C- místní, pokud je vláknité (v M) a

${ displaystyle s ^ {*} colon operatorname {mapa} (B, W) na operatorname {mapa} (A, W)}$

je slabá rovnocennost pro Všechno mapy ${ displaystyle f dvojtečka A až B}$ v C. Zápis ${ displaystyle operatorname {mapa} (-, -)}$ je pro obecnou kategorii modelů (ne nutně obohacený přes zjednodušené množiny) určitá zjednodušená množina, jejíž množina součásti cesty souhlasí s morfismem v EU kategorie homotopy z M:

${ displaystyle pi _ {0} ( operatorname {mapa} (X, Y)) = operatorname {Hom} _ {Ho (M)} (X, Y).}$

Li M je kategorie zjednodušeného modelu (například řekněme zjednodušené množiny nebo topologické prostory), pak lze „mapu“ výše považovat za odvozený prostor zjednodušeného mapování M.

Tento popis nedává žádné nároky na existenci této modelové struktury, pro kterou viz níže.

Duálně existuje představa správná lokalizace Bousfield, jehož definice se získá nahrazením kofibrací fibracemi (a opačným směrem všech šipek).

Existence

Je známo, že struktura modelu lokalizace levého Bousfielda, jak je popsáno výše, existuje v různých situacích, za předpokladu, že C je sada:

• M je ponecháno správné (tj. vytlačování slabé ekvivalence podél kofibrace je opět slabá ekvivalence) a kombinatorické
• M je ponechán správný a buněčný.

Kombinatoričnost a celulárnost modelové kategorie zaručují zejména silnou kontrolu nad kofibracemi M.

Podobně existuje správná lokalizace Bousfieldu, pokud M je správné správné a buněčné nebo kombinatorické a C je množina.

Univerzální vlastnictví

The lokalizace ${ displaystyle C [W ^ {- 1}]}$ (běžné) kategorie C s ohledem na třídu Ž morfismů splňuje následující univerzální vlastnost:

• Tady je funktor ${ displaystyle C až C [W ^ {- 1}]}$ který posílá všechny morfismy dovnitř Ž na izomorfismy.
• Libovolný funktor ${ displaystyle C až D}$ který posílá Ž k izomorfismům v D faktory jednoznačně nad dříve zmíněným funktorem.

Bousfieldova lokalizace je vhodný analogický pojem pro modelové kategorie, přičemž je třeba mít na paměti, že izomorfismy v běžné teorii kategorií jsou nahrazeny slabými ekvivalencemi. To znamená (nalevo) lokalizace Bousfield ${ displaystyle L_ {C} M}$ je takový

• Tady je odešel Quillen funktor ${ displaystyle M až L_ {C} M}$ jehož levý derivovaný funktor posílá všechny morfismy dovnitř C slabé ekvivalence.
• Libovolný levý Quillenův funktor ${ displaystyle M až N}$ jehož levý odvozený funktor pošle C k faktorům slabé ekvivalence jedinečně prostřednictvím ${ displaystyle M až L_ {C} M}$.

Příklady

Lokalizace a dokončení spektra

Lokalizace a dokončení spektra v prvočísle p jsou oba příklady lokalizace Bousfield, což má za následek a lokální spektrum. Například lokalizace sférické spektrum S na p, jeden získá a místní sféra ${ displaystyle S _ {(p)}}$.

Stabilní modelová struktura na spektrech

The stabilní kategorie homotopy je kategorie homotopy (ve smyslu modelových kategorií) spekter, obdařená stabilní strukturou modelu. Stabilní modelová struktura je získána jako levá Bousfieldova lokalizace úrovně (nebo projektivní) modelové struktury na spektrech, jejichž slabé ekvivalence (fibrace) jsou mapy, které jsou slabými ekvivalencemi (fibrace) na všech úrovních.^[3]

Struktura modelu Morita na dg kategoriích

Struktura modelu Morita v kategorii malých kategorií dg je Bousfieldova lokalizace standardní struktury modelu (ta, pro kterou slabé ekvivalence jsou kvaziekvivalence).

Viz také

• Lokalizace topologického prostoru

Reference

• Hirschhorn, Modelové kategorie a jejich lokalizace, AMS 2002
• Absence map Mezi p-lokálním a q-lokálním spektrem

externí odkazy

• Lokalizace Bousfield v nlab.
• J. Lurie, Přednáška 20 v teorii chromatické homotopy (252x).